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1. (★)设原有$ a $个人患病,每轮平均1个人传染$ b $个人,则一轮后传染了________个人,共有________个人患病.
答案
解：
一轮后传染的人数为 $ab$，
共有 $a(1+b)$（或$a+ab$）个人患病。
答案依次为 $\boldsymbol{ab}$；$\boldsymbol{a(1+b)}$（或$a+ab$）。
一轮后传染的人数为 $ab$，
共有 $a(1+b)$（或$a+ab$）个人患病。
答案依次为 $\boldsymbol{ab}$；$\boldsymbol{a(1+b)}$（或$a+ab$）。
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心量：一轮后新增的传染人数、一轮后总患病人数。首先思考新增传染人数的计算逻辑：每1个患者一轮传染b个人，原有a个患者，新增传染人数就是原有患者数乘每人的传染数。再思考总患病人数：总患病人数等于原本就患病的人数加上本轮新增的传染人数，最后可以对代数式进行化简得到更简洁的形式。
【解析】
1. 计算一轮后传染的人数：
原有$a$个患病的人，平均1个人一轮传染$b$个人，因此一轮后新增传染的人数为$a × b = ab$人。
2. 计算一轮后总患病人数：
总患病人数 = 原有患病人数 + 本轮新增传染人数，代入得总人数为$a + ab$，提取公因式$a$后可化简为$a(1+b)$。
【答案】
$ab$；$a(1+b)$（或$a+ab$）
【知识点】
列代数式；代数式化简
【点评】
本题是传染类问题的基础题型，重点考查对实际问题中数量关系的梳理能力，做题时要注意区分“新增传染人数”和“总患病人数”两个概念，避免混淆两者的计算逻辑。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个核心量：一轮后新增的传染人数、一轮后总患病人数。首先思考新增传染人数的计算逻辑：每1个患者一轮传染b个人，原有a个患者，新增传染人数就是原有患者数乘每人的传染数。再思考总患病人数：总患病人数等于原本就患病的人数加上本轮新增的传染人数，最后可以对代数式进行化简得到更简洁的形式。
【解析】
1. 计算一轮后传染的人数：
原有$a$个患病的人，平均1个人一轮传染$b$个人，因此一轮后新增传染的人数为$a × b = ab$人。
2. 计算一轮后总患病人数：
总患病人数 = 原有患病人数 + 本轮新增传染人数，代入得总人数为$a + ab$，提取公因式$a$后可化简为$a(1+b)$。
【答案】
$ab$；$a(1+b)$（或$a+ab$）
【知识点】
列代数式；代数式化简
【点评】
本题是传染类问题的基础题型，重点考查对实际问题中数量关系的梳理能力，做题时要注意区分“新增传染人数”和“总患病人数”两个概念，避免混淆两者的计算逻辑。
【难度系数】
0.9
2. (★)某农户的粮食产量平均每年的增长率为$x$,第一年的产量为6万千克,第二年的产量为万千克,第三年的产量为万千克,三年的总产量为万千克.
