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四、操作。
14. 下面的两个图形分别表示单位“1”。在图中涂色表示出对应算式的计算过程。
$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=( )$ $\frac{1}{2}÷3=( )$
14. 下面的两个图形分别表示单位“1”。在图中涂色表示出对应算式的计算过程。
$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=( )$ $\frac{1}{2}÷3=( )$
答案
14. 图略 $\frac{1}{4}$ $\frac{1}{6}$
解析
【分析】
解决这类数形结合表示分数运算的题目，核心是结合运算的意义分步操作：
1. 对于$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$，分数乘分数的意义是求$\frac{3}{4}$的$\frac{1}{3}$是多少，分两步：第一步先在第一个图形中表示出单位“1”的$\frac{3}{4}$，第二步再把得到的$\frac{3}{4}$平均分成3份，取其中1份，最终涂色部分占整体的比例就是计算结果。
2. 对于$\frac{1}{2}÷3$，分数除以整数的意义是把$\frac{1}{2}$平均分成3份，求每份是多少，也可以转化为求$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{3}$是多少，同样分两步：第一步先在第二个图形中表示出单位“1”的$\frac{1}{2}$，第二步再把得到的$\frac{1}{2}$平均分成3份，取其中1份，对应占整体的比例就是商。
【解析】
1. 左边三角形表示单位“1”，被平均分成4个完全相同的小三角形：
① 先涂出其中3个小三角形，表示单位“1”的$\frac{3}{4}$；
② 再把已涂色的3个小三角形看作整体，平均分成3份，涂出其中1份；
计算：$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3×1}{4×3}=\frac{1}{4}$。
2. 右边长方形表示单位“1”，被平均分成6个完全相同的小正方形：
① 先涂出其中3个小正方形（即长方形的一半），表示单位“1”的$\frac{1}{2}$；
② 再把已涂色的3个小正方形看作整体，平均分成3份，涂出其中1份；
计算：$\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
（涂色过程合理即可，图略）
【答案】
$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
分数乘分数、分数除以整数、数形结合思想
【点评】
本题通过涂色操作的形式，将抽象的分数运算转化为直观的图形表示，既考查了对分数乘除法意义和算理的理解，也能帮助大家更深刻地掌握分数运算的本质。
【难度系数】
0.7
解决这类数形结合表示分数运算的题目，核心是结合运算的意义分步操作：
1. 对于$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$，分数乘分数的意义是求$\frac{3}{4}$的$\frac{1}{3}$是多少，分两步：第一步先在第一个图形中表示出单位“1”的$\frac{3}{4}$，第二步再把得到的$\frac{3}{4}$平均分成3份，取其中1份，最终涂色部分占整体的比例就是计算结果。
2. 对于$\frac{1}{2}÷3$，分数除以整数的意义是把$\frac{1}{2}$平均分成3份，求每份是多少，也可以转化为求$\frac{1}{2}$的$\frac{1}{3}$是多少，同样分两步：第一步先在第二个图形中表示出单位“1”的$\frac{1}{2}$，第二步再把得到的$\frac{1}{2}$平均分成3份，取其中1份，对应占整体的比例就是商。
【解析】
1. 左边三角形表示单位“1”，被平均分成4个完全相同的小三角形：
① 先涂出其中3个小三角形，表示单位“1”的$\frac{3}{4}$；
② 再把已涂色的3个小三角形看作整体，平均分成3份，涂出其中1份；
