1. 下列条件中，能确定圆的是 （）

A.以已知点O为圆心
B.以1 cm长为半径
C.经过已知点A，且半径为2 cm
D.以点O为圆心，1 cm为半径

1. D

【分析】
要判断哪个条件能确定圆，首先需明确确定圆的两个必备要素：圆心（确定圆的位置）和半径（确定圆的大小），二者缺一不可，接下来逐一分析每个选项是否同时具备这两个要素即可解题。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 仅给出圆心O，未确定半径，可画出无数个大小不同的圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
B. 仅给出半径1cm，未确定圆心位置，可在任意位置画出无数个半径为1cm的圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
C. 仅给出圆经过点A、半径为2cm，此时圆心可以是平面内所有到点A距离为2cm的点，能画出无数个圆，无法确定唯一的圆，不符合要求；
D. 同时给出圆心O和半径1cm，两个要素齐全，可确定唯一的圆，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
确定圆的条件；圆的基本要素
【点评】
本题属于基础概念题，解题关键是牢记确定圆需要同时满足圆心和半径两个条件，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可。
【难度系数】
0.9

2. 画圆时圆规两脚间可叉开的距离是圆的 （）

A.直径
B.半径
C.周长
D.面积

2. B

【分析】
解题时先回忆圆规画圆的操作过程和圆的相关基础概念：首先明确圆规画圆时，固定的一脚对应的是圆的圆心，带笔尖的一脚旋转后形成的轨迹是圆的圆周，两脚之间的距离是固定不变的，对应圆心到圆周上点的距离。再结合半径的定义，即可判断出该距离对应的圆的要素，再逐一排除不符合的选项即可。
【解析】
用圆规画圆时，针尖固定的点为圆的圆心，装有笔尖的脚绕圆心旋转一周得到圆，圆规两脚之间的距离始终保持恒定，该距离是圆心到圆上任意一点的线段长度。根据半径的定义：连接圆心与圆上任意一点的线段叫做圆的半径，可知该距离就是圆的半径。
逐一分析选项：A选项直径是过圆心且两端都在圆上的线段，长度为半径的2倍，不符合；C选项周长是绕圆一周的长度，D选项面积是圆所占平面的大小，均与圆规两脚间距无关。因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆的基本概念；半径的定义
【点评】
这道题是基础概念类题型，考查对圆规画圆原理和半径概念的掌握，属于圆相关知识的基础考查内容，熟练掌握基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

3. 已知$AB=7\ \mathrm{cm}$，则过点$A$，$B$，且半径为$2\ \mathrm{cm}$的圆有 （）

A.0个
B.1个
C.2个
D.无数个

3. A

【分析】
要判断过A、B两点且半径为2cm的圆的个数，首先需明确过两点的圆的圆心的位置特征：所有过A、B两点的圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离等于圆的半径。其次，若A、B在圆上，则AB是圆的弦，根据圆的性质，弦长最大等于直径，因此可通过比较AB的长度和直径的大小判断是否存在符合要求的圆。
【解析】
步骤1：明确过A、B两点的圆的性质：若圆过A、B两点，则圆心在线段AB的垂直平分线上，且圆心到A、B的距离均等于半径r=2cm，此时AB为圆的弦。
步骤2：比较弦长与直径的大小：圆的直径为2r=4cm，已知AB=7cm，显然7cm＞4cm。根据圆的性质，圆内任意弦的长度都不超过直径，因此不存在满足条件的圆。
【答案】
A
【知识点】
过两点的圆的特征；弦与直径的关系
【点评】
本题是圆的基本性质的基础应用题，解题的核心是掌握弦长的最大值为直径，若题目给出的弦长大于直径，则对应的圆不存在，解题时不要盲目认为垂直平分线上一定能找到两个符合条件的圆心。
【难度系数】
0.7

4. 战国时期数学家墨子撰写的《墨经》一书中，“一中同长也”描述的几何图形是 （）

A.圆
B.正方形
C.三角形
D.长方形

4. A

【分析】
解题时首先要理解“一中同长”的字面含义，再结合所学的各类几何图形的基本特征逐一匹配判断即可。第一步先拆解古文：“一中”即存在唯一的一个中心点，“同长”即该中心点到图形上所有点的距离都相等；第二步回忆各选项图形的性质，找到符合该特征的图形即可。
【解析】
首先解释“一中同长”的含义：“一中”指图形有且只有一个中心点，“同长”指这个中心点到图形上任意一点的距离都相等。
对各选项逐一分析：
A. 圆的圆心就是唯一的中心（对应“一中”），圆心到圆上任意一点的距离都是半径，所有半径长度相等（对应“同长”），符合描述；
B. 正方形的中心到各顶点的距离、到各边的距离不相等，不满足“同长”，不符合；
C. 三角形不存在一个点到三角形边上所有点的距离都相等，不符合；
D. 长方形的中心到各顶点的距离、到各边的距离不相等，不满足“同长”，不符合。
综上本题选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的定义；常见几何图形的性质
【点评】
本题结合我国古代数学著作的内容考查基础几何概念，既考查了数学知识，也渗透了传统文化，只要掌握基础几何图形的特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.8