答案
解：
已知第一年的产量为6万千克，年平均增长率为x，
第二年的产量是在第一年产量的基础上增长x，可得产量为$6(1+x)$万千克；
第三年的产量是在第二年产量的基础上再增长x，可得产量为$6(1+x)·(1+x)=6(1+x)^2$万千克；
三年的总产量为三年产量之和，即$6 + 6(1+x) + 6(1+x)^2$万千克。
答案依次为：$\boldsymbol{6(1+x)}$；$\boldsymbol{6(1+x)^2}$；$\boldsymbol{6+6(1+x)+6(1+x)^2}$。
已知第一年的产量为6万千克，年平均增长率为x，
第二年的产量是在第一年产量的基础上增长x，可得产量为$6(1+x)$万千克；
第三年的产量是在第二年产量的基础上再增长x，可得产量为$6(1+x)·(1+x)=6(1+x)^2$万千克；
三年的总产量为三年产量之和，即$6 + 6(1+x) + 6(1+x)^2$万千克。
答案依次为：$\boldsymbol{6(1+x)}$；$\boldsymbol{6(1+x)^2}$；$\boldsymbol{6+6(1+x)+6(1+x)^2}$。
解析
【分析】
这是一道平均增长率相关的列代数式题目，解题核心是掌握增长率的基本数量关系：增长后的量=原有量×(1+增长率)。首先已知第一年的产量，第二年的产量是在第一年的基础上增长x，直接代入公式就能计算；第三年的产量是在第二年已增长的基础上再增长x，所以把第二年的产量作为原有量再次代入公式即可；三年的总产量只需将三年的产量相加求和。
【解析】
已知第一年产量为6万千克，年平均增长率为x：
1. 第二年产量是在第一年产量基础上增长x，因此第二年的产量为 $6×(1+x)=6(1+x)$ 万千克；
2. 第三年产量是在第二年产量基础上再增长x，因此第三年的产量为 $6(1+x)×(1+x)=6(1+x)^2$ 万千克；
3. 三年总产量为三年产量之和，即 $6 + 6(1+x) + 6(1+x)^2$ 万千克。
【答案】
$6(1+x)$；$6(1+x)^2$；$6+6(1+x)+6(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；列代数式
【点评】
本题属于增长率类基础题型，重点考查对增长率计算公式的理解与运用，熟练掌握增长后量的计算逻辑，是后续解决增长率相关实际应用题的基础。
【难度系数】
0.9
这是一道平均增长率相关的列代数式题目，解题核心是掌握增长率的基本数量关系：增长后的量=原有量×(1+增长率)。首先已知第一年的产量，第二年的产量是在第一年的基础上增长x，直接代入公式就能计算；第三年的产量是在第二年已增长的基础上再增长x，所以把第二年的产量作为原有量再次代入公式即可；三年的总产量只需将三年的产量相加求和。
【解析】
已知第一年产量为6万千克，年平均增长率为x：
1. 第二年产量是在第一年产量基础上增长x，因此第二年的产量为 $6×(1+x)=6(1+x)$ 万千克；
2. 第三年产量是在第二年产量基础上再增长x，因此第三年的产量为 $6(1+x)×(1+x)=6(1+x)^2$ 万千克；
3. 三年总产量为三年产量之和，即 $6 + 6(1+x) + 6(1+x)^2$ 万千克。
【答案】
$6(1+x)$；$6(1+x)^2$；$6+6(1+x)+6(1+x)^2$
【知识点】
平均增长率问题；列代数式
【点评】
本题属于增长率类基础题型，重点考查对增长率计算公式的理解与运用，熟练掌握增长后量的计算逻辑，是后续解决增长率相关实际应用题的基础。
【难度系数】
0.9
3. (★)(2025·广东)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元,预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的方程为 【 】
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
A.$2500(1+x)^2=9100$
B.$2500(1-x)^2=9100$
C.$2500(1-2x)^2=9100$
D.$2500(1+2x)^2=9100$
答案
A
解析
【分析】
这是一道平均增长率的应用题，解题思路如下：首先明确增长的初始值（5月产值2500万元）、增长次数（5月到7月共增长2次）、平均月增长率x以及最终值（7月产值9100万元）。回忆平均增长率的计算逻辑：每一次增长都是在上一个月产值的基础上乘以(1+增长率)，增长n次后，最终值=初始值×(1+增长率)ⁿ。首先排除带减号的选项B、C，因为是产值增长，不是下降；再排除单利计算的选项D，因为月均增长率是每月在上月基础上复利增长，不是两个月一共增长2x，由此就能锁定正确选项。
【解析】
已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = 2500(1+x) 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值 = 2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)² 万元；
