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1. 已知A为$\odot O$内部一点，经过点A的直径有 （
A.1条
B.2条
C.无数条
D.1条或无数条
D
）A.1条
B.2条
C.无数条
D.1条或无数条
答案
1. D
解析
【分析】
解题前先明确直径的定义：直径是经过圆心的弦，因此要得到过点A的直径，需作出同时经过点A和圆心O的直线，该直线与圆相交得到的线段即为直径。接下来分两种情况讨论：①点A与圆心O不重合；②点A与圆心O重合，结合“两点确定一条直线”的性质分别判断对应直径的数量即可。
【解析】
我们分两种情况分析：
1. 若点A与圆心O不重合：根据“两点确定一条直线”，过点A和圆心O的直线有且只有1条，因此此时经过点A的直径有1条；
2. 若点A与圆心O重合：过圆心O的直线有无数条，每条直线与圆的两个交点连线都是圆的直径，因此此时经过点A的直径有无数条。
综上，经过点A的直径有1条或无数条。
【答案】
D
【知识点】
直径的定义；两点确定一条直线
【点评】
本题易因忽略点A与圆心重合的特殊情况错选A，解题时要注意分类讨论，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题前先明确直径的定义：直径是经过圆心的弦，因此要得到过点A的直径，需作出同时经过点A和圆心O的直线，该直线与圆相交得到的线段即为直径。接下来分两种情况讨论：①点A与圆心O不重合；②点A与圆心O重合，结合“两点确定一条直线”的性质分别判断对应直径的数量即可。
【解析】
我们分两种情况分析：
1. 若点A与圆心O不重合：根据“两点确定一条直线”，过点A和圆心O的直线有且只有1条，因此此时经过点A的直径有1条；
2. 若点A与圆心O重合：过圆心O的直线有无数条，每条直线与圆的两个交点连线都是圆的直径，因此此时经过点A的直径有无数条。
综上，经过点A的直径有1条或无数条。
【答案】
D
【知识点】
直径的定义；两点确定一条直线
【点评】
本题易因忽略点A与圆心重合的特殊情况错选A，解题时要注意分类讨论，全面考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
2. 下列说法正确的是 （
A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半圆是圆中最长的弧
C
）A.弦是直径
B.弧是半圆
C.直径是圆中最长的弦
D.半圆是圆中最长的弧
答案
2. C
解析
【分析】
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需先回忆弦、直径、弧、半圆的定义及相关性质，再逐一判断每个选项的正误：首先明确弦和直径的包含关系，再区分弧和半圆的范围，接着判断直径的长度特点，最后对比不同弧的长度大小，即可得出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该选项错误；
B. 弧是圆上任意两点间的部分，分为劣弧、半圆、优弧三类，半圆只是弧的特殊类型，因此弧不一定是半圆，该选项错误；
C. 所有弦的长度都不超过直径的长度（直径长度为2倍半径，其余弦长均≤2r），因此直径是圆中最长的弦，该选项正确；
D. 优弧是大于180°的弧，长度大于半圆，因此半圆不是圆中最长的弧，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的相关概念，弦的性质，弧的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆的基础定义的掌握程度，只要准确区分弦与直径、弧与半圆的包含关系，牢记相关性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的相关基础概念辨析，解题时需先回忆弦、直径、弧、半圆的定义及相关性质，再逐一判断每个选项的正误：首先明确弦和直径的包含关系，再区分弧和半圆的范围，接着判断直径的长度特点，最后对比不同弧的长度大小，即可得出正确选项。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 弦是连接圆上任意两点的线段，只有经过圆心的弦才是直径，因此弦不一定是直径，该选项错误；
B. 弧是圆上任意两点间的部分，分为劣弧、半圆、优弧三类，半圆只是弧的特殊类型，因此弧不一定是半圆，该选项错误；
C. 所有弦的长度都不超过直径的长度（直径长度为2倍半径，其余弦长均≤2r），因此直径是圆中最长的弦，该选项正确；
D. 优弧是大于180°的弧，长度大于半圆，因此半圆不是圆中最长的弧，该选项错误。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
圆的相关概念，弦的性质，弧的分类
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对圆的基础定义的掌握程度，只要准确区分弦与直径、弧与半圆的包含关系，牢记相关性质，就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，D，C在$\odot O$上，$AD// OC$，$∠ DAB=60°$，连接AC，则$∠ DAC$等于（
