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9. 甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了自己的观点：
甲：$3^7$是3个7相加；
乙：$-(\dfrac{2}{3})^3$与$(-\dfrac{2}{3})^3$的结果不同；
丙：$(-6)^5$中底数是-6，指数是5；
丁：$m^7$是m个7相乘。
其中观点正确的有 （
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
甲：$3^7$是3个7相加；
乙：$-(\dfrac{2}{3})^3$与$(-\dfrac{2}{3})^3$的结果不同；
丙：$(-6)^5$中底数是-6，指数是5；
丁：$m^7$是m个7相乘。
其中观点正确的有 （
B
）A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是熟练掌握有理数乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数，$a^n$表示n个a相乘。解题时我们只需根据乘方的定义和运算规则，逐一判断四位同学的观点是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析四位同学的观点：
1. 甲的观点：$3^7$是3个7相加。
根据乘方定义，$3^7$表示7个3相乘，3个7相加为$7+7+7=3×7$，和乘方意义完全不同，因此甲的观点错误。
2. 乙的观点：$-(\dfrac{2}{3})^3$与$(-\dfrac{2}{3})^3$的结果不同。
分别计算两个式子：
$-(\dfrac{2}{3})^3 = -(\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{8}{27}$
$(-\dfrac{2}{3})^3 = (-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{8}{27}$
两个式子结果相同，因此乙的观点错误。
3. 丙的观点：$(-6)^5$中底数是-6，指数是5。
带括号的乘方，底数为括号内的整体，因此$(-6)^5$的底数是-6，指数是右上角的5，丙的观点正确。
4. 丁的观点：$m^7$是m个7相乘。
根据乘方定义，$m^7$表示7个m相乘，m个7相乘应写为$7^m$，因此丁的观点错误。
综上，只有丙的观点正确，共1个正确观点。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义、乘方的运算、底数与指数的识别
【点评】
本题重点考查乘方的基础概念，容易出错的点是混淆乘方中底数和指数的意义、以及带负号的乘方运算时符号的判断，只要准确掌握乘方的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
解题的核心是熟练掌握有理数乘方的定义：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，记作$a^n$，其中a是底数，n是指数，$a^n$表示n个a相乘。解题时我们只需根据乘方的定义和运算规则，逐一判断四位同学的观点是否正确即可。
【解析】
我们逐个分析四位同学的观点：
1. 甲的观点：$3^7$是3个7相加。
根据乘方定义，$3^7$表示7个3相乘，3个7相加为$7+7+7=3×7$，和乘方意义完全不同，因此甲的观点错误。
2. 乙的观点：$-(\dfrac{2}{3})^3$与$(-\dfrac{2}{3})^3$的结果不同。
分别计算两个式子：
$-(\dfrac{2}{3})^3 = -(\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}×\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{8}{27}$
$(-\dfrac{2}{3})^3 = (-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3})×(-\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{8}{27}$
两个式子结果相同，因此乙的观点错误。
3. 丙的观点：$(-6)^5$中底数是-6，指数是5。
带括号的乘方，底数为括号内的整体，因此$(-6)^5$的底数是-6，指数是右上角的5，丙的观点正确。
4. 丁的观点：$m^7$是m个7相乘。
根据乘方定义，$m^7$表示7个m相乘，m个7相乘应写为$7^m$，因此丁的观点错误。
综上，只有丙的观点正确，共1个正确观点。
【答案】
B
【知识点】
乘方的定义、乘方的运算、底数与指数的识别
【点评】