第三步：结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：2500(1+x)² = 9100，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握增长率的计算逻辑：每次增长都以上一期的数值为基数，增长n次后最终值与初始值、增长率的关系为“最终值=初始值×(1+增长率)ⁿ”，掌握该公式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的应用题，解题思路如下：首先明确增长的初始值（5月产值2500万元）、增长次数（5月到7月共增长2次）、平均月增长率x以及最终值（7月产值9100万元）。回忆平均增长率的计算逻辑：每一次增长都是在上一个月产值的基础上乘以(1+增长率)，增长n次后，最终值=初始值×(1+增长率)ⁿ。首先排除带减号的选项B、C，因为是产值增长，不是下降；再排除单利计算的选项D，因为月均增长率是每月在上月基础上复利增长，不是两个月一共增长2x，由此就能锁定正确选项。
【解析】
已知5月产值为2500万元，6、7月的月均增长率为x：
第一步：计算6月产值，6月是在5月基础上增长x，因此6月产值 = 2500(1+x) 万元；
第二步：计算7月产值，7月是在6月基础上再增长x，因此7月产值 = 2500(1+x) × (1+x) = 2500(1+x)² 万元；
第三步：结合题目给出的7月产值为9100万元，可列方程：2500(1+x)² = 9100，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 平均增长率问题
【点评】
本题是平均增长率类的基础应用题，核心是掌握增长率的计算逻辑：每次增长都以上一期的数值为基数，增长n次后最终值与初始值、增长率的关系为“最终值=初始值×(1+增长率)ⁿ”，掌握该公式就能快速解题。
【难度系数】
0.8
4. (★)秋冬季是流感的高发季节,应该特别注意预防流感,如勤洗手、戴口罩、保持室内通风等.若有1个人患了流感,经过两轮传染后共有81个人患了流感,则每轮传染中平均1个人传染了几个人?设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人,根据题意,列方程为 【 】
A.$x(1+x)=81$
B.$1+x+x(1+x)=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$x+x(1+x)=81$
A.$x(1+x)=81$
B.$1+x+x(1+x)=81$
C.$1+x+x^2=81$
D.$x+x(1+x)=81$
答案
B
解析
【分析】
这是一元二次方程实际应用中的传播问题，解题时需分阶段梳理每轮的患病人数：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，再以第一轮后的总患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终两轮总患病人数相加等于81，据此列方程匹配选项即可。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
1. 初始阶段：患流感的总人数为1人；
2. 第一轮传染：1个患者每人传染$x$人，第一轮新增$x$名患者，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
3. 第二轮传染：此时传染源为第一轮结束后的$1+x$名患者，每人传染$x$人，因此第二轮新增$x(1+x)$名患者；
4. 两轮传染后总患病人数为81人，因此可列方程：$1 + x + x(1+x) = 81$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播问题模型
【点评】
本题是典型的传播类应用题，解题核心是明确每一轮的传染源数量，分阶段计算新增人数和总人数，避免漏算初始患者或错算第二轮的传染源基数。
【难度系数】
0.8
这是一元二次方程实际应用中的传播问题，解题时需分阶段梳理每轮的患病人数：首先明确初始患病人数，再计算第一轮传染后的总患病人数，再以第一轮后的总患病人数作为第二轮的传染源，计算第二轮新增的患病人数，最终两轮总患病人数相加等于81，据此列方程匹配选项即可。
【解析】
解：设每轮传染中平均1个人传染了$x$个人。
1. 初始阶段：患流感的总人数为1人；
2. 第一轮传染：1个患者每人传染$x$人，第一轮新增$x$名患者，第一轮结束后总患病人数为$1+x$人；
3. 第二轮传染：此时传染源为第一轮结束后的$1+x$名患者，每人传染$x$人，因此第二轮新增$x(1+x)$名患者；
4. 两轮传染后总患病人数为81人，因此可列方程：$1 + x + x(1+x) = 81$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传播问题模型
【点评】
本题是典型的传播类应用题，解题核心是明确每一轮的传染源数量，分阶段计算新增人数和总人数，避免漏算初始患者或错算第二轮的传染源基数。
【难度系数】
0.8
5. (★★)有1个人患了流感,经过两轮传染后共有64个人患了流感.如果不及时控制,第三轮将又有多少个人被传染？
答案
