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1.已知二次函数$y=ax^2+bx+c$，当$a＜0,b＞0,c=0$时，其图象可能是（
B
）答案
1.B
解析
【分析】
解题时可根据二次函数系数的特征逐步排除错误选项：首先由c=0可判断函数图象过原点，先排除不符合的选项；再根据a的符号判断开口方向，进一步排除错误选项；最后结合b的符号判断对称轴位置，验证剩余选项是否符合即可。
【解析】
1. 由c=0可知，当x=0时，y=0，即二次函数图象经过原点$(0,0)$，选项A图象与y轴交于正半轴、选项D图象与y轴交于负半轴，均不符合，故排除A、D；
2. 已知$a＜0$，二次函数图象开口向下，选项C图象开口向上，不符合，故排除C；
3. 对于选项B：$a＜0$、$b＞0$，二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入符号可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和B的图象特征完全一致。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数系数与图象的关系；二次函数对称轴公式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象判断的典型基础题，解题时遵循“先看常数项定与y轴交点，再看二次项系数定开口方向，最后结合对称轴判断一次项系数符号”的顺序，逐步排除错误选项，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
解题时可根据二次函数系数的特征逐步排除错误选项：首先由c=0可判断函数图象过原点，先排除不符合的选项；再根据a的符号判断开口方向，进一步排除错误选项；最后结合b的符号判断对称轴位置，验证剩余选项是否符合即可。
【解析】
1. 由c=0可知，当x=0时，y=0，即二次函数图象经过原点$(0,0)$，选项A图象与y轴交于正半轴、选项D图象与y轴交于负半轴，均不符合，故排除A、D；
2. 已知$a＜0$，二次函数图象开口向下，选项C图象开口向上，不符合，故排除C；
3. 对于选项B：$a＜0$、$b＞0$，二次函数对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，代入符号可得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和B的图象特征完全一致。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数系数与图象的关系；二次函数对称轴公式；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数图象判断的典型基础题，解题时遵循“先看常数项定与y轴交点，再看二次项系数定开口方向，最后结合对称轴判断一次项系数符号”的顺序，逐步排除错误选项，即可快速得到答案。
【难度系数】
0.8
2.一次函数$y=ax+b$与二次函数$y=ax^2+bx$的大致图象可能是 （
A
B
C D
C
）A
B
C D
答案
2.C
解析
【分析】
解题思路为：两个函数解析式中都含有参数a和b，同一参数的符号在两个函数中是一致的，因此可通过逐一验证a、b的符号是否匹配排除错误选项：①先根据一次函数的增减性、二次函数的开口方向判断a的符号是否一致，排除a矛盾的选项；②再根据一次函数与y轴的交点判断b的符号，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$判断对称轴位置是否匹配，最终得到正确选项。
【解析】
首先，二次函数$y=ax^2+bx$中，当$x=0$时$y=0$，因此二次函数图象必过原点，四个选项均满足该特点，下一步验证参数符号：
1. 排除选项B：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数图象从左到右上升，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除B。
2. 排除选项D：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数图象从左到右下降，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除D。
3. 排除选项A：一次函数与y轴交于正半轴，说明$b＞0$，结合一次函数上升的特点得$a＞0$，代入二次函数对称轴公式得对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴应在y轴左侧，但A中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除A。
4. 验证选项C：一次函数上升，得$a＞0$，与y轴交于负半轴，得$b＜0$，代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和图象特征完全匹配，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型考题，核心是抓住不同函数中共用参数的符号一致性，使用排除法可以快速缩小范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
解题思路为：两个函数解析式中都含有参数a和b，同一参数的符号在两个函数中是一致的，因此可通过逐一验证a、b的符号是否匹配排除错误选项：①先根据一次函数的增减性、二次函数的开口方向判断a的符号是否一致，排除a矛盾的选项；②再根据一次函数与y轴的交点判断b的符号，结合二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$判断对称轴位置是否匹配，最终得到正确选项。
【解析】
首先，二次函数$y=ax^2+bx$中，当$x=0$时$y=0$，因此二次函数图象必过原点，四个选项均满足该特点，下一步验证参数符号：
1. 排除选项B：二次函数开口向下，说明$a＜0$；一次函数图象从左到右上升，说明$a＞0$，a的符号矛盾，排除B。
2. 排除选项D：二次函数开口向上，说明$a＞0$；一次函数图象从左到右下降，说明$a＜0$，a的符号矛盾，排除D。
3. 排除选项A：一次函数与y轴交于正半轴，说明$b＞0$，结合一次函数上升的特点得$a＞0$，代入二次函数对称轴公式得对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴应在y轴左侧，但A中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除A。
