1. 在$△ ABC$中，$∠ A=55°$，$∠ B$比$∠ C$大$25°$，则$∠ B$的度数等于().

A.$55°$
B.$65°$
C.$70°$
D.$75°$

D

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和为180°的核心定理，已知∠A的度数，可先求出∠B与∠C的度数之和；再结合题目给出的“∠B比∠C大25°”的数量关系，通过设未知数列方程的方式即可求出∠B的度数。
【解析】
解：根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
已知∠A=55°，则∠B + ∠C = 180° - ∠A = 180° - 55° = 125°。
设∠B的度数为$x$，由题意得∠C的度数为$x-25°$，代入上述关系可得：
$x + (x-25°) = 125°$
化简得：$2x = 150°$
解得：$x=75°$，即∠B=75°。
【答案】
D
【知识点】
1.三角形内角和定理
2.一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，重点考查三角形内角和定理的实际应用，解题的关键是先推导出两个未知角的度数之和，再结合两角的大小关系计算求解，熟练掌握内角和定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8

2. 在$△ ABC$中，若具备下列条件，$△ ABC$不是直角三角形的是().

A.$∠ A=2∠ B=3∠ C$
B.$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$
C.$∠ A=∠ B=\frac{1}{2}∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=1:2:3$

A

【分析】
本题要判断哪个选项对应的三角形不是直角三角形，核心依据是三角形内角和为180°。解题思路是对每个选项，根据给出的角的数量关系设未知数，结合内角和定理计算三个内角的度数，看是否存在90°的角，若不存在则该选项符合题意。
【解析】
三角形内角和为180°，逐个分析选项：
A. 设$∠ A=x$，则$∠ B=\frac{1}{2}x$，$∠ C=\frac{1}{3}x$，根据内角和定理：
$x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x=180°$
通分得$\frac{6x+3x+2x}{6}=180°$，即$11x=1080°$，解得$x=\frac{1080}{11}°\approx98.2°$，其余两个角均小于90°，无直角，不是直角三角形。
B. 设$∠ A=x$，则$∠ B=2x$，$∠ C=3x$，可得：
$x+2x+3x=180°$，$6x=180°$，$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形。
C. 设$∠ A=∠ B=x$，则$∠ C=2x$，可得：
$x+x+2x=180°$，$4x=180°$，$x=45°$，则$∠ C=2×45°=90°$，是直角三角形。
D. 设$∠ A、∠ B、∠ C$分别为$x、2x、3x$，可得：
$x+2x+3x=180°$，$6x=180°$，$x=30°$，则$∠ C=3×30°=90°$，是直角三角形。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是根据各选项中角的关系设未知量，结合三角形内角和定理列方程求解，通过计算最大角的度数即可快速判断是否为直角三角形。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC=50°,∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F,过点F作DE // BC,交AB于点D,交AC于点E,那么下列结论正确的是().
① ∠ACB=70°;
② ∠BFC=115°;
③ ∠BDF=130°;
④ ∠CFE=40°.

A.①②
B.③④
C.①③
D.①②③

C

【分析】
我们可以通过逐个推导验证4个结论的正确性：首先利用三角形内角和定理计算∠ACB判断①；再根据角平分线的定义求出∠FBC、∠FCB的度数，结合三角形内角和计算∠BFC判断②；之后根据平行线的同旁内角互补的性质计算∠BDF判断③；最后利用平行线的内错角相等的性质计算∠CFE判断④，最终选出正确的结论组合即可。
【解析】
1. 验证结论①：
在△ABC中，三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠ABC=50°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-50°=70°，故①正确。
2. 验证结论②：
∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠FBC=½∠ABC=½×50°=25°，∠FCB=½∠ACB=½×70°=35°，
在△BFC中，∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-25°-35°=120°≠115°，故②错误。
3. 验证结论③：
∵DE//BC，
∴∠BDF+∠ABC=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠BDF=180°-50°=130°，故③正确。
4. 验证结论④：
∵DE//BC，
∴∠CFE=∠FCB（两直线平行，内错角相等），
∵∠FCB=35°，
∴∠CFE=35°≠40°，故④错误。
综上，正确的结论是①③，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题属于基础综合题，解题时需要逐一验证每个结论，熟练掌握三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题的核心，计算角度时要细心避免出错。
【难度系数】
0.7