A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
B
）A.$15°$
B.$30°$
C.$45°$
D.$60°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先圆的所有半径长度相等，可得OA=OC，进而推出△OAC是等腰三角形，两底角相等；再结合AD//OC的条件，利用平行线的内错角相等得到角的等量关系，最后结合已知∠DAB的度数，即可求出∠DAC的大小。
【解析】
解：
∵OA和OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，可得∠OAC=∠OCA（等腰三角形两底角相等）
又
∵AD//OC（已知）
∴∠DAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等）
∴∠DAC=∠OAC（等量代换）
已知∠DAB=60°，且∠DAB=∠DAC+∠OAC
∴∠DAC = ½∠DAB = ½×60°=30°
【答案】
B
【知识点】
圆的半径性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题关键是找到圆中半径相等的隐含条件，结合平行线和等腰三角形的角的性质推导角的等量关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先圆的所有半径长度相等，可得OA=OC，进而推出△OAC是等腰三角形，两底角相等；再结合AD//OC的条件，利用平行线的内错角相等得到角的等量关系，最后结合已知∠DAB的度数，即可求出∠DAC的大小。
【解析】
解：
∵OA和OC都是⊙O的半径
∴OA=OC，可得∠OAC=∠OCA（等腰三角形两底角相等）
又
∵AD//OC（已知）
∴∠DAC=∠OCA（两直线平行，内错角相等）
∴∠DAC=∠OAC（等量代换）
已知∠DAB=60°，且∠DAB=∠DAC+∠OAC
∴∠DAC = ½∠DAB = ½×60°=30°
【答案】
B
【知识点】
圆的半径性质；平行线的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题，解题关键是找到圆中半径相等的隐含条件，结合平行线和等腰三角形的角的性质推导角的等量关系，整体解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$\odot O$中，AB为直径，$CD ⊥ AB$于C，四边形CDEF是正方形，连接BD，若$CO=3$，$OF=1$，则BD的值为（
A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.13
D.$2\sqrt{10}$
B
）A.$3\sqrt{5}$
B.$4\sqrt{5}$
C.13
D.$2\sqrt{10}$
答案
4. B
解析
【分析】
解题时先从已知线段长度和正方形性质入手，第一步先求出正方形的边长，第二步连接半径OD，利用勾股定理求出圆的半径，第三步计算直角边BC的长度，最后在直角三角形BCD中用勾股定理求出BD的长度即可。
【解析】
解：
1. 求正方形边长：
已知$CO=3$，$OF=1$，且点C、O、F均在直径AB上，因此$CF=CO+OF=3+1=4$。
因为四边形CDEF是正方形，所以正方形边长$CD=CF=4$，且$CD⊥ AB$。
2. 求圆的半径：
连接OD，OD为$\odot O$的半径，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，因此$\odot O$的半径为5，即$OB=5$。
3. 求BD的长度：
$BC=BO+OC=5+3=8$，在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是正确连接半径作为辅助线，结合正方形边长相等、圆的半径相等的性质，逐步推导所需线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知线段长度和正方形性质入手，第一步先求出正方形的边长，第二步连接半径OD，利用勾股定理求出圆的半径，第三步计算直角边BC的长度，最后在直角三角形BCD中用勾股定理求出BD的长度即可。
【解析】
解：
1. 求正方形边长：
已知$CO=3$，$OF=1$，且点C、O、F均在直径AB上，因此$CF=CO+OF=3+1=4$。
因为四边形CDEF是正方形，所以正方形边长$CD=CF=4$，且$CD⊥ AB$。
2. 求圆的半径：
连接OD，OD为$\odot O$的半径，在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，由勾股定理得：
$OD=\sqrt{OC^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$，因此$\odot O$的半径为5，即$OB=5$。
3. 求BD的长度：