计算：$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}=\frac{3×1}{4×3}=\frac{1}{4}$。
2. 右边长方形表示单位“1”，被平均分成6个完全相同的小正方形：
① 先涂出其中3个小正方形（即长方形的一半），表示单位“1”的$\frac{1}{2}$；
② 再把已涂色的3个小正方形看作整体，平均分成3份，涂出其中1份；
计算：$\frac{1}{2}÷3=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=\frac{1}{6}$。
（涂色过程合理即可，图略）
【答案】
$\frac{1}{4}$；$\frac{1}{6}$
【知识点】
分数乘分数、分数除以整数、数形结合思想
【点评】
本题通过涂色操作的形式，将抽象的分数运算转化为直观的图形表示，既考查了对分数乘除法意义和算理的理解，也能帮助大家更深刻地掌握分数运算的本质。
【难度系数】
0.7
15. 工程队修一条高速公路，第一天修了全长的$\frac{1}{6}$，第二天修了全长的$\frac{2}{7}$。这两天一共修了全长的几分之几？
答案
15. $\frac{1}{6}+\frac{2}{7}=\frac{19}{42}$
答:这两天一共修了全长的$\frac{19}{42}$。
答:这两天一共修了全长的$\frac{19}{42}$。
解析
【分析】
要求两天一共修了全长的几分之几，就是把第一天、第二天修的长度占全长的分率合并起来，用加法计算。由于两个分数是异分母分数，相加前需要先通分，找到两个分母的最小公倍数作为公分母，转化为同分母分数后再按同分母分数加法规则计算，最后结果要化为最简分数。
【解析】
将两天修的占全长的分率相加，列式计算如下：
1. 列加法算式：$\frac{1}{6}+\frac{2}{7}$
2. 通分：6和7的最小公倍数是42，因此$\frac{1}{6}=\frac{1×7}{6×7}=\frac{7}{42}$，$\frac{2}{7}=\frac{2×6}{7×6}=\frac{12}{42}$
3. 计算和：$\frac{7}{42}+\frac{12}{42}=\frac{7+12}{42}=\frac{19}{42}$
答：这两天一共修了全长的$\frac{19}{42}$。
【答案】
$\frac{19}{42}$
【知识点】
异分母分数加法、通分、分数加法应用
【点评】
本题属于基础的分数计算类应用题，核心是理解“求两个部分的总和用加法”，只要熟练掌握异分母分数的通分、计算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
要求两天一共修了全长的几分之几，就是把第一天、第二天修的长度占全长的分率合并起来，用加法计算。由于两个分数是异分母分数，相加前需要先通分，找到两个分母的最小公倍数作为公分母，转化为同分母分数后再按同分母分数加法规则计算，最后结果要化为最简分数。
【解析】
将两天修的占全长的分率相加，列式计算如下：
1. 列加法算式：$\frac{1}{6}+\frac{2}{7}$
2. 通分：6和7的最小公倍数是42，因此$\frac{1}{6}=\frac{1×7}{6×7}=\frac{7}{42}$，$\frac{2}{7}=\frac{2×6}{7×6}=\frac{12}{42}$
3. 计算和：$\frac{7}{42}+\frac{12}{42}=\frac{7+12}{42}=\frac{19}{42}$
答：这两天一共修了全长的$\frac{19}{42}$。
【答案】
$\frac{19}{42}$
【知识点】
异分母分数加法、通分、分数加法应用
【点评】
本题属于基础的分数计算类应用题，核心是理解“求两个部分的总和用加法”，只要熟练掌握异分母分数的通分、计算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.9
16. 一辆货车的速度是60千米/时，小汽车的速度是货车的$\frac{8}{5}$，小汽车平均每小时行驶多少千米？
答案
16. $60×\frac{8}{5}=96$(千米/时)
