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1. 填一填。
（1）二进制计数法的规则是“满(
（2）将下列二进制数按对应的十进制数值从小到大排列是(
① $(101)_2$ ② $(11)_2$ ③ $(110)_2$
④ $(1001)_2$
（1）二进制计数法的规则是“满(
2
)进1”，因此二进制数中只使用数字(0
)和(1
)。二进制数$(10)_2$读作“(一零
)”，表示十进制中的(2
)。（2）将下列二进制数按对应的十进制数值从小到大排列是(
②
)＜(①
)＜(③
)＜(④
)。（填序号）① $(101)_2$ ② $(11)_2$ ③ $(110)_2$
④ $(1001)_2$
答案
1.(1) 2 0 1 一零 2
(2) ② ① ③ ④
(2) ② ① ③ ④
解析
【分析】
这道题分为两小问，均考查二进制的基础相关知识。第（1）问考基础概念：我们平时用的十进制是“满十进一”，二进制顾名思义就是满2进1，因此只能用0和1两个数字，读数时直接按数位读数字即可，转十进制时要记住二进制从右往左数，第1位对应几个1，第2位对应几个2，第3位对应几个4，每往左一位对应数值翻倍，把每个数位的数乘对应代表的数值相加就能得到十进制数。第（2）问解题思路是先把四个二进制数都转换成十进制数，再比较大小排序即可。
【解析】
（1）二进制计数法的进位规则是“满2进1”，所以数里只能出现0和1两个数字；二进制数读数时直接依次读每个数位的数字，因此$(10)_2$读作“一零”；转换成十进制数时，$(10)_2$的第2位是1，代表1个2，第1位是0，代表0个1，总和是$1×2 + 0×1=2$，对应十进制中的2。
（2）先把四个二进制数都转成十进制数：
①$(101)_2$：第3位1对应1个4，第2位0对应0个2，第1位1对应1个1，总和是$4+0+1=5$；
②$(11)_2$：第2位1对应1个2，第1位1对应1个1，总和是$2+1=3$；
③$(110)_2$：第3位1对应1个4，第2位1对应1个2，第1位0对应0个1，总和是$4+2+0=6$；
④$(1001)_2$：第4位1对应1个8，第3位0对应0个4，第2位0对应0个2，第1位1对应1个1，总和是$8+0+0+1=9$。
比较十进制数大小：$3＜5＜6＜9$，所以从小到大排列为②＜①＜③＜④。
【答案】
(1) 2 0 1 一零 2
(2) ② ① ③ ④
【知识点】
二进制的认识，二进制转十进制，数的大小比较
【点评】
本题是进制学习的基础题型，主要考查二进制的基本概念和二进制转十进制的基础计算方法，掌握核心的进位规则和转换方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，均考查二进制的基础相关知识。第（1）问考基础概念：我们平时用的十进制是“满十进一”，二进制顾名思义就是满2进1，因此只能用0和1两个数字，读数时直接按数位读数字即可，转十进制时要记住二进制从右往左数，第1位对应几个1，第2位对应几个2，第3位对应几个4，每往左一位对应数值翻倍，把每个数位的数乘对应代表的数值相加就能得到十进制数。第（2）问解题思路是先把四个二进制数都转换成十进制数，再比较大小排序即可。
【解析】
（1）二进制计数法的进位规则是“满2进1”，所以数里只能出现0和1两个数字；二进制数读数时直接依次读每个数位的数字，因此$(10)_2$读作“一零”；转换成十进制数时，$(10)_2$的第2位是1，代表1个2，第1位是0，代表0个1，总和是$1×2 + 0×1=2$，对应十进制中的2。
（2）先把四个二进制数都转成十进制数：
①$(101)_2$：第3位1对应1个4，第2位0对应0个2，第1位1对应1个1，总和是$4+0+1=5$；
②$(11)_2$：第2位1对应1个2，第1位1对应1个1，总和是$2+1=3$；
③$(110)_2$：第3位1对应1个4，第2位1对应1个2，第1位0对应0个1，总和是$4+2+0=6$；
④$(1001)_2$：第4位1对应1个8，第3位0对应0个4，第2位0对应0个2，第1位1对应1个1，总和是$8+0+0+1=9$。
比较十进制数大小：$3＜5＜6＜9$，所以从小到大排列为②＜①＜③＜④。
【答案】
(1) 2 0 1 一零 2
(2) ② ① ③ ④
【知识点】
二进制的认识，二进制转十进制，数的大小比较
【点评】
本题是进制学习的基础题型，主要考查二进制的基本概念和二进制转十进制的基础计算方法，掌握核心的进位规则和转换方法就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）下面不属于二进制的计数单位的是(
