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20.(8分)某市自来水公司为了鼓励居民节约用水,规定按以下标准收取水费:
(1)根据上表,用水量每月不超过20立方米,实际每立方米收水费多少元?如果10月某用户用水量为18立方米,那么该用户10月应该缴纳水费多少元?
(2)某用户11月共缴纳水费80元,那么该用户11月用水多少立方米?
(3)若该用户水表12月出了故障,有25%的水量没有计入水表中,这样该用户在12月只缴纳了54元水费,问:该用户12月实际应该缴纳水费多少元?
(1)根据上表,用水量每月不超过20立方米,实际每立方米收水费多少元?如果10月某用户用水量为18立方米,那么该用户10月应该缴纳水费多少元?
(2)某用户11月共缴纳水费80元,那么该用户11月用水多少立方米?
(3)若该用户水表12月出了故障,有25%的水量没有计入水表中,这样该用户在12月只缴纳了54元水费,问:该用户12月实际应该缴纳水费多少元?
答案
20. (1)3元/立方米 54元 (2)25立方米 (3)76元
解析
【分析】
(1) 第一问先明确不超过20立方米时，每立方米总费用是基础水费加污水处理费加城市附加费，算出单价后，直接用用水量乘单价即可得总水费；
(2) 第二问先计算20立方米的总水费，和80元对比判断用水量是否超过20立方米，若超过，先算出超出部分的总费用，再除以超出部分每立方米的总费用得到超出的水量，加20就是总用水量；
(3) 第三问先根据缴纳的54元判断水表计入的水量所属区间，算出水表计入的水量，再根据25%水量没计入，求出实际总用水量，最后按分段计费规则算出实际应缴水费。
【解析】
(1) 不超过20立方米时，每立方米实际收费：
$2.05 + 0.8 + 0.15 = 3$（元/立方米）
18立方米应缴水费：$18 × 3 = 54$（元）
(2) 先算用水量20立方米时应缴水费：$20 × 3 = 60$（元）
因为$80＞60$，所以11月用水量超过20立方米。
超过20立方米的部分每立方米实际收费：$3.05 + 0.8 + 0.15 = 4$（元/立方米）
超出20立方米的水量：$(80 - 60) ÷ 4 = 5$（立方米）
11月总用水量：$20 + 5 = 25$（立方米）
(3) 因为$54＜60$，所以水表计入的用水量不超过20立方米。
水表计入的水量：$54 ÷ 3 = 18$（立方米）
因为25%的水量未计入，所以计入的水量是实际用水量的$1-25\%=75\%$
实际用水量：$18 ÷ 75\% = 24$（立方米）
实际应缴水费：$20 × 3 + (24 - 20) × 4 = 60 + 16 = 76$（元）
【答案】
(1) 3元/立方米，54元；(2)25立方米；(3)76元
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，百分数应用
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先理清不同用量区间的收费标准，每次计算前先判断水量所属的收费区间，避免直接套用单一单价计算出错，同时要注意额外加收的费用为每立方米均需缴纳的费用，不要漏算。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先明确不超过20立方米时，每立方米总费用是基础水费加污水处理费加城市附加费，算出单价后，直接用用水量乘单价即可得总水费；
(2) 第二问先计算20立方米的总水费，和80元对比判断用水量是否超过20立方米，若超过，先算出超出部分的总费用，再除以超出部分每立方米的总费用得到超出的水量，加20就是总用水量；
(3) 第三问先根据缴纳的54元判断水表计入的水量所属区间，算出水表计入的水量，再根据25%水量没计入，求出实际总用水量，最后按分段计费规则算出实际应缴水费。
【解析】
(1) 不超过20立方米时，每立方米实际收费：
$2.05 + 0.8 + 0.15 = 3$（元/立方米）
18立方米应缴水费：$18 × 3 = 54$（元）
(2) 先算用水量20立方米时应缴水费：$20 × 3 = 60$（元）
因为$80＞60$，所以11月用水量超过20立方米。
超过20立方米的部分每立方米实际收费：$3.05 + 0.8 + 0.15 = 4$（元/立方米）
超出20立方米的水量：$(80 - 60) ÷ 4 = 5$（立方米）
11月总用水量：$20 + 5 = 25$（立方米）
(3) 因为$54＜60$，所以水表计入的用水量不超过20立方米。
水表计入的水量：$54 ÷ 3 = 18$（立方米）
因为25%的水量未计入，所以计入的水量是实际用水量的$1-25\%=75\%$
实际用水量：$18 ÷ 75\% = 24$（立方米）
实际应缴水费：$20 × 3 + (24 - 20) × 4 = 60 + 16 = 76$（元）
