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1. 在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（
甲：$9 - 3^2 ÷ 8 = 0 ÷ 8 = 0.$
乙：$24 - (4 × 3^2) = 24 - 4 × 6 = 0.$
丙：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 16.$
丁：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 ÷ 1 = 9.$
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）甲：$9 - 3^2 ÷ 8 = 0 ÷ 8 = 0.$
乙：$24 - (4 × 3^2) = 24 - 4 × 6 = 0.$
丙：$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 16.$
丁：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 ÷ 1 = 9.$
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题需先牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算按照从左到右的顺序计算，也可结合运算律简化计算。我们只需按照运算规则逐一验证四位同学的计算过程是否正确，即可选出做对的同学。
【解析】
我们逐个判断四位同学的计算正误：
1. 甲的计算：
正确步骤：$9 - 3^2 ÷ 8 = 9 - 9 ÷ 8 = 9 - \frac{9}{8} = \frac{63}{8}$，甲先计算了减法再算除法，违反运算顺序，计算错误。
2. 乙的计算：
正确步骤：$24 - (4 × 3^2) = 24 - (4 × 9) = 24 - 36 = -12$，乙错误将$3^2$计算为6，乘方运算错误，计算错误。
3. 丙的计算：
先将除法转化为乘法，再使用乘法分配律计算：
$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = (36 - 12) × \frac{2}{3} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 24 - 8 = 16$，计算完全正确。
4. 丁的计算：
正确步骤：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 × 3 × 3 = 81$，丁违反同级运算从左到右的规则，先计算了右侧的乘法，计算错误。
综上只有丙计算正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的基础题，易错点集中在三点：一是运算顺序混乱，先算低级运算再算高级运算，或同级运算不按从左到右顺序计算；二是乘方计算错误；三是除法转化为乘法时出错。熟练掌握运算规则就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题考查有理数的混合运算，解题需先牢记有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的运算；同级运算按照从左到右的顺序计算，也可结合运算律简化计算。我们只需按照运算规则逐一验证四位同学的计算过程是否正确，即可选出做对的同学。
【解析】
我们逐个判断四位同学的计算正误：
1. 甲的计算：
正确步骤：$9 - 3^2 ÷ 8 = 9 - 9 ÷ 8 = 9 - \frac{9}{8} = \frac{63}{8}$，甲先计算了减法再算除法，违反运算顺序，计算错误。
2. 乙的计算：
正确步骤：$24 - (4 × 3^2) = 24 - (4 × 9) = 24 - 36 = -12$，乙错误将$3^2$计算为6，乘方运算错误，计算错误。
3. 丙的计算：
先将除法转化为乘法，再使用乘法分配律计算：
$(36 - 12) ÷ \frac{3}{2} = (36 - 12) × \frac{2}{3} = 36 × \frac{2}{3} - 12 × \frac{2}{3} = 24 - 8 = 16$，计算完全正确。
4. 丁的计算：
正确步骤：$(-3)^2 ÷ \frac{1}{3} × 3 = 9 × 3 × 3 = 81$，丁违反同级运算从左到右的规则，先计算了右侧的乘法，计算错误。
综上只有丙计算正确。
【答案】
C
【知识点】
有理数混合运算，乘方运算，乘法分配律
【点评】
本题是有理数运算的基础题，易错点集中在三点：一是运算顺序混乱，先算低级运算再算高级运算，或同级运算不按从左到右顺序计算；二是乘方计算错误；三是除法转化为乘法时出错。熟练掌握运算规则就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
2. 计算:
(1)$-(\dfrac{1}{4})^2 × (-4^2) ÷ (-\dfrac{1}{8})^2$；
(2)$(-1)^6 × 5 + (-2)^3 ÷ 4$；
(3)$(\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{3}) × 24 + \dfrac{1}{4} ÷ (-\dfrac{1}{2})^3 + |-22|$；
(4)$[50 - (\dfrac{7}{9} - \dfrac{11}{12} + \dfrac{1}{6}) × (-6)^2] ÷ (-7)^2$。
(1)$-(\dfrac{1}{4})^2 × (-4^2) ÷ (-\dfrac{1}{8})^2$；
(2)$(-1)^6 × 5 + (-2)^3 ÷ 4$；