A. $(1)_2$
B. $(10)_2$
C. $(100)_2$
D. $(1001)_2$
（2）下列说法中，正确的有(
① 二进制数$(100)_2$表示十进制中的4。
② 十进制数3在二进制中写作11。
③ 二进制数的计数单位在十进制数中分别是1,2,4,8,…
④ 因为二进制只有两个数字，所以不能表示大于2的数。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
D
)。A. $(1)_2$
B. $(10)_2$
C. $(100)_2$
D. $(1001)_2$
（2）下列说法中，正确的有(
C
)个。① 二进制数$(100)_2$表示十进制中的4。
② 十进制数3在二进制中写作11。
③ 二进制数的计数单位在十进制数中分别是1,2,4,8,…
④ 因为二进制只有两个数字，所以不能表示大于2的数。
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
2.(1) D
(2) C
(2) C
解析
【分析】
（1）解决第一题首先要明确二进制计数单位的特点：类比十进制的计数单位是1、10、100……（只有最高位是1，其余数位都是0），二进制是逢二进一，计数单位对应二进制数的形式也只有最高位是1，其余数位都是0，依次为$(1)_2$、$(10)_2$、$(100)_2$、$(1000)_2$……，据此判断不符合的选项即可。
（2）解决第二题需要逐个验证4个说法是否正确：①掌握二进制转十进制的方法，把二进制数按数位乘对应计数单位相加即可换算成十进制；②十进制转二进制可以用拆数法，拆成2的幂次相加的形式，对应数位写1，其余写0；③二进制计数单位从右往左依次是$2^0$、$2^1$、$2^2$……，对应十进制就是1、2、4、8……；④二进制可以表示任意大小的数，数位增加就能表示更大的数，最后统计正确说法的数量即可。
【解析】
（1）二进制的计数单位形式为只有最高位是1、其余数位都是0的二进制数，依次为$(1)_2$、$(10)_2$、$(100)_2$、$(1000)_2$……，选项D的$(1001)_2$有两个数位是1，不属于二进制计数单位，故选D。
（2）逐一判断：
① 二进制数$(100)_2$换算为十进制：$1× 2^2 + 0× 2^1 + 0× 2^0 = 4$，说法正确；
② 十进制数3可以拆为$2+1$，对应二进制写作$(11)_2$，说法正确；
③ 二进制的计数单位从右往左依次是$2^0,2^1,2^2,2^3……$，对应十进制数值为1、2、4、8……，说法正确；
④ 二进制可以表示大于2的数，例如$(100)_2$就表示十进制的4，说法错误。
综上，正确的说法有3个，故选C。
【答案】
（1）D；（2）C
【知识点】
二进制计数单位，进制互转，二进制的概念
【点评】
本题考查二进制的基础概念和简单换算，核心是掌握二进制“逢二进一”的基本规则，熟悉二进制和十进制的简单换算方法，属于数论拓展类的基础题型。
【难度系数】
0.7
（1）解决第一题首先要明确二进制计数单位的特点：类比十进制的计数单位是1、10、100……（只有最高位是1，其余数位都是0），二进制是逢二进一，计数单位对应二进制数的形式也只有最高位是1，其余数位都是0，依次为$(1)_2$、$(10)_2$、$(100)_2$、$(1000)_2$……，据此判断不符合的选项即可。
（2）解决第二题需要逐个验证4个说法是否正确：①掌握二进制转十进制的方法，把二进制数按数位乘对应计数单位相加即可换算成十进制；②十进制转二进制可以用拆数法，拆成2的幂次相加的形式，对应数位写1，其余写0；③二进制计数单位从右往左依次是$2^0$、$2^1$、$2^2$……，对应十进制就是1、2、4、8……；④二进制可以表示任意大小的数，数位增加就能表示更大的数，最后统计正确说法的数量即可。
【解析】
（1）二进制的计数单位形式为只有最高位是1、其余数位都是0的二进制数，依次为$(1)_2$、$(10)_2$、$(100)_2$、$(1000)_2$……，选项D的$(1001)_2$有两个数位是1，不属于二进制计数单位，故选D。
（2）逐一判断：
① 二进制数$(100)_2$换算为十进制：$1× 2^2 + 0× 2^1 + 0× 2^0 = 4$，说法正确；
② 十进制数3可以拆为$2+1$，对应二进制写作$(11)_2$，说法正确；
③ 二进制的计数单位从右往左依次是$2^0,2^1,2^2,2^3……$，对应十进制数值为1、2、4、8……，说法正确；
④ 二进制可以表示大于2的数，例如$(100)_2$就表示十进制的4，说法错误。
