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11. 如图，A，B是$\odot O$上的两点，C、D为直线AB上两点，OC=OD，求证：AC=BD. 
第11题
第11题答案
11. 连接OA,OB,作OH⊥AB于H,
∵ A,B是⊙O上的两点,
∴ OA=OB,AH=BH.
∵ OC=OD,
∴ CH=DH,
∴ CH-AH=DH-BH,即AC=BD.
解析
【分析】
要证明AC=BD，观察可得AC=CH-AH，BD=DH-BH，因此只需证CH=DH、AH=BH即可。已知OC=OD可得△OCD是等腰三角形，OA、OB是⊙O的半径可得△OAB是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”性质和垂径定理，过O作AB的垂线即可分别得到CD、AB的中点，再通过线段差即可推导结论。
【解析】
证明：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H。
∵ A、B是⊙O上的两点，OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB，又OH⊥AB，
根据等腰三角形三线合一（或垂径定理）得：AH=BH。
∵ OC=OD，且CD与AB共线，故OH⊥CD，
同理根据等腰三角形三线合一得：CH=DH。
∴ CH - AH = DH - BH，
即AC=BD。
【答案】
连接OA,OB,作OH⊥AB于H,
∵ A,B是⊙O上的两点,
∴ OA=OB,AH=BH.
∵ OC=OD,
∴ CH=DH,
∴ CH-AH=DH-BH,即AC=BD.
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形三线合一；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，核心是通过作过圆心垂直于弦的辅助线，结合等腰三角形性质和垂径定理得到等分线段，再通过线段的差运算证明结论，这类作垂线的辅助线方法是圆中处理弦相关线段问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
要证明AC=BD，观察可得AC=CH-AH，BD=DH-BH，因此只需证CH=DH、AH=BH即可。已知OC=OD可得△OCD是等腰三角形，OA、OB是⊙O的半径可得△OAB是等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”性质和垂径定理，过O作AB的垂线即可分别得到CD、AB的中点，再通过线段差即可推导结论。
【解析】
证明：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H。
∵ A、B是⊙O上的两点，OA、OB均为⊙O的半径，
∴ OA=OB，又OH⊥AB，
根据等腰三角形三线合一（或垂径定理）得：AH=BH。
∵ OC=OD，且CD与AB共线，故OH⊥CD，
同理根据等腰三角形三线合一得：CH=DH。
∴ CH - AH = DH - BH，
即AC=BD。
【答案】
连接OA,OB,作OH⊥AB于H,
∵ A,B是⊙O上的两点,
∴ OA=OB,AH=BH.
∵ OC=OD,
∴ CH=DH,
∴ CH-AH=DH-BH,即AC=BD.
【知识点】
圆的半径相等；等腰三角形三线合一；垂径定理
【点评】
本题是圆的基础应用类题目，核心是通过作过圆心垂直于弦的辅助线，结合等腰三角形性质和垂径定理得到等分线段，再通过线段的差运算证明结论，这类作垂线的辅助线方法是圆中处理弦相关线段问题的常用技巧。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，$D$是以点$A$为圆心、2为半径的圆上一点，连接$BD$，$M$为$BD$的中点，则线段$CM$长度的最小值为
1.5
。答案
12. 1.5
解析
【分析】
要求线段CM的最小值，我们可以通过构造辅助线转化线段关系：首先取AB的中点，利用直角三角形斜边中线为定值、三角形中位线为定值的性质，将CM放入由两条定长线段构成的三角形中，再结合三角形三边关系即可求出CM的最小值。
【解析】
1. 取AB的中点E，连接CE、ME、AD。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
因为E是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$。
3. 因为M是BD的中点，E是AB的中点，所以ME是$△ ABD$的中位线，根据三角形中位线定理得$ME=\frac{1}{2}AD$。
已知D是以A为圆心、2为半径的圆上的点，即$AD=2$，所以$ME=\frac{1}{2}×2=1$。
4. 在$△ CEM$中，根据三角形三边关系可得$CM≥ CE-ME$，当且仅当C、M、E三点共线且M在线段CE上时，等号成立。
代入数值得$CM≥2.5-1=1.5$，即CM的最小值为1.5。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何最值类题目，解题的关键是合理构造辅助线，将未知最值的线段转化到包含定长线段的三角形中，利用三角形三边关系求解，较好地考查了几何转化的思想。
【难度系数】
0.6
要求线段CM的最小值，我们可以通过构造辅助线转化线段关系：首先取AB的中点，利用直角三角形斜边中线为定值、三角形中位线为定值的性质，将CM放入由两条定长线段构成的三角形中，再结合三角形三边关系即可求出CM的最小值。
【解析】
1. 取AB的中点E，连接CE、ME、AD。
2. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