【答案】
(1) 3元/立方米，54元；(2)25立方米；(3)76元
【知识点】
分段计费问题，有理数混合运算，百分数应用
【点评】
本题是生活中常见的阶梯收费类问题，解题核心是先理清不同用量区间的收费标准，每次计算前先判断水量所属的收费区间，避免直接套用单一单价计算出错，同时要注意额外加收的费用为每立方米均需缴纳的费用，不要漏算。
【难度系数】
0.7
21.(8分)【定义】如果两个一元一次方程的解之和为2,我们就称这两个方程互为“星光方程”。例如:$2x=-2$的解为$x=-1$,$x-1=2$的解为$x=3$,所以这两个方程互为“星光方程”。
【应用】
(1)若关于$x$的一元一次方程$2x+m=5$与$3-x=2x$是“星光方程”,则$m=$
(2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”,且这两个“星光方程”的解的差为4,若其中一个方程的解为$x=a$,求$a$的值。
【拓展】
(3)已知关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{2024}+m=2024x$的解是$x=2023$,请写出解是$y=2026$的关于$y$的一元一次方程:
$\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{2024}+2024(\_\_\_\_\_\_)=-m$(只需要在括号内填充含有$y$的代数式)。
(4)若关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{2025}+1=0$和$\frac{x}{a}-6=2x+b$互为“星光方程”,则关于$y$的一元一次方程$\frac{y}{a}-8-b=2y-\frac{1}{a}$的解为
【应用】
(1)若关于$x$的一元一次方程$2x+m=5$与$3-x=2x$是“星光方程”,则$m=$
$3$
。(2)已知两个一元一次方程互为“星光方程”,且这两个“星光方程”的解的差为4,若其中一个方程的解为$x=a$,求$a$的值。
【拓展】
(3)已知关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{2024}+m=2024x$的解是$x=2023$,请写出解是$y=2026$的关于$y$的一元一次方程:
$\frac{(\_\_\_\_\_\_)}{2024}+2024(\_\_\_\_\_\_)=-m$(只需要在括号内填充含有$y$的代数式)。
(4)若关于$x$的一元一次方程$\frac{x}{2025}+1=0$和$\frac{x}{a}-6=2x+b$互为“星光方程”,则关于$y$的一元一次方程$\frac{y}{a}-8-b=2y-\frac{1}{a}$的解为
$y=2026$
。答案
21. (1)$3$ (2)$3$或$-1$ (3)$y-3$ $3-y$ (4)$y=2026$
解析
【分析】
本题是新定义类题型，核心是理解“星光方程”的定义：若两个一元一次方程互为“星光方程”，则它们的解的和为2。解题时紧扣该定义，结合一元一次方程的解法逐步推导：
(1) 先求出方程$3-x=2x$的解，再根据“星光方程”的定义算出方程$2x+m=5$的解，代入即可求出$m$的值；
(2) 先根据“星光方程”定义表示出另一个方程的解为$2-a$，再根据两个解的差为4分两种情况列方程求解即可；
(3) 先将$x=2023$代入已知方程，整理得到含$-m$的等式，再结合所求方程的结构，将$y=2026$代入进行匹配，即可得到括号内的代数式；
(4) 先求出方程$\frac{x}{2025}+1=0$的解，根据“星光方程”定义得到第二个方程的解，再将所求的关于$y$的方程变形，和第二个方程的结构对比即可求出$y$的值。
【解析】
(1) 解方程$3-x=2x$：
移项得：$-x-2x=-3$，合并同类项得：$-3x=-3$，系数化为1得：$x=1$。
根据“星光方程”定义，方程$2x+m=5$的解为$2-1=1$，将$x=1$代入$2x+m=5$得：
$2×1 + m=5$，解得$m=3$。
(2) 已知其中一个方程的解为$x=a$，则另一个“星光方程”的解为$2-a$。
由两个解的差为4，分两种情况：
① 当$a - (2-a)=4$时，去括号得$a-2+a=4$，合并得$2a=6$，解得$a=3$；
② 当$(2-a)-a=4$时，去括号得$2-a-a=4$，合并得$2-2a=4$，解得$a=-1$。
综上，$a$的值为3或-1。
(3) 将$x=2023$代入方程$\frac{x}{2024}+m=2024x$，移项得：$\frac{2023}{2024} - 2024×2023 = -m$。
所求方程的解为$y=2026$，观察等式左边结构，$2023 = y-3$，$-2023 = 3-y$，代入上式得：