解：设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意，得：
$(1+x)^2 = 64$
解这个方程：
$1+x = \pm8$
$x_1 = 7,\quad x_2 = -9$
因为传染人数不能为负数，舍去$x_2=-9$，得$x=7$。
第三轮新增被传染的人数为：$64×7 = 448$。
答：第三轮将又有448个人被传染。
根据题意，得：
$(1+x)^2 = 64$
解这个方程：
$1+x = \pm8$
$x_1 = 7,\quad x_2 = -9$
因为传染人数不能为负数，舍去$x_2=-9$，得$x=7$。
第三轮新增被传染的人数为：$64×7 = 448$。
答：第三轮将又有448个人被传染。
解析
【分析】
这是一道传染类的一元二次方程应用题，解题可按三步展开：第一步明确传染问题的数量规律：初始有1个患者，每轮每人传染x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$；第二轮所有患者均为传染源，每人再传染x人，因此第二轮结束总患病人数为$(1+x)^2$。第二步结合“两轮传染后共64人患病”的条件列方程，求解得到每轮人均传染人数x，注意传染人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。第三步计算第三轮新增传染人数：第二轮结束的所有患者都是第三轮的传染源，因此新增传染人数=第二轮总患病人数×人均传染数x。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意，列方程得：
$(1+x)^2 = 64$
解这个方程：
开平方得$1+x = \pm8$
解得$x_1 = 7,\quad x_2 = -9$
因为传染人数不能为负数，舍去$x_2=-9$，即每轮平均1人传染7个人。
第三轮新增被传染的人数为：$64×7 = 448$（人）
【答案】
第三轮将又有448个人被传染。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传染问题数量关系
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题核心是梳理清楚每一轮传播前后传染源的数量变化规律，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，再按要求计算对应轮次的新增传染人数即可。
【难度系数】
0.7
这是一道传染类的一元二次方程应用题，解题可按三步展开：第一步明确传染问题的数量规律：初始有1个患者，每轮每人传染x人，第一轮结束后总患病人数为$1+x$；第二轮所有患者均为传染源，每人再传染x人，因此第二轮结束总患病人数为$(1+x)^2$。第二步结合“两轮传染后共64人患病”的条件列方程，求解得到每轮人均传染人数x，注意传染人数不能为负数，需舍去不符合实际意义的根。第三步计算第三轮新增传染人数：第二轮结束的所有患者都是第三轮的传染源，因此新增传染人数=第二轮总患病人数×人均传染数x。
【解析】
设每轮传染中平均一个人传染了$x$个人。
根据题意，列方程得：
$(1+x)^2 = 64$
解这个方程：
开平方得$1+x = \pm8$
解得$x_1 = 7,\quad x_2 = -9$
因为传染人数不能为负数，舍去$x_2=-9$，即每轮平均1人传染7个人。
第三轮新增被传染的人数为：$64×7 = 448$（人）
【答案】
第三轮将又有448个人被传染。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 传染问题数量关系
【点评】
本题是典型的传播类实际应用题，解题核心是梳理清楚每一轮传播前后传染源的数量变化规律，求解方程后要注意结合实际意义对根进行取舍，再按要求计算对应轮次的新增传染人数即可。
【难度系数】
0.7
6. (★)现代互联网技术的广泛应用,促进了快递行业高速发展. 据调查,某市一家快递公司今年3月份与5月份完成投递的快递总件数分别为6.3万件和8万件. 设该快递公司这两个月投递总件数的月平均增长率为x,则下列方程正确的是
【 】
A.$6.3(1+2x)=8$
B.$6.3(1+x)=8$
C.$6.3(1+x)^2=8$
D.$6.3+6.3(1+x)+6.3(1+x)^2=8$
【 】
A.$6.3(1+2x)=8$
B.$6.3(1+x)=8$
C.$6.3(1+x)^2=8$
D.$6.3+6.3(1+x)+6.3(1+x)^2=8$
答案
C
解析
【分析】
本题考查平均增长率类的方程列法，解题思路如下：首先明确题目中的初始量（3月份投递量6.3万件）、最终量（5月份投递量8万件）和月平均增长率x；其次理清增长的次数：3月到4月增长1次，4月到5月再增长1次，共增长2次；根据平均增长率的规律，每一轮增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，因此经过2次增长后的量=初始量×(1+x)²，据此列方程再匹配选项即可。
【解析】
已知3月份投递总件数为6.3万件，月平均增长率为x：
1. 4月份投递总件数为：$ 6.3(1+x) $ 万件
2. 5月份是在4月份的基础上再次增长x，因此5月份投递总件数为：$ 6.3(1+x) × (1+x) = 6.3(1+x)^2 $ 万件