本题重点考查乘方的基础概念，容易出错的点是混淆乘方中底数和指数的意义、以及带负号的乘方运算时符号的判断，只要准确掌握乘方的定义就能快速解题。
【难度系数】
0.7
10. 计算: $3^1 +1=4,3^2 +1=10,3^3 +1=28,3^4 +1=82,3^5 +1=244,···$,归纳计算结果中的个位数字的规律,猜测$3^{2026}+1$的个位数字是 (
A.0
B.2
C.4
D.8
A
)A.0
B.2
C.4
D.8
答案
A
解析
【分析】
我们需要先归纳出$3^n+1$计算结果的个位数字的循环规律，再根据规律推断$3^{2026}+1$的个位数字。解题时不需要计算完整的乘方结果，只需观察给出的算式结果的个位数字，找出循环周期，再用指数除以周期得到余数，根据余数对应到周期内的个位数字即可。
【解析】
首先观察给出的算式结果的个位数字：
$3^1 +1=4$，个位数字为4；
$3^2 +1=10$，个位数字为0；
$3^3 +1=28$，个位数字为8；
$3^4 +1=82$，个位数字为2；
$3^5 +1=244$，个位数字为4；
……
可发现个位数字按照4、0、8、2的顺序，每4个为一个周期循环出现。
接下来计算2026除以周期4的余数：$2026 ÷ 4 = 506······2$，余数为2。
说明$3^{2026}+1$的个位数字与周期中第2个数字相同，即为0。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究；周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过已知的几个结果归纳出个位数字的循环周期，再结合余数判断目标式的个位数字，这类题型能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们需要先归纳出$3^n+1$计算结果的个位数字的循环规律，再根据规律推断$3^{2026}+1$的个位数字。解题时不需要计算完整的乘方结果，只需观察给出的算式结果的个位数字，找出循环周期，再用指数除以周期得到余数，根据余数对应到周期内的个位数字即可。
【解析】
首先观察给出的算式结果的个位数字：
$3^1 +1=4$，个位数字为4；
$3^2 +1=10$，个位数字为0；
$3^3 +1=28$，个位数字为8；
$3^4 +1=82$，个位数字为2；
$3^5 +1=244$，个位数字为4；
……
可发现个位数字按照4、0、8、2的顺序，每4个为一个周期循环出现。
接下来计算2026除以周期4的余数：$2026 ÷ 4 = 506······2$，余数为2。
说明$3^{2026}+1$的个位数字与周期中第2个数字相同，即为0。
【答案】
A
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究；周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题核心是通过已知的几个结果归纳出个位数字的循环周期，再结合余数判断目标式的个位数字，这类题型能很好地锻炼归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
11.[新课标—数学文化题]我国古代典籍《庄子·天下篇》中曾说过一句话“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.意思是:现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为（
A.$\frac{1}{2^{98}}$尺
B.$\frac{1}{2^{99}}$尺
C.$\frac{1}{2^{100}}$尺
D.$\frac{1}{2^{101}}$尺
B
）A.$\frac{1}{2^{98}}$尺
B.$\frac{1}{2^{99}}$尺
C.$\frac{1}{2^{100}}$尺
D.$\frac{1}{2^{101}}$尺
答案
B
解析
【分析】
这是一道结合数学文化的乘方规律应用题，解题时可从简单情形入手推导规律：首先明确每次截取一半后，剩余长度是截取前长度的$\frac{1}{2}$，我们先计算前几次截取后的剩余长度，找到剩余长度和截取次数的关系，再将规律推广到第99次即可得到结果。
【解析】
我们先列举前几次截取后木杆的剩余长度：
第1次截取后，剩余长度为$1 × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$尺；
第2次截取后，剩余长度为$\frac{1}{2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^2}$尺；
第3次截取后，剩余长度为$\frac{1}{2^2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^3}$尺；
……
由此可归纳规律：第$n$次截取后，木杆剩余长度为$\frac{1}{2^n}$尺。