4. 验证选项C：一次函数上升，得$a＞0$，与y轴交于负半轴，得$b＜0$，代入对称轴公式得$x=-\frac{b}{2a}＞0$，即对称轴在y轴右侧，和图象特征完全匹配，符合要求。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质；函数图象与系数的关系
【点评】
本题是函数图象类的典型考题，核心是抓住不同函数中共用参数的符号一致性，使用排除法可以快速缩小范围，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
3. [2026洛阳一模]如图，已知抛物线$y=ax^2+bx+c$的对称轴为直线$x=1$，交$x$轴于$(3,0)$，则下列结论错误的是（
A.$ac＜0$
B.$b^2-4ac＞0$
C.$2a-b=0$
D.$a-b+c=0$
C
）A.$ac＜0$
B.$b^2-4ac＞0$
C.$2a-b=0$
D.$a-b+c=0$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先从二次函数图像中提取关键信息：①抛物线开口向下，可判断a的符号；②抛物线与y轴交点位置可判断c的符号；③对称轴为直线x=1，结合对称轴公式可推导a与b的关系；④已知抛物线与x轴的一个交点(3,0)，利用对称性可求出另一个交点坐标，再逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
解：①由抛物线开口向下可得$a＜0$，抛物线与$y$轴交于正半轴可得$c＞0$，因此$ac＜0$，故A选项结论正确，不符合题意；
②由抛物线与$x$轴有2个交点，可知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，故B选项结论正确，不符合题意；
③已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a + b = 0$，而非$2a - b=0$，故C选项结论错误，符合题意；
④抛物线与$x$轴的交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，则另一个交点的横坐标为$1×2 - 3=-1$，即交点为$(-1,0)$。将$x=-1$代入抛物线解析式得$y=a· (-1)^2 + b· (-1) + c=a - b + c=0$，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图像与系数关系的典型考题，解题核心是建立图像特征（开口方向、对称轴、交点坐标等）和代数表达式之间的对应关系，利用对称性求解未知交点是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
解题时首先从二次函数图像中提取关键信息：①抛物线开口向下，可判断a的符号；②抛物线与y轴交点位置可判断c的符号；③对称轴为直线x=1，结合对称轴公式可推导a与b的关系；④已知抛物线与x轴的一个交点(3,0)，利用对称性可求出另一个交点坐标，再逐一验证四个选项，找出错误结论即可。
【解析】
解：①由抛物线开口向下可得$a＜0$，抛物线与$y$轴交于正半轴可得$c＞0$，因此$ac＜0$，故A选项结论正确，不符合题意；
②由抛物线与$x$轴有2个交点，可知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个不相等的实数根，因此判别式$b^2-4ac＞0$，故B选项结论正确，不符合题意；
③已知抛物线对称轴为直线$x=1$，根据对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$，整理得$2a + b = 0$，而非$2a - b=0$，故C选项结论错误，符合题意；
④抛物线与$x$轴的交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(3,0)$，对称轴为$x=1$，则另一个交点的横坐标为$1×2 - 3=-1$，即交点为$(-1,0)$。将$x=-1$代入抛物线解析式得$y=a· (-1)^2 + b· (-1) + c=a - b + c=0$，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数对称性，二次函数判别式
【点评】
本题是二次函数图像与系数关系的典型考题，解题核心是建立图像特征（开口方向、对称轴、交点坐标等）和代数表达式之间的对应关系，利用对称性求解未知交点是这类题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
4.二次函数$y=ax^2+bx+c$图象的一部分如图所示，其对称轴为直线$x=-1$，且经过点$(-3,0)$，则下列结论正确的有（
①$abc＞0$；②$2a=b$；③$4a+2b+c＜0$；
④$3a+c=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
）①$abc＞0$；②$2a=b$；③$4a+2b+c＜0$；
④$3a+c=0$.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.B
解析
【分析】
解题需先从二次函数图象提取核心信息：抛物线开口向上可得a＞0，与y轴交于负半轴可得c＜0，对称轴为直线x=-1，且过点(-3,0)，结合对称性可推出抛物线另一与x轴交点为(1,0)。再根据二次函数系数与图象的对应关系、特殊点的函数值，逐个验证4个结论的正误即可。
【解析】
首先整理已知条件：
1. 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，故$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；
4. 抛物线过点(-3,0)，对称轴为x=-1，根据对称性可得另一与x轴交点为$(1,0)$，即$x=1$时，$y=a+b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＞0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，则$abc＜0$，①错误；
②$2a=b$：由对称轴推导可得$b=2a$，即$2a=b$，②正确；
③$4a+2b+c＜0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，$x=1$时$y=0$，$2＞1$，故$x=2$时$y＞0$，即$4a+2b+c＞0$，③错误；
④$3a+c=0$：将$b=2a$代入$x=1$时的函数式$a+b+c=0$，得$a+2a+c=0$，即$3a+c=0$，④正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考法，需要结合图象特征推导系数关系，再通过代入特殊点、利用函数增减性判断结论，解题的关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点。