$BC=BO+OC=5+3=8$，在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ BCD=90°$，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{BC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，正方形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是正确连接半径作为辅助线，结合正方形边长相等、圆的半径相等的性质，逐步推导所需线段长度即可求解。
【难度系数】
0.7
5. 有一半圆片(其中圆心角$∠ AED=52°$)在平面直角坐标系中,按如图所示放置,若点A可以沿y轴正半轴上下滑动,同时点B相应地在x轴正半轴上滑动,当$∠ OAB=n°$时,半圆片上的点D与原点O距离最大,则n为 (
A.64
B.52
C.38
D.26
D
)A.64
B.52
C.38
D.26
答案
5. D
解析
【分析】
要找到点D与原点O距离最大时n的值，首先明确：1. AB是半圆的直径，E是圆心，故AE=EB=ED（均为半径，长度固定）；2. Rt△AOB中，斜边AB的中点为E，由直角三角形斜边中线性质得OE=AE=EB，长度也固定。根据三角形三边关系，OD≤OE+ED，当且仅当O、E、D三点共线时，OD取得最大值，此时结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可求出n的值。
【解析】
∵AB是半圆的直径，E为半圆的圆心，
∴AE=ED=EB（均为半圆的半径，长度为定值）。
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，E是AB的中点，
根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得OE=AE=EB，即OE=AE=ED，长度均为定值。
根据三角形三边关系，对任意位置有OD≤OE+ED，当且仅当O、E、D三点共线时，等号成立，此时OD取得最大值。
当O、E、D共线时，△AEO为等腰三角形，AE=OE，故∠OAE=∠AOE=n°。
此时∠AED是△AEO的外角，根据“三角形外角等于不相邻两个内角的和”，可得：
∠AED=∠OAE + ∠AOE = 2n°
已知∠AED=52°，
∴2n=52，解得n=26。
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边中线性质，三角形三边关系，三角形外角性质
【点评】本题解题的关键是明确OD取最大值的条件是O、E、D三点共线，结合直角三角形和等腰三角形的性质即可求解，需要灵活运用几何中的最值判定方法。
【难度系数】0.6
要找到点D与原点O距离最大时n的值，首先明确：1. AB是半圆的直径，E是圆心，故AE=EB=ED（均为半径，长度固定）；2. Rt△AOB中，斜边AB的中点为E，由直角三角形斜边中线性质得OE=AE=EB，长度也固定。根据三角形三边关系，OD≤OE+ED，当且仅当O、E、D三点共线时，OD取得最大值，此时结合三角形外角性质和等腰三角形性质即可求出n的值。
【解析】
∵AB是半圆的直径，E为半圆的圆心，
∴AE=ED=EB（均为半圆的半径，长度为定值）。
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，E是AB的中点，
根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得OE=AE=EB，即OE=AE=ED，长度均为定值。
根据三角形三边关系，对任意位置有OD≤OE+ED，当且仅当O、E、D三点共线时，等号成立，此时OD取得最大值。
当O、E、D共线时，△AEO为等腰三角形，AE=OE，故∠OAE=∠AOE=n°。
此时∠AED是△AEO的外角，根据“三角形外角等于不相邻两个内角的和”，可得：
∠AED=∠OAE + ∠AOE = 2n°
已知∠AED=52°，
∴2n=52，解得n=26。
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边中线性质，三角形三边关系，三角形外角性质
【点评】本题解题的关键是明确OD取最大值的条件是O、E、D三点共线，结合直角三角形和等腰三角形的性质即可求解，需要灵活运用几何中的最值判定方法。
【难度系数】0.6
6. 如图,以$△ ABC$的边$BC$为直径的$\odot O$分别交$AB$,$AC$于点$D$,$E$,连接$OD$,$OE$,若$∠ A=65°$,则$∠ DOE=$
50
°.答案
6. 50
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①BC是⊙O的直径，可得OB=OD=OE=OC，即△OBD和△OCE均为等腰三角形；②已知∠A=65°，可先利用三角形内角和求出∠B+∠C的度数，再结合等腰三角形两底角相等的性质，表示出∠BOD与∠COE的和，最后根据平角为180°，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵ OB、OD、OC、OE都是⊙O的半径
∴ $OB=OD$，$OC=OE$
∴ △OBD、△OCE均为等腰三角形
∴ $∠ ODB=∠ OBD$，$∠ OEC=∠ OCE$
根据三角形内角和定理，可得：
$∠ BOD = 180° - 2∠ OBD$，$∠ COE = 180° - 2∠ OCE$