当$n=99$时，剩余长度为$\frac{1}{2^{99}}$尺。
【答案】
B
【知识点】
1.有理数的乘方 2.数字规律探究
【点评】
本题结合我国古代经典数学命题设置，既考查了乘方的实际应用，也渗透了传统数学文化的教育。解题的关键是通过列举少量特殊情形总结出通用规律，侧重对规律探究能力的考查。
【难度系数】
0.8
这是一道结合数学文化的乘方规律应用题，解题时可从简单情形入手推导规律：首先明确每次截取一半后，剩余长度是截取前长度的$\frac{1}{2}$，我们先计算前几次截取后的剩余长度，找到剩余长度和截取次数的关系，再将规律推广到第99次即可得到结果。
【解析】
我们先列举前几次截取后木杆的剩余长度：
第1次截取后，剩余长度为$1 × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} = \frac{1}{2^1}$尺；
第2次截取后，剩余长度为$\frac{1}{2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^2}$尺；
第3次截取后，剩余长度为$\frac{1}{2^2} × (1-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2^3}$尺；
……
由此可归纳规律：第$n$次截取后，木杆剩余长度为$\frac{1}{2^n}$尺。
当$n=99$时，剩余长度为$\frac{1}{2^{99}}$尺。
【答案】
B
【知识点】
1.有理数的乘方 2.数字规律探究
【点评】
本题结合我国古代经典数学命题设置，既考查了乘方的实际应用，也渗透了传统数学文化的教育。解题的关键是通过列举少量特殊情形总结出通用规律，侧重对规律探究能力的考查。
【难度系数】
0.8
12.[新定义题]定义新运算：$m\&n = m^n -n$，例如：$(-2)\&3 = (-2)^3 -3 = -8 -3 = -11$，则$(1\&4)\&2 =$
7
。答案
7
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题需先明确运算规则：$m\&n = m^n -n$。运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的部分，第一步先计算$1\&4$的结果，第二步再将该结果与$2$按照新运算规则计算，就能得到最终答案。
【解析】
第一步：计算括号内的$1\&4$，此时对应规则中的$m=1$，$n=4$：
$1\&4 = 1^4 - 4 = 1 - 4 = -3$
第二步：计算$(-3)\&2$，此时对应规则中的$m=-3$，$n=2$：
$(-3)\&2 = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算、有理数乘方运算、有理数减法运算
【点评】
本题属于基础类运算题，核心考查对新规则的理解与套用能力，解题时只要严格遵循给定的运算规则、注意运算顺序和乘方的符号判断即可正确求解。
【难度系数】
0.8
本题是新定义运算类题目，解题需先明确运算规则：$m\&n = m^n -n$。运算顺序和常规四则运算一致，有括号先算括号内的部分，第一步先计算$1\&4$的结果，第二步再将该结果与$2$按照新运算规则计算，就能得到最终答案。
【解析】
第一步：计算括号内的$1\&4$，此时对应规则中的$m=1$，$n=4$：
$1\&4 = 1^4 - 4 = 1 - 4 = -3$
第二步：计算$(-3)\&2$，此时对应规则中的$m=-3$，$n=2$：
$(-3)\&2 = (-3)^2 - 2 = 9 - 2 = 7$
【答案】
7
【知识点】
新定义运算、有理数乘方运算、有理数减法运算
【点评】
本题属于基础类运算题，核心考查对新规则的理解与套用能力，解题时只要严格遵循给定的运算规则、注意运算顺序和乘方的符号判断即可正确求解。
【难度系数】
0.8
13.水葫芦是一种水生植物,有着惊人的繁殖能力.据研究表明:适量的水葫芦对水质的净化是有利的,关键是科学管理和转化利用.已知在适宜的条件下,1株水葫芦每5天就能繁殖1株.(不考虑死亡、被打捞等其他因素)
(1)假设湖面上现有1株水葫芦,填写下表:
(2)假定某个水域的水葫芦维持在1 280株以内对水质净化有益.现有10株水葫芦,请你计算,按照上述生长速度,多少天时有1 280株水葫芦?
(1)假设湖面上现有1株水葫芦,填写下表:
(2)假定某个水域的水葫芦维持在1 280株以内对水质净化有益.现有10株水葫芦,请你计算,按照上述生长速度,多少天时有1 280株水葫芦?
答案
(1)8 32 $2^n$
(2)根据题意,得 $10×2^n=1 280$,解得 $n=7$.
所以 $7×5=35$(天).
答:按照上述生长速度,35天时有1 280株水葫芦.
(2)根据题意,得 $10×2^n=1 280$,解得 $n=7$.
所以 $7×5=35$(天).
答:按照上述生长速度,35天时有1 280株水葫芦.
