18. (6分)如果方程$\frac{x-4}{3}-8=-\frac{x+2}{2}$与方程$4x-(3a-5)=6x+2a-5$的解相同，求式子$a-\frac{1}{a}$的值。

18. $-\frac{3}{2}$

【分析】
本题的解题思路分为三步：第一步，先求解不含参数的第一个一元一次方程，得到x的具体数值；第二步，利用两个方程解相同的性质，将求得的x值代入第二个含参数a的方程，得到关于a的一元一次方程，解出a的值；第三步，把a的值代入待求式子计算出最终结果。
【解析】
1. 求解方程$\frac{x-4}{3}-8=-\frac{x+2}{2}$：
去分母（两边同乘6）：$2(x-4)-48=-3(x+2)$
去括号：$2x-8-48=-3x-6$
移项：$2x+3x=-6+8+48$
合并同类项：$5x=50$
系数化为1：$x=10$
2. 因为两个方程的解相同，将$x=10$代入方程$4x-(3a-5)=6x+2a-5$：
代入得：$4×10-(3a-5)=6×10+2a-5$
化简：$40-3a+5=60+2a-5$
整理得：$45-3a=55+2a$
移项：$-3a-2a=55-45$
合并同类项：$-5a=10$
系数化为1：$a=-2$
3. 计算$a-\frac{1}{a}$的值：
将$a=-2$代入得：$a-\frac{1}{a}=-2-\frac{1}{-2}=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$
【答案】
$-\frac{3}{2}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 同解方程的性质
3. 代数式求值
【点评】
本题是同解方程的常规题型，解题核心是先求出无参数方程的解，再代入含参方程求参数，计算过程中要注意去分母、移项时的符号规则，避免因粗心出现计算错误。
【难度系数】
0.7

19.(8分)有一根可伸缩的鱼竿,鱼竿是用10节大小不同的空心套管连接而成的。闲置时鱼竿可收缩,完全收缩后,鱼竿长度即第1节套管的长度(如图1);使用时,可将鱼竿的每一节套管都完全拉伸(如图2)。图3是这根鱼竿所有套管都处于完全拉伸状态下的平面示意图。已知第1节套管长50 cm,第2节套管长46 cm,依此类推,每一节套管均比前一节套管少4 cm。完全拉伸时,为了使相邻两节套管连接并固定,每相邻两节套管间均有相同长度的重叠,设重叠的长度为x cm。

(1)请直接写出第5节套管的长度;
(2)请用含n的代数式表示第n节套管的长度(1≤n≤10);
(3)当这根鱼竿完全拉伸时,其长度为311 cm,求x的值。

19. (1)$34\ \mathrm{cm}$ (2)$(54-4n)\ \mathrm{cm}$ (3)$x=1$

【分析】
(1) 已知每节套管长度比前一节少4cm，第1节长50cm，第k节长度等于第1节长度减去4与(k-1)的乘积，代入k=5即可计算第5节的长度。
(2) 将(1)中的k替换为n，化简后即可得到第n节套管长度的代数式，注意n的取值范围为1≤n≤10。
(3) 先计算10节套管无重叠时的总长度，再分析10节套管连接时重叠处共有10-1=9处，每处重叠xcm，因此完全拉伸的总长度等于无重叠总长度减去9倍的x，据此列方程求解即可得到x的值。
【解析】
(1) 第5节套管的长度为：
$50-4×(5-1)=50-16=34\ \mathrm{cm}$
(2) 第n节套管的长度为：
$50-4(n-1)=50-4n+4=(54-4n)\ \mathrm{cm}\quad (1≤ n≤ 10)$
(3) 先计算10节套管无重叠的总长度：
第10节套管长度为$54-4×10=14\ \mathrm{cm}$，
10节总长度为$\dfrac{(50+14)×10}{2}=320\ \mathrm{cm}$。
10节套管连接共有$10-1=9$处重叠，根据完全拉伸长度为311cm列方程：
$320-9x=311$
解得：$9x=9$，即$x=1$。
【答案】
(1)$34\ \mathrm{cm}$
(2)$(54-4n)\ \mathrm{cm}$（$1≤ n≤ 10$）
(3)$x=1$
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；规律探究
【点评】
本题结合生活场景考查规律归纳能力和方程的实际应用，解题核心是准确总结套管长度的变化规律，同时注意n节套管连接时重叠处的数量为n-1，避免因重叠次数计算错误失分。
【难度系数】
0.7