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1. ∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为5，Q是OB上任一点，则(
A.$PQ＞5$
B.$PQ≥5$
C.$PQ＜5$
D.$PQ≤5$
B
)。A.$PQ＞5$
B.$PQ≥5$
C.$PQ＜5$
D.$PQ≤5$
答案
1. B
解析
【分析】
解题时先回忆两个核心知识点：一是角平分线的性质，二是垂线段最短的结论。首先根据角平分线的性质求出点P到OB的距离，再结合点到直线的所有连线中垂线段最短的规律，判断PQ的取值范围即可。
【解析】
1. 由角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为5，因此P到OB的距离也为5。
2. 根据垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短。
Q是OB上任意一点，当PQ⊥OB时，PQ的长度最短，等于P到OB的距离5；当PQ与OB不垂直时，PQ的长度都大于5。
因此PQ的取值范围是PQ≥5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记角平分线的性质，同时注意不要漏掉垂线段这种相等的特殊情况，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆两个核心知识点：一是角平分线的性质，二是垂线段最短的结论。首先根据角平分线的性质求出点P到OB的距离，再结合点到直线的所有连线中垂线段最短的规律，判断PQ的取值范围即可。
【解析】
1. 由角平分线的性质可知：角平分线上的点到角两边的距离相等。
已知点P在∠AOB的平分线上，且P到OA的距离为5，因此P到OB的距离也为5。
2. 根据垂线段最短的性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段长度最短。
Q是OB上任意一点，当PQ⊥OB时，PQ的长度最短，等于P到OB的距离5；当PQ与OB不垂直时，PQ的长度都大于5。
因此PQ的取值范围是PQ≥5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质；垂线段最短
【点评】
本题是基础概念应用题，解题的关键是牢记角平分线的性质，同时注意不要漏掉垂线段这种相等的特殊情况，避免误选A选项。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ ABC$的平分线BD交AC于点D，若$CD=3\ \mathrm{cm}$，则点D到AB的距离是(
A.5 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
C
).A.5 cm
B.4 cm
C.3 cm
D.2 cm
答案
2. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确所求的是点D到AB的距离，先确定点D的位置：D在∠ABC的角平分线BD上，那么D到∠ABC两边AB、BC的距离相等。已知∠C=90°，即DC⊥BC，所以D到BC的距离就是CD的长度，由此可直接推出D到AB的距离等于CD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ BD是∠ABC的平分线，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = CD。
又
∵ CD=3cm，
∴ DE=3cm，即点D到AB的距离是3cm。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，无需复杂计算，直接套用性质即可得到结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先明确所求的是点D到AB的距离，先确定点D的位置：D在∠ABC的角平分线BD上，那么D到∠ABC两边AB、BC的距离相等。已知∠C=90°，即DC⊥BC，所以D到BC的距离就是CD的长度，由此可直接推出D到AB的距离等于CD的长度。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，DE即为点D到AB的距离。
∵ BD是∠ABC的平分线，∠C=90°（即DC⊥BC），DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ DE = CD。
又
∵ CD=3cm，
∴ DE=3cm，即点D到AB的距离是3cm。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题关键是明确角平分线上的点到角两边的距离相等，无需复杂计算，直接套用性质即可得到结果。
【难度系数】
0.9
3. 如图，O是$△ ABC$内一点，且点O到$△ ABC$三边的距离相等.若$∠ A=60°$，则$∠ BOC$的度数为(
A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
C
).A.$60°$
B.$90°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
3. C
解析
【分析】
首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角一半的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=60°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是先根据点到三边距离相等判断出O是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导计算，属于基础常见题型。
【难度系数】
0.8
首先根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，可知到三角形三边距离相等的点是三角形三个内角的角平分线的交点，因此OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB。接下来先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再求出两个角一半的和，最后再次利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，即$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=60°$，根据三角形内角和为$180°$，得：
$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$，
在△BOC中，$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理
【点评】
本题解题的关键是先根据点到三边距离相等判断出O是三角形内角平分线的交点，再结合三角形内角和定理逐步推导计算，属于基础常见题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，$△ ABC$ 的三条角平分线交于点$P$，边$AB$，$BC$，$CA$ 的长分别为5，7，6，则 $S_{△ ABP}: S_{△ BPC}: S_{△ APC} =$
5:7:6
。答案
4. 5:7:6
解析
【分析】
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中P是△ABC三条角平分线的交点，因此P到AB、BC、AC三边的距离相等，即△ABP、△BPC、△APC这三个三角形分别以AB、BC、AC为底时，高相等。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此直接代入三边长度即可得到面积比。
【解析】
∵ 点P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可知，点P到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△BPC}=\frac{1}{2}×BC×h$，
$S_{△APC}=\frac{1}{2}×AC×h$，
因此$S_{△ABP}: S_{△ BPC}: S_{△ APC} = (\frac{1}{2}×5×h):(\frac{1}{2}×7×h):(\frac{1}{2}×6×h)$，
约去公因式$\frac{1}{2}h$后，得比值为$5:7:6$。
【答案】
5:7:6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比的化简
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是明确三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，从而将面积比转化为对应底边长的比，计算过程简单，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。本题中P是△ABC三条角平分线的交点，因此P到AB、BC、AC三边的距离相等，即△ABP、△BPC、△APC这三个三角形分别以AB、BC、AC为底时，高相等。根据三角形面积公式，高相等时，三角形的面积比等于对应底边长的比，因此直接代入三边长度即可得到面积比。
【解析】