解析
【分析】
首先解决第一问：先明确水葫芦的生长规律，每5天繁殖1株，即每经过5天总株数变为原来的2倍，我们可以按5天为一个周期计算总株数，第1个5天（5天）株数为$2^1$，第2个5天（10天）为$2^2$，以此类推即可求出对应天数的总株数。
再解决第二问：初始有10株水葫芦，每过1个5天株数乘2，设经过n个5天总株数达到1280株，根据数量关系列方程求出n的值，再乘5得到总天数即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每5天水葫芦总株数为原来的2倍：
15天是第3个5天，总株数为$2^3=8$；
25天是第5个5天，总株数为$2^5=32$；
$5n$天是第n个5天，总株数为$2^n$。
(2) 设经过n个5天，水葫芦总株数为1280株。
初始有10株，根据生长规律列方程：
$10×2^n=1280$
两边同时除以10得：$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
总天数为：$7×5=35$（天）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{32}$，$\boxed{2^n}$
(2) $\boxed{35}$天
【知识点】
1. 有理数的乘方
2. 规律探究
3. 列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实例考查乘方的实际应用，解题关键是理解“每5天繁殖1株”的含义，准确找出株数随时间变化的指数增长规律，再结合乘方的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
首先解决第一问：先明确水葫芦的生长规律，每5天繁殖1株，即每经过5天总株数变为原来的2倍，我们可以按5天为一个周期计算总株数，第1个5天（5天）株数为$2^1$，第2个5天（10天）为$2^2$，以此类推即可求出对应天数的总株数。
再解决第二问：初始有10株水葫芦，每过1个5天株数乘2，设经过n个5天总株数达到1280株，根据数量关系列方程求出n的值，再乘5得到总天数即可。
【解析】
(1) 由题意可知，每5天水葫芦总株数为原来的2倍：
15天是第3个5天，总株数为$2^3=8$；
25天是第5个5天，总株数为$2^5=32$；
$5n$天是第n个5天，总株数为$2^n$。
(2) 设经过n个5天，水葫芦总株数为1280株。
初始有10株，根据生长规律列方程：
$10×2^n=1280$
两边同时除以10得：$2^n=128$
因为$2^7=128$，所以$n=7$
总天数为：$7×5=35$（天）
【答案】
(1) $\boxed{8}$，$\boxed{32}$，$\boxed{2^n}$
(2) $\boxed{35}$天
【知识点】
1. 有理数的乘方
2. 规律探究
3. 列方程解应用题
【点评】
本题结合生活实例考查乘方的实际应用，解题关键是理解“每5天繁殖1株”的含义，准确找出株数随时间变化的指数增长规律，再结合乘方的性质计算即可。
【难度系数】
0.8
14. (1)计算下面两组算式:
①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；
②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$.
(2)根据以上计算结果猜想:$(ab)^3$等于什么?当$n$为正整数时,$(ab)^n$等于什么?(直接写出结果)
(3)利用上述结论,求$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$的值.
①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；
②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$.
(2)根据以上计算结果猜想:$(ab)^3$等于什么?当$n$为正整数时,$(ab)^n$等于什么?(直接写出结果)
(3)利用上述结论,求$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$的值.
答案
(1)①$(3×5)^2=15^2=225$,$3^2×5^2=9×25=225$.
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$,$(-2)^2×3^2=4×9=36$.
(2)猜想:$(ab)^3=a^3b^3$;$(ab)^n=a^nb^n$.
(3)$(-4)^{2024}×0.25^{2025}=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0. 25=(-4×0.25)^{2024}×0.25=(-1)^{2024}×0.25=0.25$.
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$,$(-2)^2×3^2=4×9=36$.
(2)猜想:$(ab)^3=a^3b^3$;$(ab)^n=a^nb^n$.
(3)$(-4)^{2024}×0.25^{2025}=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0. 25=(-4×0.25)^{2024}×0.25=(-1)^{2024}×0.25=0.25$.