答:小汽车平均每小时行驶96千米。
答:小汽车平均每小时行驶96千米。
解析
【分析】
解题时先找准单位“1”的量，本题中“小汽车的速度是货车的$\frac{8}{5}$”，说明单位“1”是货车的速度，且货车速度是已知的60千米/时。要求小汽车的速度，本质是求60的$\frac{8}{5}$是多少，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，直接用货车速度乘对应分率即可求解。
【解析】
解：已知货车速度为60千米/时，小汽车速度是货车的$\frac{8}{5}$，则小汽车的速度为：
$60×\frac{8}{5}=96$（千米/时）
答：小汽车平均每小时行驶96千米。
【答案】
小汽车平均每小时行驶96千米。
【知识点】
求一个数的几分之几是多少；分数乘法运算
【点评】
本题是分数乘法的基础应用题型，解题关键是明确单位“1”是否已知，当单位“1”的量已知时，用单位“1”的量乘对应分率就能得到所求量，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
解题时先找准单位“1”的量，本题中“小汽车的速度是货车的$\frac{8}{5}$”，说明单位“1”是货车的速度，且货车速度是已知的60千米/时。要求小汽车的速度，本质是求60的$\frac{8}{5}$是多少，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，直接用货车速度乘对应分率即可求解。
【解析】
解：已知货车速度为60千米/时，小汽车速度是货车的$\frac{8}{5}$，则小汽车的速度为：
$60×\frac{8}{5}=96$（千米/时）
答：小汽车平均每小时行驶96千米。
【答案】
小汽车平均每小时行驶96千米。
【知识点】
求一个数的几分之几是多少；分数乘法运算
【点评】
本题是分数乘法的基础应用题型，解题关键是明确单位“1”是否已知，当单位“1”的量已知时，用单位“1”的量乘对应分率就能得到所求量，掌握基础规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
17. 学校体育器材室要购买一批乒乓球。
甲商店每个乒乓球1.5元；乙商店每个乒乓球1.8元，每买10个送1个。
李老师带了540元，选哪个商店比较合适？最多能买多少个乒乓球？
甲商店每个乒乓球1.5元；乙商店每个乒乓球1.8元，每买10个送1个。
李老师带了540元，选哪个商店比较合适？最多能买多少个乒乓球？
答案
17. 甲商店:$540÷1.5=360$(个)
乙商店:每组11个,每组花费 $1.8×10=18$(元),$540÷18=30$(组),共 $11×30=330$(个)。
$360＞330$
答:选甲商店比较合适,最多能买 360 个乒乓球。
乙商店:每组11个,每组花费 $1.8×10=18$(元),$540÷18=30$(组),共 $11×30=330$(个)。
$360＞330$
答:选甲商店比较合适,最多能买 360 个乒乓球。
解析
【分析】
要判断选哪个商店更合适，本质是比较540元在两个商店分别能买到的乒乓球总数，买到的数量更多的商店更划算。解题思路分为三步：第一步计算甲商店可购买的数量，甲商店无优惠，直接用总钱数除以单个乒乓球的单价即可；第二步计算乙商店可购买的数量，乙商店“买10送1”，也就是花10个的钱可以拿到11个乒乓球，先算10个的总价得到一组（11个）的花费，再算540元能买多少组，乘每组的个数就能得到乙店总数量；第三步比较两个店的总数量，选择数量更多的即可。
【解析】
1. 计算甲商店可购买乒乓球数量：
甲店乒乓球单价1.5元，根据“数量=总价÷单价”可得：
$540÷1.5=360$（个）
2. 计算乙商店可购买乒乓球数量：
乙店每买10个送1个，即花10个的钱可得到$10+1=11$个，一组11个的花费为：
$1.8×10=18$（元）
540元可购买的组数：
$540÷18=30$（组）
总数量：
$30×11=330$（个）
3. 比较两个店的购买数量：
$360＞330$，因此甲商店更划算。
【答案】
选甲商店比较合适，最多能买360个乒乓球。
【知识点】
单价数量总价关系，优惠方案计算，数的大小比较
【点评】