(3)$(\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{3}) × 24 + \dfrac{1}{4} ÷ (-\dfrac{1}{2})^3 + |-22|$；
(4)$[50 - (\dfrac{7}{9} - \dfrac{11}{12} + \dfrac{1}{6}) × (-6)^2] ÷ (-7)^2$。
答案
2.(1)64 (2)3 (3)19 (4)1
解析
【分析】
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算按照从左到右的顺序计算；③有括号时先算括号内的运算，多层括号按小括号→中括号→大括号的顺序计算。计算过程中可以灵活运用乘法分配律等运算律简化计算，同时要格外注意符号判断，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：
$(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，$-4^2=-16$，$(-\dfrac{1}{8})^2=\dfrac{1}{64}$
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{1}{16}×(-16)÷\dfrac{1}{64}\\&=1×64\\&=64\end{aligned}$
(2) 先计算各乘方项：
$(-1)^6=1$，$(-2)^3=-8$
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=1×5+(-8)÷4\\&=5-2\\&=3\end{aligned}$
(3) 先计算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，$|-22|=22$
利用乘法分配律计算乘法部分，再按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{5}{8}×24-\dfrac{2}{3}×24 + \dfrac{1}{4}÷(-\dfrac{1}{8}) + 22\\&=15-16 + \dfrac{1}{4}×(-8) + 22\\&=-1-2+22\\&=19\end{aligned}$
(4) 先计算乘方项：
$(-6)^2=36$，$(-7)^2=49$
先算中括号内的运算，利用乘法分配律简化计算：
$\begin{aligned}原式&=[50 - (\dfrac{7}{9}×36 - \dfrac{11}{12}×36 + \dfrac{1}{6}×36)] ÷ 49\\&=[50 - (28-33+6)] ÷ 49\\&=(50-1)÷49\\&=49÷49\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)64；(2)3；(3)19；(4)1
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础典型题，主要考查运算顺序的掌握情况和运算律的灵活运用能力，计算时需注意区分负数的乘方和乘方的相反数的符号差异，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
解决有理数混合运算类题目，首先要牢记运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同级运算按照从左到右的顺序计算；③有括号时先算括号内的运算，多层括号按小括号→中括号→大括号的顺序计算。计算过程中可以灵活运用乘法分配律等运算律简化计算，同时要格外注意符号判断，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算各乘方项：
$(\dfrac{1}{4})^2=\dfrac{1}{16}$，$-4^2=-16$，$(-\dfrac{1}{8})^2=\dfrac{1}{64}$
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=-\dfrac{1}{16}×(-16)÷\dfrac{1}{64}\\&=1×64\\&=64\end{aligned}$
(2) 先计算各乘方项：
$(-1)^6=1$，$(-2)^3=-8$
代入原式按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=1×5+(-8)÷4\\&=5-2\\&=3\end{aligned}$
(3) 先计算乘方和绝对值：
$(-\dfrac{1}{2})^3=-\dfrac{1}{8}$，$|-22|=22$
利用乘法分配律计算乘法部分，再按顺序计算：
$\begin{aligned}原式&=\dfrac{5}{8}×24-\dfrac{2}{3}×24 + \dfrac{1}{4}÷(-\dfrac{1}{8}) + 22\\&=15-16 + \dfrac{1}{4}×(-8) + 22\\&=-1-2+22\\&=19\end{aligned}$
(4) 先计算乘方项：
$(-6)^2=36$，$(-7)^2=49$
先算中括号内的运算，利用乘法分配律简化计算：
$\begin{aligned}原式&=[50 - (\dfrac{7}{9}×36 - \dfrac{11}{12}×36 + \dfrac{1}{6}×36)] ÷ 49\\&=[50 - (28-33+6)] ÷ 49\\&=(50-1)÷49\\&=49÷49\\&=1\end{aligned}$
【答案】
(1)64；(2)3；(3)19；(4)1
【知识点】
有理数混合运算、乘法分配律、绝对值运算
【点评】
本题是有理数混合运算的基础典型题，主要考查运算顺序的掌握情况和运算律的灵活运用能力，计算时需注意区分负数的乘方和乘方的相反数的符号差异，避免因符号判断失误丢分。