$\frac{y-3}{2024} + 2024×(3-y) = -m$，故两个括号依次填$y-3$、$3-y$。
(4) 先解方程$\frac{x}{2025}+1=0$：移项得$\frac{x}{2025}=-1$，解得$x=-2025$。
根据“星光方程”定义，方程$\frac{x}{a}-6=2x+b$的解为$2 - (-2025)=2027$，将$x=2027$代入该方程得：$\frac{2027}{a}-6=2×2027 +b$，整理得：$\frac{2027}{a} - b - 2×2027=6$。
将关于$y$的方程$\frac{y}{a}-8-b=2y-\frac{1}{a}$移项整理：
$\frac{y}{a}+\frac{1}{a} -2y -b =8$，即$\frac{y+1}{a} -2y -b=8$，变形得$\frac{y+1}{a} -2(y+1) -b = 6$。
对比上面的等式，可得$y+1=2027$，解得$y=2026$。
【答案】
(1)$3$ (2)$3$或$-1$ (3)$y-3$；$3-y$ (4)$y=2026$
【知识点】
新定义问题；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题以新定义“星光方程”为背景，考查了一元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解新定义的含义，灵活运用一元一次方程的解法进行推导，注意多解情况不要漏解。
【难度系数】
0.65
本题是新定义类题型，核心是理解“星光方程”的定义：若两个一元一次方程互为“星光方程”，则它们的解的和为2。解题时紧扣该定义，结合一元一次方程的解法逐步推导：
(1) 先求出方程$3-x=2x$的解，再根据“星光方程”的定义算出方程$2x+m=5$的解，代入即可求出$m$的值；
(2) 先根据“星光方程”定义表示出另一个方程的解为$2-a$，再根据两个解的差为4分两种情况列方程求解即可；
(3) 先将$x=2023$代入已知方程，整理得到含$-m$的等式，再结合所求方程的结构，将$y=2026$代入进行匹配，即可得到括号内的代数式；
(4) 先求出方程$\frac{x}{2025}+1=0$的解，根据“星光方程”定义得到第二个方程的解，再将所求的关于$y$的方程变形，和第二个方程的结构对比即可求出$y$的值。
【解析】
(1) 解方程$3-x=2x$：
移项得：$-x-2x=-3$，合并同类项得：$-3x=-3$，系数化为1得：$x=1$。
根据“星光方程”定义，方程$2x+m=5$的解为$2-1=1$，将$x=1$代入$2x+m=5$得：
$2×1 + m=5$，解得$m=3$。
(2) 已知其中一个方程的解为$x=a$，则另一个“星光方程”的解为$2-a$。
由两个解的差为4，分两种情况：
① 当$a - (2-a)=4$时，去括号得$a-2+a=4$，合并得$2a=6$，解得$a=3$；
② 当$(2-a)-a=4$时，去括号得$2-a-a=4$，合并得$2-2a=4$，解得$a=-1$。
综上，$a$的值为3或-1。
(3) 将$x=2023$代入方程$\frac{x}{2024}+m=2024x$，移项得：$\frac{2023}{2024} - 2024×2023 = -m$。
所求方程的解为$y=2026$，观察等式左边结构，$2023 = y-3$，$-2023 = 3-y$，代入上式得：
$\frac{y-3}{2024} + 2024×(3-y) = -m$，故两个括号依次填$y-3$、$3-y$。
(4) 先解方程$\frac{x}{2025}+1=0$：移项得$\frac{x}{2025}=-1$，解得$x=-2025$。
根据“星光方程”定义，方程$\frac{x}{a}-6=2x+b$的解为$2 - (-2025)=2027$，将$x=2027$代入该方程得：$\frac{2027}{a}-6=2×2027 +b$，整理得：$\frac{2027}{a} - b - 2×2027=6$。
将关于$y$的方程$\frac{y}{a}-8-b=2y-\frac{1}{a}$移项整理：
$\frac{y}{a}+\frac{1}{a} -2y -b =8$，即$\frac{y+1}{a} -2y -b=8$，变形得$\frac{y+1}{a} -2(y+1) -b = 6$。
对比上面的等式，可得$y+1=2027$，解得$y=2026$。
【答案】
(1)$3$ (2)$3$或$-1$ (3)$y-3$；$3-y$ (4)$y=2026$
【知识点】
新定义问题；一元一次方程的解；解一元一次方程
【点评】
本题以新定义“星光方程”为背景，考查了一元一次方程的相关知识，解题的关键是准确理解新定义的含义，灵活运用一元一次方程的解法进行推导，注意多解情况不要漏解。
【难度系数】
0.65