本题结合生活消费场景出题，核心是正确理解商家优惠活动的规则，分别计算同等预算下不同商家的可购买商品数量，通过对比就能得到结论，解题时注意不要错误理解“买十送一”的含义。
【难度系数】
0.8
要判断选哪个商店更合适，本质是比较540元在两个商店分别能买到的乒乓球总数，买到的数量更多的商店更划算。解题思路分为三步：第一步计算甲商店可购买的数量，甲商店无优惠，直接用总钱数除以单个乒乓球的单价即可；第二步计算乙商店可购买的数量，乙商店“买10送1”，也就是花10个的钱可以拿到11个乒乓球，先算10个的总价得到一组（11个）的花费，再算540元能买多少组，乘每组的个数就能得到乙店总数量；第三步比较两个店的总数量，选择数量更多的即可。
【解析】
1. 计算甲商店可购买乒乓球数量：
甲店乒乓球单价1.5元，根据“数量=总价÷单价”可得：
$540÷1.5=360$（个）
2. 计算乙商店可购买乒乓球数量：
乙店每买10个送1个，即花10个的钱可得到$10+1=11$个，一组11个的花费为：
$1.8×10=18$（元）
540元可购买的组数：
$540÷18=30$（组）
总数量：
$30×11=330$（个）
3. 比较两个店的购买数量：
$360＞330$，因此甲商店更划算。
【答案】
选甲商店比较合适，最多能买360个乒乓球。
【知识点】
单价数量总价关系，优惠方案计算，数的大小比较
【点评】
本题结合生活消费场景出题，核心是正确理解商家优惠活动的规则，分别计算同等预算下不同商家的可购买商品数量，通过对比就能得到结论，解题时注意不要错误理解“买十送一”的含义。
【难度系数】
0.8
18. 刘伟从图书馆借了一本书，全书共有200页。第一天读了全书的$\frac{2}{5}$，第二天比第一天多读了全书的$\frac{1}{10}$，第三天把剩下的读完了。第三天读了多少页？
答案
18. $\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}$ $1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$
$200×\frac{1}{10}=20$(页)
答:第三天读了 20 页。
$200×\frac{1}{10}=20$(页)
答:第三天读了 20 页。
解析
【分析】
解题时先将全书总页数看作单位“1”，按照以下思路推导：首先根据第一天的阅读占比和第二天比第一天多的占比，算出第二天阅读量占全书的分率；再计算前两天阅读量占全书的总分率；接着用单位“1”减去前两天的总分率，得到第三天阅读量占全书的分率；最后用总页数乘第三天对应的分率，即可求出第三天读的页数。
【解析】
1. 计算第二天读的页数占全书的分率：
$\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$
2. 计算前两天一共读的页数占全书的分率：
$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}$
3. 计算第三天读的页数占全书的分率：
$1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$
4. 计算第三天读的具体页数：
$200×\frac{1}{10}=20$（页）
【答案】
20页
【知识点】
单位“1”的应用、分数加减法、分数乘法应用
【点评】
本题属于分数实际应用类基础题，解题核心是准确锁定单位“1”，先求出未知量对应的分率，再结合总量计算出未知量，侧重考察分数运算能力和题意分析能力。
【难度系数】
0.8
解题时先将全书总页数看作单位“1”，按照以下思路推导：首先根据第一天的阅读占比和第二天比第一天多的占比，算出第二天阅读量占全书的分率；再计算前两天阅读量占全书的总分率；接着用单位“1”减去前两天的总分率，得到第三天阅读量占全书的分率；最后用总页数乘第三天对应的分率，即可求出第三天读的页数。
【解析】
1. 计算第二天读的页数占全书的分率：
$\frac{2}{5}+\frac{1}{10}=\frac{1}{2}$
2. 计算前两天一共读的页数占全书的分率：
$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}$