因为E是斜边AB的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$CE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}=2.5$。
3. 因为M是BD的中点，E是AB的中点，所以ME是$△ ABD$的中位线，根据三角形中位线定理得$ME=\frac{1}{2}AD$。
已知D是以A为圆心、2为半径的圆上的点，即$AD=2$，所以$ME=\frac{1}{2}×2=1$。
4. 在$△ CEM$中，根据三角形三边关系可得$CM≥ CE-ME$，当且仅当C、M、E三点共线且M在线段CE上时，等号成立。
代入数值得$CM≥2.5-1=1.5$，即CM的最小值为1.5。
【答案】
1.5
【知识点】
勾股定理，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何最值类题目，解题的关键是合理构造辅助线，将未知最值的线段转化到包含定长线段的三角形中，利用三角形三边关系求解，较好地考查了几何转化的思想。
【难度系数】
0.6
13. 定义:只有一组对角是直角的四边形叫作损矩形,连接它的两个非直角顶点的线段叫作这个损矩形的直径.
（1）如图1,在损矩形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段
（2）在图1中的线段AC上确定一点P,使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
（3）如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向外作正方形ACEF,D为正方形ACEF的中心,连接BD.若BD平分$∠ABC,AB=3,BD=4\sqrt{2},$直接写出BC的长.
（1）如图1,在损矩形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,则该损矩形的直径是线段
AC
.（2）在图1中的线段AC上确定一点P,使损矩形ABCD的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明理由.友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹.
（3）如图2,△ABC中,∠ABC=90°,以AC为一边向外作正方形ACEF,D为正方形ACEF的中心,连接BD.若BD平分$∠ABC,AB=3,BD=4\sqrt{2},$直接写出BC的长.
答案
13. (1) AC
(2) 如图,作线段AC的垂直平分线,交AC于P,以P为圆心,AP为半径作圆即可,
∵ 点P为AC中点,
∴ $PA=PC=\frac{1}{2}AC$.
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$,
∴ $BP=DP=\frac{1}{2}AC$,
∴ $PA=PB=PC=PD$,
∴ 点A,B,C,D在以P为圆心,$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上；
(3) $BC=5$
解析
【分析】
(1) 根据题中损矩形直径的定义：连接损矩形两个非直角顶点的线段为直径，已知该损矩形的直角为∠ABC和∠ADC，剩余两个顶点为A、C，因此可直接确定直径。
(2) 要使四个顶点共圆，需圆心到四个顶点的距离相等。结合直角三角形“斜边中线等于斜边一半”的性质，取AC的中点作为圆心即可满足到四个顶点距离相等，因此只需作AC的垂直平分线找到中点，再作圆即可。
(3) 首先由正方形性质可得∠ADC=90°，结合∠ABC=90°，可知四边形ABCD为损矩形，四个顶点共圆；再由BD平分∠ABC得到45°角，通过构造等腰直角三角形和全等三角形，结合已知线段长度即可求出BC的长。
【解析】
(1) 已知损矩形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，两个非直角顶点为A和C，根据损矩形直径的定义，可得该损矩形的直径是线段AC。
(2) 作图：作线段AC的垂直平分线，交AC于点P，以P为圆心、AP长为半径作圆即为所求。
理由：
∵ 点P为AC中点，
∴ $PA=PC=\frac{1}{2}AC$，
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$，在直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，
∴ $BP=DP=\frac{1}{2}AC$，
∴ $PA=PB=PC=PD$，
∴ 点A、B、C、D在以P为圆心，$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
(3)
∵ D是正方形ACEF的中心，
∴ ∠ADC=90°，AD=CD，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ 四边形ABCD为损矩形，A、B、C、D四点共圆，
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
过D作DG⊥BD交BC延长线于G，则△BDG为等腰直角三角形，
∴ $BG=\sqrt{2}BD=\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$，
∵ ∠ADB+∠CDB=90°，∠CDG+∠CDB=90°，
∴ ∠ADB=∠CDG，
又
∵ 圆内接四边形外角等于内对角，
∴ ∠BAD=∠DCG，
结合AD=CD，可得△ABD≌△CGD（AAS），
∴ CG=AB=3，
∴ BC=BG-CG=8-3=5。
【答案】
(1) AC
(2) 如图,作线段AC的垂直平分线,交AC于P,以P为圆心,AP为半径作圆即可,
∵ 点P为AC中点,
∴ $PA=PC=\frac{1}{2}AC$.