将两式相加：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2(∠ OBD + ∠ OCE) = 360° - 2×115° = 130°$
又
∵ $∠ BOD + ∠ DOE + ∠ COE = 180°$（平角的定义）
∴ $∠ DOE = 180° - (∠ BOD + ∠ COE) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
50
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，将圆的基本性质和三角形角度计算结合考查，解题的核心是通过半径相等得到等腰三角形，理清角度间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
解题时先从已知条件入手：①BC是⊙O的直径，可得OB=OD=OE=OC，即△OBD和△OCE均为等腰三角形；②已知∠A=65°，可先利用三角形内角和求出∠B+∠C的度数，再结合等腰三角形两底角相等的性质，表示出∠BOD与∠COE的和，最后根据平角为180°，即可求出∠DOE的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - ∠ A = 180° - 65° = 115°$
∵ OB、OD、OC、OE都是⊙O的半径
∴ $OB=OD$，$OC=OE$
∴ △OBD、△OCE均为等腰三角形
∴ $∠ ODB=∠ OBD$，$∠ OEC=∠ OCE$
根据三角形内角和定理，可得：
$∠ BOD = 180° - 2∠ OBD$，$∠ COE = 180° - 2∠ OCE$
将两式相加：
$∠ BOD + ∠ COE = 360° - 2(∠ OBD + ∠ OCE) = 360° - 2×115° = 130°$
又
∵ $∠ BOD + ∠ DOE + ∠ COE = 180°$（平角的定义）
∴ $∠ DOE = 180° - (∠ BOD + ∠ COE) = 180° - 130° = 50°$
【答案】
50
【知识点】
1. 圆的半径相等
2. 等腰三角形的性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的角度计算题，将圆的基本性质和三角形角度计算结合考查，解题的核心是通过半径相等得到等腰三角形，理清角度间的和差关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.75
7. 将一个含有$60°$角的三角板，按如图所示的方式摆放在圆形纸片上，O为圆心，则$∠ ACO=$
120
°。答案
7. 120
解析
【分析】
解题时首先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OC=OB，即△OBC是等腰三角形；结合三角板的60°角可知△OBC有一个内角为60°，由此可判定△OBC是等边三角形，得到∠OCB的度数；最后根据平角的定义，用180°减去∠OCB的度数即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
又
∵ 三角板含60°角，即∠OBC=60°，
∴ △OBC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠OCB=60°，
∵ ∠ACO + ∠OCB = 180°（平角的定义），
∴ ∠ACO = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120
【知识点】
圆的半径相等；等边三角形的判定与性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是挖掘出圆中半径相等的隐含条件，结合等边三角形的性质快速推导角度，整体解题思路清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆的性质：同圆的所有半径相等，可得OC=OB，即△OBC是等腰三角形；结合三角板的60°角可知△OBC有一个内角为60°，由此可判定△OBC是等边三角形，得到∠OCB的度数；最后根据平角的定义，用180°减去∠OCB的度数即可求出∠ACO的度数。
【解析】
∵ OC、OB都是⊙O的半径，
∴ OC=OB，
又
∵ 三角板含60°角，即∠OBC=60°，
∴ △OBC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ ∠OCB=60°，
∵ ∠ACO + ∠OCB = 180°（平角的定义），
∴ ∠ACO = 180° - 60° = 120°。
【答案】
120
【知识点】
圆的半径相等；等边三角形的判定与性质；平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题的关键是挖掘出圆中半径相等的隐含条件，结合等边三角形的性质快速推导角度，整体解题思路清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
8. 如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D，试证明：$∠ AOC = ∠ BOD$. 