∵ 点P是△ABC三条角平分线的交点，根据角平分线的性质可知，点P到AB、BC、AC三边的距离相等，设该距离为h。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ABP}=\frac{1}{2}×AB×h$，
$S_{△BPC}=\frac{1}{2}×BC×h$，
$S_{△APC}=\frac{1}{2}×AC×h$，
因此$S_{△ABP}: S_{△ BPC}: S_{△ APC} = (\frac{1}{2}×5×h):(\frac{1}{2}×7×h):(\frac{1}{2}×6×h)$，
约去公因式$\frac{1}{2}h$后，得比值为$5:7:6$。
【答案】
5:7:6
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算；比的化简
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的核心是明确三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，从而将面积比转化为对应底边长的比，计算过程简单，掌握基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8
5. P是∠AOB的平分线上的一点，PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，OP与EF的位置关系是
OP ⊥ EF
。答案
5. OP ⊥ EF
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发：①OP是∠AOB的角平分线，②PE、PF分别垂直OA、OB，首先回忆角平分线的性质可得PE=PF；接下来可通过HL证明Rt△OPE和Rt△OPF全等，得到OE=OF，由此可知△OEF是等腰三角形；最后结合OP是∠EOF的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可推出OP与EF的位置关系。
【解析】
∵ OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠PEO = ∠PFO = 90°
在Rt△OPE和Rt△OPF中：
$\{\begin{array}{l}OP = OP \\PE = PF\end{array} $
∴ Rt△OPE ≌ Rt△OPF（HL）
∴ OE = OF，即△OEF为等腰三角形
又
∵ OP平分∠EOF（即等腰△OEF的顶角）
根据等腰三角形三线合一的性质，可得：OP ⊥ EF
【答案】
OP ⊥ EF
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何应用题，将角平分线、全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题核心是通过全等推导得到等腰三角形，再利用三线合一判定垂直关系，是角平分线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件出发：①OP是∠AOB的角平分线，②PE、PF分别垂直OA、OB，首先回忆角平分线的性质可得PE=PF；接下来可通过HL证明Rt△OPE和Rt△OPF全等，得到OE=OF，由此可知△OEF是等腰三角形；最后结合OP是∠EOF的角平分线，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可推出OP与EF的位置关系。
【解析】
∵ OP平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB
∴ PE = PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∠PEO = ∠PFO = 90°
在Rt△OPE和Rt△OPF中：
$\{\begin{array}{l}OP = OP \\PE = PF\end{array} $
∴ Rt△OPE ≌ Rt△OPF（HL）
∴ OE = OF，即△OEF为等腰三角形
又
∵ OP平分∠EOF（即等腰△OEF的顶角）
根据等腰三角形三线合一的性质，可得：OP ⊥ EF
【答案】
OP ⊥ EF
【知识点】
角平分线的性质；直角三角形全等判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何应用题，将角平分线、全等三角形、等腰三角形的性质结合考查，解题核心是通过全等推导得到等腰三角形，再利用三线合一判定垂直关系，是角平分线章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7
6. 如图，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，若$BD=CD$，$BE=CF$。有下列结论：①$DE=DF$；②$AD$平分$∠ BAC$；③$AE=AD$；④$AB+AC=2AE$。其中正确的是
①②④
。（填序号）答案
6. ①②④
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：存在两个直角三角形Rt△BDE和Rt△CDF，已知斜边BD=CD、直角边BE=CF，可先通过HL定理证明这两个三角形全等，推导DE=DF验证结论①；再根据角平分线的判定定理，由DE=DF且DE、DF分别垂直于∠BAC的两边，判断AD是角平分线验证结论②；接着证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF，通过线段的和差关系推导AB+AC的表达式验证结论④；最后根据直角三角形斜边大于直角边判断结论③是否成立。
【解析】
1. 证明结论①：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ BE=CF\end{array} $，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，故①正确；
2. 证明结论②：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，故②正确；
3. 证明结论④：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
则$AB+AC = AB + AF + CF$，
又
∵$BE=CF$，$AF=AE$，
∴$AB+AC = AB + AE + BE = (AB+BE) + AE = AE + AE = 2AE$，故④正确；
4. 判断结论③：
在Rt△ADE中，AD是斜边，AE是直角边，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$AD＞AE$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 角平分线的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用HL定理证明直角三角形全等，再结合全等三角形的性质、角平分线的判定定理推导对应结论，判断错误结论时要注意挖掘直角三角形中边的大小关系这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：存在两个直角三角形Rt△BDE和Rt△CDF，已知斜边BD=CD、直角边BE=CF，可先通过HL定理证明这两个三角形全等，推导DE=DF验证结论①；再根据角平分线的判定定理，由DE=DF且DE、DF分别垂直于∠BAC的两边，判断AD是角平分线验证结论②；接着证明Rt△ADE≌Rt△ADF得到AE=AF，通过线段的和差关系推导AB+AC的表达式验证结论④；最后根据直角三角形斜边大于直角边判断结论③是否成立。
【解析】
1. 证明结论①：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，$\{\begin{array}{l}BD=CD\\ BE=CF\end{array} $，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE=DF，故①正确；
2. 证明结论②：
∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF，
根据“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”，可得AD平分∠BAC，故②正确；
3. 证明结论④：
在Rt△ADE和Rt△ADF中，$\{\begin{array}{l}AD=AD\\ DE=DF\end{array} $，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
则$AB+AC = AB + AF + CF$，
又
∵$BE=CF$，$AF=AE$，
∴$AB+AC = AB + AE + BE = (AB+BE) + AE = AE + AE = 2AE$，故④正确；
4. 判断结论③：
在Rt△ADE中，AD是斜边，AE是直角边，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$AD＞AE$，故③错误。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 角平分线的判定
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是灵活运用HL定理证明直角三角形全等，再结合全等三角形的性质、角平分线的判定定理推导对应结论，判断错误结论时要注意挖掘直角三角形中边的大小关系这一隐含条件。
【难度系数】
0.7