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$,
∴ $BP=DP=\frac{1}{2}AC$,
∴ $PA=PB=PC=PD$,
∴ 点A,B,C,D在以P为圆心,$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上；
(3) $BC=5$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，四点共圆判定，正方形的性质
【点评】
本题结合新定义考查了圆的基本性质、直角三角形及正方形的相关性质，前两问侧重对新定义的理解和基础知识点的运用，第三问需要灵活结合共圆性质构造全等三角形求解，能够较好地考查知识综合运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
(1) 根据题中损矩形直径的定义：连接损矩形两个非直角顶点的线段为直径，已知该损矩形的直角为∠ABC和∠ADC，剩余两个顶点为A、C，因此可直接确定直径。
(2) 要使四个顶点共圆，需圆心到四个顶点的距离相等。结合直角三角形“斜边中线等于斜边一半”的性质，取AC的中点作为圆心即可满足到四个顶点距离相等，因此只需作AC的垂直平分线找到中点，再作圆即可。
(3) 首先由正方形性质可得∠ADC=90°，结合∠ABC=90°，可知四边形ABCD为损矩形，四个顶点共圆；再由BD平分∠ABC得到45°角，通过构造等腰直角三角形和全等三角形，结合已知线段长度即可求出BC的长。
【解析】
(1) 已知损矩形ABCD中∠ABC=∠ADC=90°，两个非直角顶点为A和C，根据损矩形直径的定义，可得该损矩形的直径是线段AC。
(2) 作图：作线段AC的垂直平分线，交AC于点P，以P为圆心、AP长为半径作圆即为所求。
理由：
∵ 点P为AC中点，
∴ $PA=PC=\frac{1}{2}AC$，
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$，在直角三角形中斜边中线等于斜边的一半，
∴ $BP=DP=\frac{1}{2}AC$，
∴ $PA=PB=PC=PD$，
∴ 点A、B、C、D在以P为圆心，$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上。
(3)
∵ D是正方形ACEF的中心，
∴ ∠ADC=90°，AD=CD，
又
∵ ∠ABC=90°，
∴ 四边形ABCD为损矩形，A、B、C、D四点共圆，
∵ BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∴ ∠ABD=∠CBD=45°，
过D作DG⊥BD交BC延长线于G，则△BDG为等腰直角三角形，
∴ $BG=\sqrt{2}BD=\sqrt{2}×4\sqrt{2}=8$，
∵ ∠ADB+∠CDB=90°，∠CDG+∠CDB=90°，
∴ ∠ADB=∠CDG，
又
∵ 圆内接四边形外角等于内对角，
∴ ∠BAD=∠DCG，
结合AD=CD，可得△ABD≌△CGD（AAS），
∴ CG=AB=3，
∴ BC=BG-CG=8-3=5。
【答案】
(1) AC
(2) 如图,作线段AC的垂直平分线,交AC于P,以P为圆心,AP为半径作圆即可,
∵ 点P为AC中点,
∴ $PA=PC=\frac{1}{2}AC$.
∵ $∠ABC=∠ADC=90°$,
∴ $BP=DP=\frac{1}{2}AC$,
∴ $PA=PB=PC=PD$,
∴ 点A,B,C,D在以P为圆心,$\frac{1}{2}AC$为半径的同一个圆上；
(3) $BC=5$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，四点共圆判定，正方形的性质
【点评】
本题结合新定义考查了圆的基本性质、直角三角形及正方形的相关性质，前两问侧重对新定义的理解和基础知识点的运用，第三问需要灵活结合共圆性质构造全等三角形求解，能够较好地考查知识综合运用和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