5. “车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是 （）

A.圆形是轴对称图形
B.圆形特别美观大方
C.圆形是曲线图形
D.从圆心到圆上任意一点的距离都相等

5. D

【分析】
解题时首先明确车轮的核心使用需求：行驶时要保证车身平稳，即车轴的高度始终保持恒定。接下来结合圆的相关性质逐一分析选项：首先回忆圆的核心特征，再判断各选项是否能满足车轮平稳行驶的需求，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
我们把车轮的车轴安装在圆心位置：
选项A：轴对称图形不是车轮做成圆形的核心原因，例如正方形、正三角形均为轴对称图形，但这类图形做车轮时，滚动过程中中心高度会不断变化，车身会颠簸，故A错误；
选项B：美观属于非功能性的次要原因，不是最合理的解释，故B错误；
选项C：曲线图形不代表能满足车轮平稳行驶的需求，例如椭圆也是曲线图形，但滚动时中心高度会发生变化，车身不平稳，故C错误；
选项D：从圆心到圆上任意一点的距离都相等（即同圆的半径相等），车轮滚动时，车轴到地面的距离始终等于半径，高度恒定，车身行驶平稳，是车轮做成圆形的核心原因，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
圆的基本性质；圆的实际应用
【点评】
本题结合生活常见场景考查圆的核心特征，引导学生将数学知识与生活实际结合，重在考查对概念的理解和应用能力，而非机械记忆。
【难度系数】
0.9

6. 到定点O的距离为2 cm的点的集合是以为圆心，为半径的圆。

6. 点O 2 cm

【分析】
解题时先回忆圆的基本定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点就是圆心，定长就是半径。本题已经给出定点是O，定长是2cm，直接对应圆的两个核心要素就能得到答案。
【解析】
根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点称为圆心，定长称为半径。
本题中给定的定点为点O，定长为2cm，因此到点O的距离为2cm的点的集合就是以点O为圆心，2cm为半径的圆。
【答案】
点O；2 cm
【知识点】
圆的定义；圆心；半径
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记圆的定义和基本构成要素就能快速解答，是对基础知识点的直接应用。
【难度系数】
0.9

7. 如图,线段AB的长为3 cm.请按下列要求作图:
（1）到点A的距离等于1 cm的点的集合；
（2）到点B的距离等于2 cm的点的集合；
（3）到点A的距离等于1 cm,且到点B的距离等于2 cm的点.

7. (1)如图1,⊙A为所作；(2) 如图2,⊙B为所作；(3) 如图3,点C为所作。

【分析】
解答本题的核心是运用圆的定义思考：到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是以定点为圆心、定长为半径的圆。
（1）要找所有到点A距离等于1cm的点，定点是A，定长是1cm，对应的图形就是以A为圆心、1cm为半径的圆；
（2）同理，到点B距离等于2cm的点，定点是B，定长是2cm，对应的图形是以B为圆心、2cm为半径的圆；
（3）同时满足两个距离条件的点，就是上述两个圆的公共交点，既在第一个圆上也在第二个圆上的点就符合要求。
【解析】
（1）根据圆的定义，到点A的距离等于1cm的点的集合是：以点A为圆心，1cm为半径的圆，即⊙A，如图1所示；
（2）同理，到点B的距离等于2cm的点的集合是：以点B为圆心，2cm为半径的圆，即⊙B，如图2所示；
（3）同时满足到A距离为1cm、到B距离为2cm的点，是⊙A和⊙B的公共交点，即点C，如图3所示。
【答案】
7. (1)如图1,⊙A为所作；(2) 如图2,⊙B为所作；(3) 如图3,点C为所作。

【知识点】
1. 圆的定义
2. 点的轨迹
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对圆的定义的理解与运用，解题的关键是明确“到定点距离等于定长的点的集合是圆”，同时满足两个条件的点是两个对应轨迹的公共点。
【难度系数】
0.8

8. 如图，点A，B，C都在$\odot O$上，且$AB// OC$，$BC// OA$.
（1）求证：四边形ABCO是菱形；
（2）求$∠ AOC$的度数.