二、填空题
4. 如图，在$△ ABC$中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，$∠ C = 30°$，$∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =$ °。

$\boldsymbol{300}$

【分析】
解题时首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。观察图形可知，∠1、∠2与∠C是△CDE的三个内角，∠3、∠4与∠C是△ABC的三个内角，两个三角形共享∠C=30°，因此可以分别求出∠1+∠2的度数和∠3+∠4的度数，再将两个和相加即可得到最终结果。
【解析】
根据三角形内角和定理：
① 在△CDE中，$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ C = 180°$
已知$∠ C=30°$，代入得：$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 30° = 150°$
② 在△ABC中，$∠ 3 + ∠ 4 + ∠ C = 180°$
代入$∠ C=30°$得：$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 30° = 150°$
因此$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 150° + 150° = 300°$
【答案】
$300$
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 角度和差计算
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础应用题型，解题的关键是识别出图中两个含公共角∠C的三角形，分别计算两组角的和再合并即可，计算难度低，只要熟练掌握三角形内角和公式就能快速解答。
【难度系数】
0.8

5. 如图，$△ ABC$为直角三角形，$∠ C=90°$，点$D$，$E$分别在边$BC$，$AC$上，则$∠ 1+∠ 2=$°。

270

【分析】
解题时先观察待求角∠1、∠2的位置，可知∠1与∠CED构成平角，∠2与∠CDE构成平角，因此可先将∠1、∠2转化为与∠CED、∠CDE相关的表达式。再结合△CDE是直角三角形，利用三角形内角和定理求出∠CED与∠CDE的和，最后整体代入计算即可得到结果。
【解析】
在$Rt△ CDE$中，$∠ C=90°$，根据三角形内角和为$180°$可得：
$∠ CDE + ∠ CED = 180° - ∠ C = 180° - 90° = 90°$
根据平角的定义，可知：
$∠ 1 + ∠ CED = 180°$，$∠ 2 + ∠ CDE = 180°$
将上述两个等式相加得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ CED + ∠ CDE = 360°$
把$∠ CDE + ∠ CED = 90°$代入上式，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 360° - 90° = 270°$
【答案】
270
【知识点】
1. 平角的定义
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查平角性质与三角形内角和定理的综合应用，解题关键是找到待求角与已知直角的关联，通过整体代入的思想简化计算，不需要单独求出∠1、∠2的具体度数即可得出结果。
【难度系数】
0.8

6. 在$△ ABC$中，$∠ B = 30°$，$AD$是边$BC$上的高，若$∠ CAD = ∠ B$，则$∠ BAC$的度数为$\underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$。

解：
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 60°。
∵ ∠CAD = ∠B，
∴ ∠CAD = 30°。
分两种情况：
① 当垂足D在线段BC上时，
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 30° = 90°；
② 当垂足D在CB的延长线上时，
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°。
综上，∠BAC的度数为$\boldsymbol{90°}$或$\boldsymbol{30°}$。

【分析】
解题时首先根据AD是BC边上的高，可判定△ABD和△ACD都是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余先求出∠BAD的度数。由于题目未给出△ABC的具体形状，高AD的位置存在两种可能：一是垂足D落在线段BC上，此时∠BAC是∠BAD与∠CAD的和；二是垂足D落在CB的延长线上，此时∠BAC是∠BAD与∠CAD的差，结合已知∠CAD=∠B=30°，分两种情况计算即可得到∠BAC的度数。
【解析】
∵ AD是边BC上的高，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴ ∠BAD = 90° - ∠B = 60°。
∵ ∠CAD = ∠B，
∴ ∠CAD = 30°。
分两种情况：
① 当垂足D在线段BC上时，
∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 60° + 30° = 90°；
② 当垂足D在CB的延长线上时，
∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 60° - 30° = 30°。
综上，∠BAC的度数为90°或30°。
【答案】
90°或30°
【知识点】
三角形高的定义；直角三角形两锐角互余；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略高的位置的多样性，没有图形约束的三角形高的问题需要考虑高在三角形内部和外部两种情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6