3. 计算第三天读的页数占全书的分率：
$1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}$
4. 计算第三天读的具体页数：
$200×\frac{1}{10}=20$（页）
【答案】
20页
【知识点】
单位“1”的应用、分数加减法、分数乘法应用
【点评】
本题属于分数实际应用类基础题，解题核心是准确锁定单位“1”，先求出未知量对应的分率，再结合总量计算出未知量，侧重考察分数运算能力和题意分析能力。
【难度系数】
0.8
19. 学校要调查六年级教室的人均占地面积，制作了一张统计表如下。（教室人均占地面积=单间教室总面积÷这间教室学生人数）
（1）哪个班的人均占地面积最大？
（2）如果规定人均教室面积不得低于1.44平方米/人，这些教室达标了吗？
（1）哪个班的人均占地面积最大？
（2）如果规定人均教室面积不得低于1.44平方米/人，这些教室达标了吗？
答案
19. （1）六(1)班:$65÷40=1.625$(平方米)
六(2)班:$66÷42≈1.57$(平方米)
六(3)班:$70÷45≈1.56$(平方米)
$1.56＜1.57＜1.625$
答:六(1)班的人均占地面积最大。
（2）$1.56＞1.44$
答:这些教室达标了。
六(2)班:$66÷42≈1.57$(平方米)
六(3)班:$70÷45≈1.56$(平方米)
$1.56＜1.57＜1.625$
答:六(1)班的人均占地面积最大。
（2）$1.56＞1.44$
答:这些教室达标了。
解析
【分析】
解决这道题可以按以下思路思考：
1. 第（1）问：题目已经给出人均占地面积的计算公式，我们只需要分别把三个班的教室总面积、对应人数代入公式，算出每个班的人均占地面积，再对三个结果进行大小比较，数值最大的对应的班级就是所求答案。
2. 第（2）问：要判断所有教室是否达标，只需找到三个班人均占地面积的最小值，将其和规定的1.44平方米/人比较，如果最小值大于1.44，说明所有班级的人均面积都满足要求，全部达标。
【解析】
（1）分别计算三个班的人均占地面积：
六（1）班：$65÷40=1.625$（平方米/人）
六（2）班：$66÷42\approx1.57$（平方米/人）
六（3）班：$70÷45\approx1.56$（平方米/人）
比较大小可得：$1.56＜1.57＜1.625$，因此六（1）班的人均占地面积最大。
（2）三个班人均占地面积的最小值为1.56平方米/人，$1.56＞1.44$，说明所有班级的人均面积都高于规定值，因此这些教室都达标。
【答案】
（1）六(1)班的人均占地面积最大。
（2）这些教室都达标了。
【知识点】
小数除法计算、小数大小比较、平均数应用
【点评】
本题结合实际校园场景出题，核心考察除法公式的实际应用和数值比较能力，解题时只要准确计算出各班人均面积，再按要求比较判断即可，注意计算时的准确性。
【难度系数】
0.8
解决这道题可以按以下思路思考：
1. 第（1）问：题目已经给出人均占地面积的计算公式，我们只需要分别把三个班的教室总面积、对应人数代入公式，算出每个班的人均占地面积，再对三个结果进行大小比较，数值最大的对应的班级就是所求答案。
2. 第（2）问：要判断所有教室是否达标，只需找到三个班人均占地面积的最小值，将其和规定的1.44平方米/人比较，如果最小值大于1.44，说明所有班级的人均面积都满足要求，全部达标。
【解析】
（1）分别计算三个班的人均占地面积：
六（1）班：$65÷40=1.625$（平方米/人）
六（2）班：$66÷42\approx1.57$（平方米/人）
六（3）班：$70÷45\approx1.56$（平方米/人）
比较大小可得：$1.56＜1.57＜1.625$，因此六（1）班的人均占地面积最大。
（2）三个班人均占地面积的最小值为1.56平方米/人，$1.56＞1.44$，说明所有班级的人均面积都高于规定值，因此这些教室都达标。
【答案】
（1）六(1)班的人均占地面积最大。
（2）这些教室都达标了。
【知识点】
小数除法计算、小数大小比较、平均数应用
【点评】
本题结合实际校园场景出题，核心考察除法公式的实际应用和数值比较能力，解题时只要准确计算出各班人均面积，再按要求比较判断即可，注意计算时的准确性。
【难度系数】
0.8
