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5. 我们已经知道了十进制数、二进制数，此外还有五进制数、八进制数、十六进制数等。五进制：用0,1,2,3,4计数，进位规则是“满5进1”；八进制：用0,1,2,3,4,5,6,7计数，进位规则是“满8进1”……我们已经研究了十进制数与二进制数之间的转换。十进制数与五进制数、八进制数之间的转换，也可以用短除法。
例：
（1）尝试把十进制数123分别转换成五进制数、八进制数。
（2）我们学会了用短除法将十进制数转换成五进制、八进制数，其实十进制数转换成十六进制数的方法与之类似。十六进制的进位规则是“满16进1”，它的数字除0～9外，10～15依次用大写字母A,B,C,D,E,F表示。你能尝试用短除法把十进制数123转换成十六进制数吗？
例：
（1）尝试把十进制数123分别转换成五进制数、八进制数。
（2）我们学会了用短除法将十进制数转换成五进制、八进制数，其实十进制数转换成十六进制数的方法与之类似。十六进制的进位规则是“满16进1”，它的数字除0～9外，10～15依次用大写字母A,B,C,D,E,F表示。你能尝试用短除法把十进制数123转换成十六进制数吗？
答案
5.(1) $123=(443)_5$ $123=(173)_8$
(2) $123=(7B)_{16}$
(2) $123=(7B)_{16}$
解析
【分析】
十进制转n进制的通用方法是“除n取余法”：用需要转换的十进制数反复除以目标进制的基数（五进制基数是5，八进制是8，十六进制是16），每次记录余数，直到商为0为止，最后把所有余数从最后一个到第一个倒序排列，就是对应的n进制数。如果转换为十六进制，余数≥10时要替换成对应的字母（10对应A、11对应B、12对应C、13对应D、14对应E、15对应F）。
【解析】
（1）①将123转换为五进制数：
第一步：$123÷5=24$，余数是3
第二步：$24÷5=4$，余数是4
第三步：$4÷5=0$，余数是4
把余数从后往前倒序排列得到443，即$123=(443)_5$
②将123转换为八进制数：
第一步：$123÷8=15$，余数是3
第二步：$15÷8=1$，余数是7
第三步：$1÷8=0$，余数是1
把余数从后往前倒序排列得到173，即$123=(173)_8$
（2）将123转换为十六进制数：
第一步：$123÷16=7$，余数是11，11对应十六进制的字母B
第二步：$7÷16=0$，余数是7
把余数从后往前倒序排列得到7B，即$123=(7B)_{16}$
【答案】
(1) $123=(443)_5$ $123=(173)_8$
(2) $123=(7B)_{16}$
【知识点】
进制转换，短除法，进位规则
【点评】
本题属于进制转换的基础题型，核心是掌握“除基取余、倒序排列”的转换规律，只要牢记不同进制的基数和十六进制的字母对应规则，就能轻松完成计算。
【难度系数】
0.7
十进制转n进制的通用方法是“除n取余法”：用需要转换的十进制数反复除以目标进制的基数（五进制基数是5，八进制是8，十六进制是16），每次记录余数，直到商为0为止，最后把所有余数从最后一个到第一个倒序排列，就是对应的n进制数。如果转换为十六进制，余数≥10时要替换成对应的字母（10对应A、11对应B、12对应C、13对应D、14对应E、15对应F）。
【解析】
（1）①将123转换为五进制数：
第一步：$123÷5=24$，余数是3
第二步：$24÷5=4$，余数是4
第三步：$4÷5=0$，余数是4
把余数从后往前倒序排列得到443，即$123=(443)_5$
②将123转换为八进制数：
第一步：$123÷8=15$，余数是3
第二步：$15÷8=1$，余数是7
第三步：$1÷8=0$，余数是1
把余数从后往前倒序排列得到173，即$123=(173)_8$
（2）将123转换为十六进制数：
第一步：$123÷16=7$，余数是11，11对应十六进制的字母B
第二步：$7÷16=0$，余数是7
把余数从后往前倒序排列得到7B，即$123=(7B)_{16}$
【答案】
(1) $123=(443)_5$ $123=(173)_8$
(2) $123=(7B)_{16}$
【知识点】
进制转换，短除法，进位规则
【点评】
本题属于进制转换的基础题型，核心是掌握“除基取余、倒序排列”的转换规律，只要牢记不同进制的基数和十六进制的字母对应规则，就能轻松完成计算。
【难度系数】
0.7
