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25.某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往某县城，具体运输情况如下表(每辆货车都满载)：
已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨.
(1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用甲、乙两种型号的货车一次性运完.已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最低？最低成本为多少元？
已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨.
(1)求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？
(2)该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用甲、乙两种型号的货车一次性运完.已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，请问共有几种运输方案？哪种运输方案的成本最低？最低成本为多少元？
答案
解:(1)设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资，
依题意，得 $\begin{cases} 2x+3y=42, \\ 3x+4y=58, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=6, \\ y=10. \end{cases}$
答:每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资。
(2)设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车，
依题意，得 $6m+10n=100$，
$\therefore n=10-\dfrac{3m}{5}$。
又$\because m,n$均为正整数，
$\therefore \begin{cases} m=5, \\ n=7 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=10, \\ n=4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=15, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$ 共有3种运输方案，
方案1:安排5辆甲型货车，7辆乙型货车；
方案2:安排10辆甲型货车，4辆乙型货车；
方案3:安排15辆甲型货车，1辆乙型货车。
选择方案1所需费用
$400×5+500×7=5500$(元)；
选择方案2所需费用
$400×10+500×4=6000$(元)；
选择方案3所需费用
$400×15+500×1=6500$(元)。
$\because 5500＜6000＜6500$，
$\therefore$ 安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最低，最低成本为5500元。
依题意，得 $\begin{cases} 2x+3y=42, \\ 3x+4y=58, \end{cases}$
解得 $\begin{cases} x=6, \\ y=10. \end{cases}$
答:每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资。
(2)设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车，
依题意，得 $6m+10n=100$，
$\therefore n=10-\dfrac{3m}{5}$。
又$\because m,n$均为正整数，
$\therefore \begin{cases} m=5, \\ n=7 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=10, \\ n=4 \end{cases}$ 或 $\begin{cases} m=15, \\ n=1. \end{cases}$
$\therefore$ 共有3种运输方案，
方案1:安排5辆甲型货车，7辆乙型货车；
方案2:安排10辆甲型货车，4辆乙型货车；
方案3:安排15辆甲型货车，1辆乙型货车。
选择方案1所需费用
$400×5+500×7=5500$(元)；
选择方案2所需费用
$400×10+500×4=6000$(元)；
选择方案3所需费用
$400×15+500×1=6500$(元)。
$\because 5500＜6000＜6500$，
$\therefore$ 安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最低，最低成本为5500元。
解析
【分析】
(1) 本题有甲、乙两种货车满载运量两个未知量，可通过设两个未知数，结合第一批、第二批的运输总吨数分别列方程，组成二元一次方程组，求解方程组即可得到两种货车的满载运量。
(2) 第二问先根据总运输量列二元一次方程，结合车辆数为正整数的实际要求，找出所有符合条件的正整数解，即为所有可行运输方案；再分别计算各方案的运输成本，比较大小即可得到成本最低的方案及最低成本。
【解析】
(1) 设每辆甲型货车满载能运$x$吨生活物资，每辆乙型货车满载能运$y$吨生活物资。
依题意，可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=42 \\ 3x+4y=58 \end{cases}$
给第一个方程两边同乘3得：$6x+9y=126$，
给第二个方程两边同乘2得：$6x+8y=116$，
两式相减得$y=10$，将$y=10$代入$2x+3y=42$，解得$x=6$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=6 \\ y=10 \end{cases}$。
(2) 设应安排$m$辆甲型货车，$n$辆乙型货车，依题意得：
$6m+10n=100$，整理得$n=10-\dfrac{3m}{5}$。
因为$m$、$n$均为正整数，所以$m$必须是5的正整数倍，且$10-\dfrac{3m}{5}＞0$，解得$m＜\dfrac{50}{3}$，
因此$m$的取值为5、10、15，对应$n$的取值为7、4、1，共3种运输方案：
方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，所需费用为$400×5+500×7=5500$元；
方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车，所需费用为$400×10+500×4=6000$元；
方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车，所需费用为$400×15+500×1=6500$元。
因为$5500＜6000＜6500$，所以方案1的运输成本最低。
【答案】
(1) 每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资；
(2) 共有3种运输方案，安排5辆甲型货车、7辆乙型货车的运输方案成本最低，最低成本为5500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，第一问侧重基础，考查列方程组解应用题的常规能力，第二问需要结合实际场景筛选未知数的可行解，再通过对比得到最优结果，能够锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 本题有甲、乙两种货车满载运量两个未知量，可通过设两个未知数，结合第一批、第二批的运输总吨数分别列方程，组成二元一次方程组，求解方程组即可得到两种货车的满载运量。
(2) 第二问先根据总运输量列二元一次方程，结合车辆数为正整数的实际要求，找出所有符合条件的正整数解，即为所有可行运输方案；再分别计算各方案的运输成本，比较大小即可得到成本最低的方案及最低成本。
【解析】
(1) 设每辆甲型货车满载能运$x$吨生活物资，每辆乙型货车满载能运$y$吨生活物资。
依题意，可列方程组：
$\begin{cases} 2x+3y=42 \\ 3x+4y=58 \end{cases}$
给第一个方程两边同乘3得：$6x+9y=126$，
给第二个方程两边同乘2得：$6x+8y=116$，
两式相减得$y=10$，将$y=10$代入$2x+3y=42$，解得$x=6$，
即方程组的解为$\begin{cases} x=6 \\ y=10 \end{cases}$。
(2) 设应安排$m$辆甲型货车，$n$辆乙型货车，依题意得：
$6m+10n=100$，整理得$n=10-\dfrac{3m}{5}$。
因为$m$、$n$均为正整数，所以$m$必须是5的正整数倍，且$10-\dfrac{3m}{5}＞0$，解得$m＜\dfrac{50}{3}$，
因此$m$的取值为5、10、15，对应$n$的取值为7、4、1，共3种运输方案：
方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，所需费用为$400×5+500×7=5500$元；
方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车，所需费用为$400×10+500×4=6000$元；
方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车，所需费用为$400×15+500×1=6500$元。
因为$5500＜6000＜6500$，所以方案1的运输成本最低。
【答案】
(1) 每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资；
(2) 共有3种运输方案，安排5辆甲型货车、7辆乙型货车的运输方案成本最低，最低成本为5500元。
【知识点】
二元一次方程组应用，二元一次方程整数解，最优方案选择
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，第一问侧重基础，考查列方程组解应用题的常规能力，第二问需要结合实际场景筛选未知数的可行解，再通过对比得到最优结果，能够锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