【难度系数】
0.7
3. 如图是小安写的一个运算程序的示意图，当输入的数为－5时，输出的数为 （
A.－46
B.46
C.－54
D.54
A
）A.－46
B.46
C.－54
D.54
答案
3.A
解析
【分析】首先理清运算程序的计算顺序：输入一个数后，先计算这个数的平方，再将所得结果乘以-2，最后加上4，得到的就是输出结果。解题时只需把输入的数-5按照这个运算顺序逐步计算即可，计算过程中要注意遵守有理数运算的符号规则。
【解析】根据运算程序，设输入的数为$x$，则输出结果的运算式为：$\boldsymbol{x^2×(-2)+4}$
将$x=-5$代入式子逐步计算：
1. 计算乘方：$(-5)^2=25$
2. 计算乘法：$25×(-2)=-50$
3. 计算加法：$-50+4=-46$
因此输出的数为-46。
【答案】A
【知识点】有理数混合运算；程序型代数式求值
【点评】本题属于基础运算类题型，核心是准确理解运算程序的先后顺序，计算时重点注意乘方、乘法的符号判定，熟练掌握有理数运算法则即可正确解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据运算程序，设输入的数为$x$，则输出结果的运算式为：$\boldsymbol{x^2×(-2)+4}$
将$x=-5$代入式子逐步计算：
1. 计算乘方：$(-5)^2=25$
2. 计算乘法：$25×(-2)=-50$
3. 计算加法：$-50+4=-46$
因此输出的数为-46。
【答案】A
【知识点】有理数混合运算；程序型代数式求值
【点评】本题属于基础运算类题型，核心是准确理解运算程序的先后顺序，计算时重点注意乘方、乘法的符号判定，熟练掌握有理数运算法则即可正确解答。
【难度系数】0.8
4. 计算机的计算原理之一是二进制数，它只有两个数字0,1.将一个十进制数转化为二进制数，需要将该数写为若干个2的整数次幂相加，再依次写出1,0即可.例如:十进制数20可以写为二进制数$(10100)_2$，因为$20=16+4=1×2^4+0×2^3+1×2^2+0×2^1+0×2^0$；十进制数39可以写为二进制数$(100111)_2$，因为$39=32+4+2+1=1×2^5+0×2^4+0×2^3+1×2^2+1×2^1+1×2^0$.将十进制数25写为二进制数是（
A.$(11011)_2$
B.$(11001)_2$
C.$(11101)_2$
D.$(10101)_2$
B
）A.$(11011)_2$
B.$(11001)_2$
C.$(11101)_2$
D.$(10101)_2$
答案
4.B
解析
【分析】
要将十进制数转化为二进制数，首先要明确转化规则：把十进制数拆分为若干个2的整数次幂相加的形式，每个2的幂次对应的系数就是二进制数对应数位上的数字（系数为1就写1，系数为0就写0，从最高次幂到最低次幂依次书写即可）。解题时我们可以先列出2的整数次幂，找到小于待转化数的最大2的幂，再依次计算每一位的系数。
【解析】
第一步：先计算2的整数次幂，找到小于25的最大2的幂：
$2^0=1$，$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32＞25$，所以最高位对应$2^4$的系数。
第二步：依次计算每一位的系数：
① $25÷16=1······9$，所以$2^4$对应数位的数字是1；
② 余下的9除以$2^3=8$，得$9÷8=1······1$，所以$2^3$对应数位的数字是1；
③ 余下的1除以$2^2=4$，商0余1，所以$2^2$对应数位的数字是0；
④ 余下的1除以$2^1=2$，商0余1，所以$2^1$对应数位的数字是0；
⑤ 余下的1除以$2^0=1$，商1余0，所以$2^0$对应数位的数字是1。
第三步：把系数从最高位到最低位依次写出，得到二进制数$(11001)_2$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方，进制转换
【点评】
本题考查十进制转二进制的方法，解题关键是掌握将十进制数拆分为2的整数次幂之和的方法，按顺序确定每一位的数字即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
要将十进制数转化为二进制数，首先要明确转化规则：把十进制数拆分为若干个2的整数次幂相加的形式，每个2的幂次对应的系数就是二进制数对应数位上的数字（系数为1就写1，系数为0就写0，从最高次幂到最低次幂依次书写即可）。解题时我们可以先列出2的整数次幂，找到小于待转化数的最大2的幂，再依次计算每一位的系数。
【解析】
第一步：先计算2的整数次幂，找到小于25的最大2的幂：
$2^0=1$，$2^1=2$，$2^2=4$，$2^3=8$，$2^4=16$，$2^5=32＞25$，所以最高位对应$2^4$的系数。
第二步：依次计算每一位的系数：
① $25÷16=1······9$，所以$2^4$对应数位的数字是1；
② 余下的9除以$2^3=8$，得$9÷8=1······1$，所以$2^3$对应数位的数字是1；
③ 余下的1除以$2^2=4$，商0余1，所以$2^2$对应数位的数字是0；
④ 余下的1除以$2^1=2$，商0余1，所以$2^1$对应数位的数字是0；
⑤ 余下的1除以$2^0=1$，商1余0，所以$2^0$对应数位的数字是1。
第三步：把系数从最高位到最低位依次写出，得到二进制数$(11001)_2$。
【答案】
B
【知识点】
有理数乘方，进制转换
【点评】
本题考查十进制转二进制的方法，解题关键是掌握将十进制数拆分为2的整数次幂之和的方法，按顺序确定每一位的数字即可，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
5. [材料阅读题]观察下列解题过程：
计算$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{24}+3^{25}$的值.