解析
【分析】
解题思路分为三步：第一步先分别计算两组算式的左右两侧，验证结果是否相等，初步感知积的乘方的运算特征；第二步根据两组算式呈现的规律，从特殊到一般，猜想出$(ab)^3$以及正整数$n$对应的$(ab)^n$的运算结果；第三步计算高指数乘法时，先将$0.25^{2025}$拆分为$0.25^{2024}×0.25$，使两个乘方项指数相同，再逆用前面得到的积的乘方规律简化计算即可。
【解析】
(1) ① 计算$(3×5)^2$：先算括号内乘法$3×5=15$，再算乘方得$15^2=225$；
计算$3^2×5^2$：分别算乘方$3^2=9$、$5^2=25$，再算乘法得$9×25=225$。
② 计算$[(-2)×3]^2$：先算括号内乘法$(-2)×3=-6$，再算乘方得$(-6)^2=36$；
计算$(-2)^2×3^2$：分别算乘方$(-2)^2=4$、$3^2=9$，再算乘法得$4×9=36$。
(2) 根据(1)的运算规律，两个数乘积的乘方等于两个数分别乘方后再相乘，因此猜想：
$(ab)^3=a^3b^3$；当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
(3) 计算$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$时先拆分指数：
$\begin{aligned}原式&=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0.25\\&=(-4×0.25)^{2024}×0.25\\&=(-1)^{2024}×0.25\\&=1×0.25\\&=0.25\end{aligned}$
【答案】
(1)①$(3×5)^2=225$，$3^2×5^2=225$；②$[(-2)×3]^2=36$，$(-2)^2×3^2=36$
(2)$(ab)^3=a^3b^3$；$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）
(3)$0.25$
【知识点】
有理数乘方运算、积的乘方性质、积的乘方逆运算
【点评】
本题通过特殊运算案例推导普遍运算规律，再应用规律简化高指数运算，考查了从特殊到一般的归纳思维，以及对运算性质的灵活应用能力，拆分高次项构造同指数乘方是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.8
解题思路分为三步：第一步先分别计算两组算式的左右两侧，验证结果是否相等，初步感知积的乘方的运算特征；第二步根据两组算式呈现的规律，从特殊到一般，猜想出$(ab)^3$以及正整数$n$对应的$(ab)^n$的运算结果；第三步计算高指数乘法时，先将$0.25^{2025}$拆分为$0.25^{2024}×0.25$，使两个乘方项指数相同，再逆用前面得到的积的乘方规律简化计算即可。
【解析】
(1) ① 计算$(3×5)^2$：先算括号内乘法$3×5=15$，再算乘方得$15^2=225$；
计算$3^2×5^2$：分别算乘方$3^2=9$、$5^2=25$，再算乘法得$9×25=225$。
② 计算$[(-2)×3]^2$：先算括号内乘法$(-2)×3=-6$，再算乘方得$(-6)^2=36$；
计算$(-2)^2×3^2$：分别算乘方$(-2)^2=4$、$3^2=9$，再算乘法得$4×9=36$。
(2) 根据(1)的运算规律，两个数乘积的乘方等于两个数分别乘方后再相乘，因此猜想：
$(ab)^3=a^3b^3$；当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
(3) 计算$(-4)^{2024}×0.25^{2025}$时先拆分指数：
$\begin{aligned}原式&=(-4)^{2024}×0.25^{2024}×0.25\\&=(-4×0.25)^{2024}×0.25\\&=(-1)^{2024}×0.25\\&=1×0.25\\&=0.25\end{aligned}$
【答案】
(1)①$(3×5)^2=225$，$3^2×5^2=225$；②$[(-2)×3]^2=36$，$(-2)^2×3^2=36$
(2)$(ab)^3=a^3b^3$；$(ab)^n=a^nb^n$（$n$为正整数）
(3)$0.25$
【知识点】
有理数乘方运算、积的乘方性质、积的乘方逆运算
【点评】
本题通过特殊运算案例推导普遍运算规律，再应用规律简化高指数运算，考查了从特殊到一般的归纳思维，以及对运算性质的灵活应用能力，拆分高次项构造同指数乘方是解决第三问的关键。
【难度系数】
0.8