综上，正确的说法有3个，故选C。
【答案】
（1）D；（2）C
【知识点】
二进制计数单位，进制互转，二进制的概念
【点评】
本题考查二进制的基础概念和简单换算，核心是掌握二进制“逢二进一”的基本规则，熟悉二进制和十进制的简单换算方法，属于数论拓展类的基础题型。
【难度系数】
0.7
3. 下表是十进制数改写成二进制数的过程。
（1）根据前几列的改写过程，将十进制数5和6改写成二进制数，照样子把竖式填在表格里。
（2）观察上表，你发现了什么？
（1）根据前几列的改写过程，将十进制数5和6改写成二进制数，照样子把竖式填在表格里。
（2）观察上表，你发现了什么？
答案
3.(1) 十进制数5的改写竖式为
，十进制数6的改写竖式为
(2) 略
解析
【分析】
首先观察表格里已有的改写规律：相邻的十进制数后一个比前一个大1，对应的二进制数就是前一个数的二进制结果加1，且二进制加法遵循“逢二进一”的规则。解题时先找到十进制数4对应的二进制是100，用100加1就能得到5的二进制；再用5的二进制加1就能得到6的二进制，按照给出的竖式格式书写即可。第二问从二进制的数字特点、加法规则、和十进制的对应关系等角度总结规律即可。
【解析】
（1）①求十进制数5的二进制：
已知十进制4对应的二进制是100，5=4+1，列二进制加法竖式计算：100加1时，个位0+1=1，十位、百位数字不变，得到结果101，对应给定的5的竖式。
②求十进制数6的二进制：
十进制5对应的二进制是101，6=5+1，列二进制加法竖式计算：101加1时，个位1+1=2，满2向十位进1，个位写0，十位原本的0加进位的1得1，百位数字不变，得到结果110，对应给定的6的竖式。
（2）观察可总结的规律不唯一，合理即可，比如：二进制只用0和1两个数字表示数；二进制加法遵循“逢二进一”的规则；相邻十进制数对应的二进制数相差1等。
【答案】
(1) 十进制数5的改写竖式为，十进制数6的改写竖式为
(2) 略
【知识点】
十进制与二进制转换，二进制加法规则
【点评】
本题结合表格探究二进制的计数和运算规律，需要先观察已知示例推导通用方法，再类比解决新问题，能够锻炼观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察表格里已有的改写规律：相邻的十进制数后一个比前一个大1，对应的二进制数就是前一个数的二进制结果加1，且二进制加法遵循“逢二进一”的规则。解题时先找到十进制数4对应的二进制是100，用100加1就能得到5的二进制；再用5的二进制加1就能得到6的二进制，按照给出的竖式格式书写即可。第二问从二进制的数字特点、加法规则、和十进制的对应关系等角度总结规律即可。
【解析】
（1）①求十进制数5的二进制：
已知十进制4对应的二进制是100，5=4+1，列二进制加法竖式计算：100加1时，个位0+1=1，十位、百位数字不变，得到结果101，对应给定的5的竖式。
②求十进制数6的二进制：
十进制5对应的二进制是101，6=5+1，列二进制加法竖式计算：101加1时，个位1+1=2，满2向十位进1，个位写0，十位原本的0加进位的1得1，百位数字不变，得到结果110，对应给定的6的竖式。
（2）观察可总结的规律不唯一，合理即可，比如：二进制只用0和1两个数字表示数；二进制加法遵循“逢二进一”的规则；相邻十进制数对应的二进制数相差1等。
【答案】
(1) 十进制数5的改写竖式为
，十进制数6的改写竖式为(2) 略
【知识点】
十进制与二进制转换，二进制加法规则
【点评】
本题结合表格探究二进制的计数和运算规律，需要先观察已知示例推导通用方法，再类比解决新问题，能够锻炼观察归纳能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 在日常生活中，人们通常采用十进制计数法计数。
（1）十进制数怎样用二进制数表示呢？通常采用“除2取余，逆序排列”的方法，就是把十进制数反复除以2，记下余数，最后把余数从下往上倒着写。
例：
请用这个方法把十进制数25和14分别转换成二进制数。
（2）二进制数怎样转换成十进制数呢？
例：$(11000)_2$
$=(10000)_2×1+(1000)_2×1$
$=16×1+8×1$
$=24$
请用这个方法把下面的二进制数转换成十进制数。
$(1011)_2$
$(100110)_2$
（1）十进制数怎样用二进制数表示呢？通常采用“除2取余，逆序排列”的方法，就是把十进制数反复除以2，记下余数，最后把余数从下往上倒着写。
例：
请用这个方法把十进制数25和14分别转换成二进制数。
（2）二进制数怎样转换成十进制数呢？
例：$(11000)_2$
$=(10000)_2×1+(1000)_2×1$
