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原题1:若函数$y=4x$与$y=\frac{k}{x}$有一个交点是$(\frac{1}{2},2)$，则另一个交点坐标为
$\boldsymbol{(-\dfrac{1}{2},-2)}$
。答案
$(-\dfrac{1}{2},-2)$
问题变式:如图,直线l与双曲线交于A,C两点,将直线l绕点O顺时针旋转α(0°＜α≤45°),与双曲线交于B,D两点,则四边形ABCD的形状一定是（
A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形
A
）A.平行四边形
B.菱形
C.矩形
D.任意四边形
答案
A
原题2:如图,过y轴正半轴上的任意一点P,作x轴的平行线,分别与反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＜0)$和$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象交于点A和点B。若点C是x轴上任意一点,连结AC,BC,则△ABC的面积为
7
。答案
7
【解析】如图，连结OA，OB。因为△AOB与△ACB同底等高，所以$S_{△ AOB}=S_{△ ACB}$。因为$AB// x$轴，所以$AB⊥ y$轴。因为A，B分别在反比例函数$y=-\frac{6}{x}(x＜0)$和$y=\frac{8}{x}(x＞0)$的图象上，所以$S_{△ AOP}=3$，$S_{△ BOP}=4$，所以$S_{△ ABC}=S_{△ AOB}=S_{△ AOP}+S_{△ BOP}=3+4=7$。
问题变式1:如图，
点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任意一点，$AB// x$轴，交反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则$S_{□ ABCD}$为
点A是反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上任意一点，$AB// x$轴，交反比例函数$y=-\frac{3}{x}$的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C，D在x轴上，则$S_{□ ABCD}$为
5
。答案
5
【解析】设点A的纵坐标为b，则$\frac{2}{x}=b$，解得$x=\frac{2}{b}$，因为$AB// x$轴，所以点B的纵坐标为$\frac{-3}{x}=b$，解得$x=-\frac{3}{b}$，所以$AB=\frac{2}{b}-(-\frac{3}{b})=\frac{5}{b}$，所以$S_{□ ABCD}=\frac{5}{b}· b=5$。
【解析】设点A的纵坐标为b，则$\frac{2}{x}=b$，解得$x=\frac{2}{b}$，因为$AB// x$轴，所以点B的纵坐标为$\frac{-3}{x}=b$，解得$x=-\frac{3}{b}$，所以$AB=\frac{2}{b}-(-\frac{3}{b})=\frac{5}{b}$，所以$S_{□ ABCD}=\frac{5}{b}· b=5$。
问题变式2:如图,双曲线$y=\frac{k}{x}(k＞0)$经过矩形OABC的边BC的中点E,交AB于点D,若梯形ODBC的面积为3,则双曲线的表达式中的k为
2
。答案
2
原题3:如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是矩形,AD//x轴,A(-6,3),AB=2,AD=4。
(1)填空:点B的坐标是
(2)将矩形ABCD向右平移m个单位,使点A,C恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,得矩形A'B'C'D'。求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的表达式。
【解析】第(2)小题根据平移方法可得A'(-6+m,3),C'(-2+m,1),根据反比例函数图象上点的坐标特点可得$3(-6+m)=-2+m$,解出m的值,然后可得点A'的坐标。再利用待定系数法求出反比例函数表达式即可。
(1)填空:点B的坐标是
$\boldsymbol{(-6,1)}$
;点D的坐标是$\boldsymbol{(-2,3)}$
。(2)将矩形ABCD向右平移m个单位,使点A,C恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上,得矩形A'B'C'D'。求矩形ABCD的平移距离m和反比例函数的表达式。
【解析】第(2)小题根据平移方法可得A'(-6+m,3),C'(-2+m,1),根据反比例函数图象上点的坐标特点可得$3(-6+m)=-2+m$,解出m的值,然后可得点A'的坐标。再利用待定系数法求出反比例函数表达式即可。
答案
(1) $(-6,1)$，$(-2,3)$
(2) 由题意得$A(-6,3)$，$C(-2,1)$。将矩形ABCD向右平移m个单位长度后，则有$A'(-6+m,3)$，$C'(-2+m,1)$，因为点$A'$，$C'$恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，所以$3(-6+m)=-2+m$，所以$m=8$，所以$A'(2,3)$，故反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
(2) 由题意得$A(-6,3)$，$C(-2,1)$。将矩形ABCD向右平移m个单位长度后，则有$A'(-6+m,3)$，$C'(-2+m,1)$，因为点$A'$，$C'$恰好同时落在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象上，所以$3(-6+m)=-2+m$，所以$m=8$，所以$A'(2,3)$，故反比例函数的表达式为$y=\frac{6}{x}$。