【难度系数】
0.6
解题需先从二次函数图象提取核心信息：抛物线开口向上可得a＞0，与y轴交于负半轴可得c＜0，对称轴为直线x=-1，且过点(-3,0)，结合对称性可推出抛物线另一与x轴交点为(1,0)。再根据二次函数系数与图象的对应关系、特殊点的函数值，逐个验证4个结论的正误即可。
【解析】
首先整理已知条件：
1. 抛物线开口向上，
∴$a＞0$；
2. 对称轴为直线$x=-1$，由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$得：$-\frac{b}{2a}=-1$，化简得$b=2a$，故$b＞0$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，
∴$c＜0$；
4. 抛物线过点(-3,0)，对称轴为x=-1，根据对称性可得另一与x轴交点为$(1,0)$，即$x=1$时，$y=a+b+c=0$。
逐个判断结论：
①$abc＞0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，则$abc＜0$，①错误；
②$2a=b$：由对称轴推导可得$b=2a$，即$2a=b$，②正确；
③$4a+2b+c＜0$：$4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，抛物线开口向上，在对称轴右侧y随x增大而增大，$x=1$时$y=0$，$2＞1$，故$x=2$时$y＞0$，即$4a+2b+c＞0$，③错误；
④$3a+c=0$：将$b=2a$代入$x=1$时的函数式$a+b+c=0$，得$a+2a+c=0$，即$3a+c=0$，④正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的对称性
【点评】
本题是二次函数图象性质的典型考法，需要结合图象特征推导系数关系，再通过代入特殊点、利用函数增减性判断结论，解题的关键是利用对称性求出抛物线与x轴的另一个交点。
【难度系数】
0.6
5. [2026合肥期末]如图，已知顶点为$(-3,-6)$的抛物线$y=ax^2+bx+c$过点$(-1,-4)$，有下列结论：①对于任意的实数$m$，均有$am^2+bm+c+6＞0$；②若$ax^2+bx+c≥ -4$，则$x≥ -1$；③$-5a+c=-4$；④$a＜\frac{2}{3}$，其中正确的为 
(
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
(
B
)A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
答案
5.B
解析
【分析】
解题时先结合抛物线顶点坐标设顶点式，再结合已知点的坐标推导系数关系，结合二次函数的性质逐个判断结论：
1. 由抛物线顶点坐标可知函数最小值，可直接判断结论①；
2. 利用抛物线对称性，求出y=-4对应的两个x值，即可判断结论②；
3. 结合对称轴公式得到b和a的关系，代入点(-1,-4)的函数式，可推导结论③是否成立；
4. 代入点坐标求出a的具体值，和$\frac{2}{3}$比较即可判断结论④。
【解析】
已知抛物线顶点为$(-3,-6)$，设抛物线解析式为$y=a(x+3)^2-6$。
1. 判断①：
抛物线开口向上，最小值为$-6$，即$ax^2+bx+c≥ -6$，因此$am^2+bm+c+6≥ 0$，当$m=-3$时等号成立，故①错误。
2. 判断②：
抛物线对称轴为直线$x=-3$，点$(-1,-4)$关于对称轴的对称点横坐标为$2×(-3)-(-1)=-5$，因此当$x≤ -5$或$x≥ -1$时，$ax^2+bx+c≥ -4$，故②错误。
3. 判断③：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-3$，得$b=6a$。
将点$(-1,-4)$代入一般式$y=ax^2+bx+c$，得$a - b + c = -4$，把$b=6a$代入得$a-6a+c=-5a+c=-4$，故③正确。
4. 判断④：
将点$(-1,-4)$代入顶点式，得$-4=a×(-1+3)^2-6$，解得$a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，故④正确。
综上，正确结论为③④。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数系数关系；二次函数对称性
【点评】
本题核心考查二次函数基础性质的应用，解题关键是灵活运用顶点式、对称性、系数与图像的对应关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.65
解题时先结合抛物线顶点坐标设顶点式，再结合已知点的坐标推导系数关系，结合二次函数的性质逐个判断结论：
1. 由抛物线顶点坐标可知函数最小值，可直接判断结论①；
2. 利用抛物线对称性，求出y=-4对应的两个x值，即可判断结论②；
3. 结合对称轴公式得到b和a的关系，代入点(-1,-4)的函数式，可推导结论③是否成立；
4. 代入点坐标求出a的具体值，和$\frac{2}{3}$比较即可判断结论④。
【解析】
已知抛物线顶点为$(-3,-6)$，设抛物线解析式为$y=a(x+3)^2-6$。
1. 判断①：
抛物线开口向上，最小值为$-6$，即$ax^2+bx+c≥ -6$，因此$am^2+bm+c+6≥ 0$，当$m=-3$时等号成立，故①错误。
2. 判断②：
抛物线对称轴为直线$x=-3$，点$(-1,-4)$关于对称轴的对称点横坐标为$2×(-3)-(-1)=-5$，因此当$x≤ -5$或$x≥ -1$时，$ax^2+bx+c≥ -4$，故②错误。
3. 判断③：
由对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-3$，得$b=6a$。
将点$(-1,-4)$代入一般式$y=ax^2+bx+c$，得$a - b + c = -4$，把$b=6a$代入得$a-6a+c=-5a+c=-4$，故③正确。
4. 判断④：
将点$(-1,-4)$代入顶点式，得$-4=a×(-1+3)^2-6$，解得$a=\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}＜\frac{2}{3}$，故④正确。
综上，正确结论为③④。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数系数关系；二次函数对称性
【点评】
本题核心考查二次函数基础性质的应用，解题关键是灵活运用顶点式、对称性、系数与图像的对应关系，逐个验证结论即可。
【难度系数】
0.65