第8题
第8题答案
8. 过点O作$OH ⊥ AB$于点H. $\because OA=OB,\therefore ∠AOH=∠BOH$.同理可得$∠COH=∠DOH$. $\because ∠AOC=∠AOH−∠COH,∠BOD=∠BOH−∠DOH,\therefore ∠AOC=∠BOD$.
解析
【分析】
要证明$∠AOC=∠BOD$，可借助角的和差关系推导：首先同心圆中$OA=OB$、$OC=OD$，因此$△ OAB$和$△ OCD$均为等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，过圆心$O$作$AB$的垂线，即可得到两组相等的角$∠AOH=∠BOH$、$∠COH=∠DOH$，再用相等的大角减去相等的小角，所得的差也相等，即可证明结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OH ⊥ AB$于点$H$.
$\because OA$、$OB$是大圆半径，$\therefore OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质，$OH$平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOH=∠BOH$.
同理，$OC$、$OD$是小圆半径，$OC=OD$，$OH⊥CD$，$\therefore OH$平分$∠COD$，即$∠COH=∠DOH$.
$\because ∠AOC=∠AOH−∠COH$，$∠BOD=∠BOH−∠DOH$，
$\therefore ∠AOC=∠BOD$.
【答案】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H. $\because OA=OB,\therefore ∠AOH=∠BOH$.同理可得$∠COH=∠DOH$. $\because ∠AOC=∠AOH−∠COH,∠BOD=∠BOH−∠DOH,\therefore ∠AOC=∠BOD$.
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形三线合一；角的和差运算
【点评】
本题是圆中角相等证明的基础题型，核心是通过作弦的垂线这条常用辅助线，结合等腰三角形的性质转化角的关系，解题时要注意积累圆相关问题的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.8
要证明$∠AOC=∠BOD$，可借助角的和差关系推导：首先同心圆中$OA=OB$、$OC=OD$，因此$△ OAB$和$△ OCD$均为等腰三角形，结合等腰三角形“三线合一”的性质，过圆心$O$作$AB$的垂线，即可得到两组相等的角$∠AOH=∠BOH$、$∠COH=∠DOH$，再用相等的大角减去相等的小角，所得的差也相等，即可证明结论。
【解析】
证明：过点$O$作$OH ⊥ AB$于点$H$.
$\because OA$、$OB$是大圆半径，$\therefore OA=OB$，$△ OAB$为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质，$OH$平分$∠AOB$，$\therefore ∠AOH=∠BOH$.
同理，$OC$、$OD$是小圆半径，$OC=OD$，$OH⊥CD$，$\therefore OH$平分$∠COD$，即$∠COH=∠DOH$.
$\because ∠AOC=∠AOH−∠COH$，$∠BOD=∠BOH−∠DOH$，
$\therefore ∠AOC=∠BOD$.
【答案】
过点O作$OH ⊥ AB$于点H. $\because OA=OB,\therefore ∠AOH=∠BOH$.同理可得$∠COH=∠DOH$. $\because ∠AOC=∠AOH−∠COH,∠BOD=∠BOH−∠DOH,\therefore ∠AOC=∠BOD$.
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形三线合一；角的和差运算
【点评】
本题是圆中角相等证明的基础题型，核心是通过作弦的垂线这条常用辅助线，结合等腰三角形的性质转化角的关系，解题时要注意积累圆相关问题的辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.8