$=16×1+8×1$
$=24$
请用这个方法把下面的二进制数转换成十进制数。
$(1011)_2$
$(100110)_2$
答案
4.(1) $25=(11001)_2$ $14=(1110)_2$
(2) $(1011)_2=11$ $(100110)_2=38$
(2) $(1011)_2=11$ $(100110)_2=38$
解析
【分析】
（1）十进制转二进制使用题目给出的“除2取余，逆序排列”法：将需要转换的十进制数反复除以2，依次记录每次得到的余数，直到商为1时停止，最后把所有余数按照从最后一次到第一次的顺序倒着写，就是对应的二进制数。
（2）二进制转十进制使用位值展开法：从二进制数的最高位开始，每一位上的数字乘2的“位数减1次方”（从左到右次方数依次减1，最右位乘2⁰也就是1），再把所有乘积相加，得到的和就是对应的十进制数。
【解析】
(1) ① 转换十进制数25：
25÷2=12 余1
12÷2=6 余0
6÷2=3 余0
3÷2=1 余1
1 余1
将余数从下往上逆序排列，得到11001，即$25=(11001)_2$
② 转换十进制数14：
14÷2=7 余0
7÷2=3 余1
3÷2=1 余1
1 余1
将余数从下往上逆序排列，得到1110，即$14=(1110)_2$
(2) ① 转换$(1011)_2$：
$\begin{aligned}(1011)_2&=1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
② 转换$(100110)_2$：
$\begin{aligned}(100110)_2&=1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0\\&=1×32 + 0×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1\\&=32+0+0+4+2+0\\&=38\end{aligned}$
【答案】
(1) $25=(11001)_2$；$14=(1110)_2$
(2) $(1011)_2=11$；$(100110)_2=38$
【知识点】
十进制转二进制；二进制转十进制；进制转换
【点评】
本题属于进制转换的基础题型，题目已经给出明确的转换方法，解题时只要严格按照方法步骤计算，注意十进制转二进制时余数要逆序排列、二进制转十进制时各位对应的幂次不要算错，就能得到正确结果，对拓展数制认知有帮助。
【难度系数】
0.7
（1）十进制转二进制使用题目给出的“除2取余，逆序排列”法：将需要转换的十进制数反复除以2，依次记录每次得到的余数，直到商为1时停止，最后把所有余数按照从最后一次到第一次的顺序倒着写，就是对应的二进制数。
（2）二进制转十进制使用位值展开法：从二进制数的最高位开始，每一位上的数字乘2的“位数减1次方”（从左到右次方数依次减1，最右位乘2⁰也就是1），再把所有乘积相加，得到的和就是对应的十进制数。
【解析】
(1) ① 转换十进制数25：
25÷2=12 余1
12÷2=6 余0
6÷2=3 余0
3÷2=1 余1
1 余1
将余数从下往上逆序排列，得到11001，即$25=(11001)_2$
② 转换十进制数14：
14÷2=7 余0
7÷2=3 余1
3÷2=1 余1
1 余1
将余数从下往上逆序排列，得到1110，即$14=(1110)_2$
(2) ① 转换$(1011)_2$：
$\begin{aligned}(1011)_2&=1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0\\&=1×8 + 0×4 + 1×2 + 1×1\\&=8+0+2+1\\&=11\end{aligned}$
② 转换$(100110)_2$：
$\begin{aligned}(100110)_2&=1×2^5 + 0×2^4 + 0×2^3 + 1×2^2 + 1×2^1 + 0×2^0\\&=1×32 + 0×16 + 0×8 + 1×4 + 1×2 + 0×1\\&=32+0+0+4+2+0\\&=38\end{aligned}$
【答案】
(1) $25=(11001)_2$；$14=(1110)_2$
(2) $(1011)_2=11$；$(100110)_2=38$
【知识点】
十进制转二进制；二进制转十进制；进制转换
【点评】
本题属于进制转换的基础题型，题目已经给出明确的转换方法，解题时只要严格按照方法步骤计算，注意十进制转二进制时余数要逆序排列、二进制转十进制时各位对应的幂次不要算错，就能得到正确结果，对拓展数制认知有帮助。
【难度系数】
0.7