设$a=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{24}+3^{25}$， ①
则$3a=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{25}+3^{26}$， ②
②$-$①，得$2a=3^{26}-1$，所以$a=\dfrac{3^{26}-1}{2}$，
所以原式$=\dfrac{3^{26}-1}{2}$.
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，
请用此方法计算$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{19}+5^{20}$
的值.
计算$1+3+3^2+3^3+\dots+3^{24}+3^{25}$的值.
设$a=1+3+3^2+3^3+\dots+3^{24}+3^{25}$， ①
则$3a=3+3^2+3^3+3^4+\dots+3^{25}+3^{26}$， ②
②$-$①，得$2a=3^{26}-1$，所以$a=\dfrac{3^{26}-1}{2}$，
所以原式$=\dfrac{3^{26}-1}{2}$.
通过阅读，你一定学会了这种解决问题的方法，
请用此方法计算$1+5+5^2+5^3+\dots+5^{19}+5^{20}$
的值.
答案
设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{19}+5^{20}$， ①
则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{20}+5^{21}$， ②
②$-$①,得$4S=5^{21}-1$,
所以$S=\dfrac{5^{21}-1}{4}$,所以原式$=\dfrac{5^{21}-1}{4}$.
则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{20}+5^{21}$， ②
②$-$①,得$4S=5^{21}-1$,
所以$S=\dfrac{5^{21}-1}{4}$,所以原式$=\dfrac{5^{21}-1}{4}$.
解析
【分析】
观察所求算式可知，算式中每后一项都是前一项的5倍，和材料给出的算式结构完全相同，可模仿材料中的错位相减法求解：第一步先设原式的和为S，第二步将等式两边同时乘5，得到一个新的等式，此时新等式和原S的等式有大量重叠的项；第三步将两个等式相减，重叠项会全部抵消，即可得到只含S的简单方程，解出方程就能得到原式的结果。
【解析】
设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{19}+5^{20}$， ①
则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{20}+5^{21}$， ②
②$-$①，得$4S=5^{21}-1$，
所以$S=\dfrac{5^{21}-1}{4}$，即原式的值为$\dfrac{5^{21}-1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5^{21}-1}{4}$
【知识点】
1. 错位相减法求和
2. 有理数乘方运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是材料阅读类题目，重点考查方法迁移应用能力，解题关键是理解材料中错位相减的操作逻辑，相减时注意不要漏项、错算抵消项，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
观察所求算式可知，算式中每后一项都是前一项的5倍，和材料给出的算式结构完全相同，可模仿材料中的错位相减法求解：第一步先设原式的和为S，第二步将等式两边同时乘5，得到一个新的等式，此时新等式和原S的等式有大量重叠的项；第三步将两个等式相减，重叠项会全部抵消，即可得到只含S的简单方程，解出方程就能得到原式的结果。
【解析】
设$S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{19}+5^{20}$， ①
则$5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{20}+5^{21}$， ②
②$-$①，得$4S=5^{21}-1$，
所以$S=\dfrac{5^{21}-1}{4}$，即原式的值为$\dfrac{5^{21}-1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5^{21}-1}{4}$
【知识点】
1. 错位相减法求和
2. 有理数乘方运算
3. 有理数混合运算
【点评】
本题是材料阅读类题目，重点考查方法迁移应用能力，解题关键是理解材料中错位相减的操作逻辑，相减时注意不要漏项、错算抵消项，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.7