8. (1)
∵ AB//OC,BC//OA,
∴ 四边形ABCO是平行四边形.
∵ OA=OC,
∴ 四边形ABCO是菱形；
(2) 如图，连接OB,
∵ 四边形ABCO为菱形,
∴ OC=CB=BA=AO,又
∵ OB=OC,
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠COB=60°,同理∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=∠COB+∠AOB=120°。

【分析】
（1）要证明四边形ABCO是菱形，首先根据已知的两组对边分别平行，可先判定该四边形是平行四边形；再结合圆的半径相等的性质，得到平行四边形的一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可完成证明。
（2）要求∠AOC的度数，可连接OB作为辅助线，利用菱形四边相等的性质，结合圆的半径都相等的特点，可推出△OBC和△OAB都是等边三角形，得到两个60°的角，相加即可得到∠AOC的度数。
【解析】
（1）证明：
∵ $AB// OC$，$BC// OA$，
∴ 四边形ABCO是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径，
∴ $OA=OC$，
∴ 平行四边形ABCO是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
（2）解：
连接OB，
∵ 四边形ABCO为菱形，
∴ $OC=CB=BA=AO$，
∵ OB是$\odot O$的半径，
∴ $OB=OC=BC$，
∴ $△ OBC$是等边三角形，
∴ $∠ COB=60°$，
同理可得$△ OAB$是等边三角形，$∠ AOB=60°$，
∴ $∠ AOC=∠ COB+∠ AOB=60°+60°=120°$。
【答案】
(1) 证明：
∵ AB//OC,BC//OA,
∴ 四边形ABCO是平行四边形.
∵ OA=OC,
∴ 四边形ABCO是菱形；
(2) 如图，连接OB,
∵ 四边形ABCO为菱形,
∴ OC=CB=BA=AO,又
∵ OB=OC,
∴ △OBC是等边三角形，
∴ ∠COB=60°,同理∠AOB=60°,
∴ ∠AOC=∠COB+∠AOB=120°。

【知识点】
菱形的判定与性质；圆的基本性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的基础题，综合考查了平行四边形、菱形的判定定理，以及圆半径相等、等边三角形的性质，第二问的解题关键是正确作出辅助线OB，构造等边三角形求解角度。
【难度系数】
0.7

9. 在同一平面内,已知$\odot O$的半径为2,圆心O到直线$l$的距离为3,点P为圆上的一个动点,则点P到直线$l$的最大距离是 （）

A.2
B.5
C.6
D.8

9. B

【分析】
要解决圆上动点到定直线的最大距离问题，我们可以结合圆的性质思考：圆上所有点到圆心的距离都等于半径，因此可将点P到直线l的距离与圆心O到直线l的距离关联起来。首先过圆心作直线l的垂线，圆上的点到直线的距离，最大的情况是点在圆心背向直线的一侧，此时距离等于圆心到直线的距离加上半径，这是因为该点在垂线方向上距离直线最远。
【解析】
过圆心O作OA⊥直线l，垂足为A，根据题意得OA=3，⊙O的半径r=OP=2。
当点P为AO的延长线与⊙O的交点时，点P到直线l的距离最大，此时最大距离为OA + OP = 3 + 2 = 5。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
点到直线的距离、圆的基本性质
【点评】
本题属于基础的几何最值题型，解题关键是明确圆上到定直线距离最大的点的位置，结合已知的圆心到直线距离和半径即可快速计算，掌握规律后很容易得分。
【难度系数】
0.8

10. 点P是非圆上一点，若点P到$\odot O$上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则$\odot O$的半径是 。

10. 6.5 cm或2.5 cm

【分析】
本题需要结合点与圆的位置关系分类讨论：点P是非圆上的点，因此存在点P在圆内、点P在圆外两种情况。无论是哪种情况，点P到圆上点的最小距离和最大距离，都是过点P和圆心O的直线与圆的两个交点到P的距离，据此可结合直径的计算求出半径。
【解析】
解：本题分两种情况讨论：
① 当点P在$\odot O$内部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之和等于圆的直径，
即直径$d = 4 + 9 = 13\ \mathrm{cm}$，
因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{13}{2} = 6.5\ \mathrm{cm}$；
② 当点P在$\odot O$外部时：
此时点P到圆上点的最大距离与最小距离之差等于圆的直径，
即直径$d = 9 - 4 = 5\ \mathrm{cm}$，
因此半径$r = \frac{d}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\ \mathrm{cm}$。
综上，$\odot O$的半径为6.5 cm或2.5 cm。
【答案】
6.5 cm或2.5 cm
【知识点】
点与圆的位置关系、圆的基本性质
【点评】
本题是易错题，解题时需要注意分类讨论点在圆内、圆外两种情况，避免漏解，考查了分类讨论的数学思想。
【难度系数】
0.6