3. 题目给出5月份投递总件数为8万件，因此可列方程：$ 6.3(1+x)^2 = 8 $
对应选项可知C正确。
【答案】
C
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均增长率应用题，解题核心是准确判断增长的次数，熟记平均增长（降低）的等量关系公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率类的方程列法，解题思路如下：首先明确题目中的初始量（3月份投递量6.3万件）、最终量（5月份投递量8万件）和月平均增长率x；其次理清增长的次数：3月到4月增长1次，4月到5月再增长1次，共增长2次；根据平均增长率的规律，每一轮增长后的量=增长前的量×(1+增长率)，因此经过2次增长后的量=初始量×(1+x)²，据此列方程再匹配选项即可。
【解析】
已知3月份投递总件数为6.3万件，月平均增长率为x：
1. 4月份投递总件数为：$ 6.3(1+x) $ 万件
2. 5月份是在4月份的基础上再次增长x，因此5月份投递总件数为：$ 6.3(1+x) × (1+x) = 6.3(1+x)^2 $ 万件
3. 题目给出5月份投递总件数为8万件，因此可列方程：$ 6.3(1+x)^2 = 8 $
对应选项可知C正确。
【答案】
C
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是典型的平均增长率应用题，解题核心是准确判断增长的次数，熟记平均增长（降低）的等量关系公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
7. (★★)某纪念品原价为100元/件，连续两次降价a%后售价为81元/件，则a的值是。
答案
解：
根据题意列方程得：
$100(1 - a\%)^2 = 81$
方程两边同时除以100，得：
$(1 - a\%)^2 = 0.81$
直接开平方，得：
$1 - a\% = 0.9$ 或 $1 - a\% = -0.9$
解得：
$a_1 = 10$，$a_2 = 190$
因为降价百分率小于100%，$a=190$不符合实际意义，舍去。
所以$a$的值是10。
根据题意列方程得：
$100(1 - a\%)^2 = 81$
方程两边同时除以100，得：
$(1 - a\%)^2 = 0.81$
直接开平方，得：
$1 - a\% = 0.9$ 或 $1 - a\% = -0.9$
解得：
$a_1 = 10$，$a_2 = 190$
因为降价百分率小于100%，$a=190$不符合实际意义，舍去。
所以$a$的值是10。
解析
【分析】
这是连续降价的百分率问题，解题思路如下：第一步，明确降价问题的数量关系：原价经过n次降价后的售价=原价×(1-降价百分率)^n；第二步，本题是连续两次降价，原价100元，两次降价后售价81元，代入上述关系即可列出关于a的一元二次方程；第三步，用直接开平方法解一元二次方程，最后结合降价百分率的实际意义（必须小于100%），舍去不符合题意的解，得到a的正确值。
【解析】
根据题意列方程得：
$100(1 - a\%)^2 = 81$
方程两边同时除以100，得：
$(1 - a\%)^2 = 0.81$
直接开平方，得：
$1 - a\% = 0.9$ 或 $1 - a\% = -0.9$
解得：
$a_1 = 10$，$a_2 = 190$
因为降价百分率小于100%，$a=190$不符合实际意义，舍去。
所以$a$的值是10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；百分率问题；直接开平方法解方程
【点评】
本题是百分率类的基础应用题，解题核心是准确梳理连续两次降价的数量关系列出方程，求解后切记要结合实际场景对得到的根进行检验，舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.8
这是连续降价的百分率问题，解题思路如下：第一步，明确降价问题的数量关系：原价经过n次降价后的售价=原价×(1-降价百分率)^n；第二步，本题是连续两次降价，原价100元，两次降价后售价81元，代入上述关系即可列出关于a的一元二次方程；第三步，用直接开平方法解一元二次方程，最后结合降价百分率的实际意义（必须小于100%），舍去不符合题意的解，得到a的正确值。
【解析】
根据题意列方程得：
$100(1 - a\%)^2 = 81$
方程两边同时除以100，得：
$(1 - a\%)^2 = 0.81$
直接开平方，得：
$1 - a\% = 0.9$ 或 $1 - a\% = -0.9$
解得：
$a_1 = 10$，$a_2 = 190$
因为降价百分率小于100%，$a=190$不符合实际意义，舍去。
所以$a$的值是10。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程的应用；百分率问题；直接开平方法解方程
【点评】
本题是百分率类的基础应用题，解题核心是准确梳理连续两次降价的数量关系列出方程，求解后切记要结合实际场景对得到的根进行检验，舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.8
