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21.(9分)如图,在一条东西走向的河流一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于某种原因,由C到A的路现在不通了,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=1.5 km,CH=1.2 km,HB=0.9 km.
(1)新路CH是否为村庄C到河边的最近路线?请通过计算加以说明.
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
(1)新路CH是否为村庄C到河边的最近路线?请通过计算加以说明.
(2)求新路CH比原路CA少多少千米.
答案
21. (1)新路CH是村庄C到河边的最近路线.理由如下:
在$△ CHB$中,$\because CH^2+BH^2=1.2^2+0.9^2=2.25$,$BC^2=2.25$,
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$.
$\therefore CH ⊥ AB$.
$\therefore$ 新路CH是村庄C到河边的最近路线.(4分)
(2)设$AC=x$ km.
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$AC=x$,$AH=x-0.9$,$CH=1.2$,
由勾股定理,得$AC^2=AH^2+CH^2$,
$\therefore x^2=(x-0.9)^2+1.2^2$,解得$x=1.25$.
$\therefore CA-CH=1.25-1.2=0.05$(km).
$\therefore$ 新路CH比原路CA少0.05 km.(9分)
在$△ CHB$中,$\because CH^2+BH^2=1.2^2+0.9^2=2.25$,$BC^2=2.25$,
$\therefore CH^2+BH^2=BC^2$.
$\therefore CH ⊥ AB$.
$\therefore$ 新路CH是村庄C到河边的最近路线.(4分)
(2)设$AC=x$ km.
在$\mathrm{Rt}△ ACH$中,$AC=x$,$AH=x-0.9$,$CH=1.2$,
由勾股定理,得$AC^2=AH^2+CH^2$,
$\therefore x^2=(x-0.9)^2+1.2^2$,解得$x=1.25$.
$\therefore CA-CH=1.25-1.2=0.05$(km).
$\therefore$ 新路CH比原路CA少0.05 km.(9分)
