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11. 将一副三角尺按如图所示方式叠放在一起，若AB=14 cm，则阴影部分的面积是
24.5
cm²。答案
11. 24.5
解析
【分析】
解题时先明确阴影部分为△ACF，第一步先在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长度；第二步根据CB与ED都垂直于AE，可得CB//ED，进而推出∠AFC=45°，判断出△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；最后代入三角形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7\mathrm{cm}$。
∵∠ACB=∠E=90°，
∴CB//ED，
∴∠AFC=∠D=45°，
∴Rt△ACF为等腰直角三角形，即$CF=AC=7\mathrm{cm}$，
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×AC×CF=\frac{1}{2}×7×7=24.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
24.5
【知识点】
直角三角形30°角性质；等腰直角三角形判定；三角形面积计算
【点评】
本题结合三角尺的叠放考查特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是结合平行线的性质判断出阴影部分为等腰直角三角形，题目综合性不强，是几何基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先明确阴影部分为△ACF，第一步先在Rt△ABC中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出AC的长度；第二步根据CB与ED都垂直于AE，可得CB//ED，进而推出∠AFC=45°，判断出△ACF是等腰直角三角形，得到CF=AC；最后代入三角形面积公式计算即可得到阴影部分面积。
【解析】
解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=14cm，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×14=7\mathrm{cm}$。
∵∠ACB=∠E=90°，
∴CB//ED，
∴∠AFC=∠D=45°，
∴Rt△ACF为等腰直角三角形，即$CF=AC=7\mathrm{cm}$，
因此阴影部分的面积为：
$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}×AC×CF=\frac{1}{2}×7×7=24.5\mathrm{cm}^2$。
【答案】
24.5
【知识点】
直角三角形30°角性质；等腰直角三角形判定；三角形面积计算
【点评】
本题结合三角尺的叠放考查特殊直角三角形的相关性质，解题的关键是结合平行线的性质判断出阴影部分为等腰直角三角形，题目综合性不强，是几何基础常考题。
【难度系数】
0.7
12. 分别以$△ ABC$的三边长为直径的半圆的面积为$S_1,S_2,S_3$。若$S_1+S_2=S_3$，则$△ ABC$的形状为（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
12. B
解析
【分析】
解题时首先要结合半圆面积公式，把三个半圆的面积用△ABC的三边长表示出来，再代入已知的面积等量关系$S_1+S_2=S_3$，通过化简等式得到三角形三边的平方关系，最后利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
设$△ ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，对应以三边为直径的半圆面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$。
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半径），可得：
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$。
已知$S_1+S_2=S_3$，代入上述表达式得：
$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，
等式两边同时乘以$\frac{8}{π}$，化简得$a^2+b^2=c^2$。
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
半圆面积计算；勾股定理的逆定理；等式的基本性质
【点评】
本题是几何基础题，将面积计算与三角形形状判定相结合，解题的核心是通过面积等量关系推导出三边的平方关系，熟练掌握相关公式和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要结合半圆面积公式，把三个半圆的面积用△ABC的三边长表示出来，再代入已知的面积等量关系$S_1+S_2=S_3$，通过化简等式得到三角形三边的平方关系，最后利用勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
设$△ ABC$的三边长分别为$a$、$b$、$c$，对应以三边为直径的半圆面积分别为$S_1$、$S_2$、$S_3$。
根据半圆面积公式$S_{\mathrm{半圆}}=\frac{1}{2}π r^2$（$r$为半径），可得：
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$。
已知$S_1+S_2=S_3$，代入上述表达式得：
$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，
等式两边同时乘以$\frac{8}{π}$，化简得$a^2+b^2=c^2$。
根据勾股定理的逆定理：若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
半圆面积计算；勾股定理的逆定理；等式的基本性质
【点评】
本题是几何基础题，将面积计算与三角形形状判定相结合，解题的核心是通过面积等量关系推导出三边的平方关系，熟练掌握相关公式和定理即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13.一块地的形状如图所示，已知$∠ CDA = 90°$，$AD = 8\ \mathrm{m}$，$CD = 6\ \mathrm{m}$，$AB = 26\ \mathrm{m}$，$BC = 24\ \mathrm{m}$，求这块地的面积。
答案
13. $96\ \mathrm{m}^2$
解析
【分析】
该图形为不规则四边形，计算面积可通过添加辅助线转化为三角形面积求解。首先已知$∠ CDA=90°$和Rt$△ ACD$的两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边$AC$的长度；得到$AC$后，结合$BC$、$AB$的长度，用勾股定理的逆定理判断$△ ABC$的形状，若$△ ABC$为直角三角形，这块地的面积就等于大直角三角形$ABC$的面积减去小直角三角形$ACD$的面积。
【解析】
解：连接$AC$，
在Rt$△ ACD$中，$∠ CDA=90°$，$AD=8\ \mathrm{m}$，$CD=6\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore AC=10\ \mathrm{m}$（长度取正值）。
在$△ ABC$中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
$\therefore$这块地的面积$S=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× CD× AD$
$=\frac{1}{2}×10×24 - \frac{1}{2}×6×8$
$=120 - 24$
$=96\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，准确计算两个三角形面积作差即可得到结果。
【难度系数】
0.7
该图形为不规则四边形，计算面积可通过添加辅助线转化为三角形面积求解。首先已知$∠ CDA=90°$和Rt$△ ACD$的两条直角边长度，可先用勾股定理求出斜边$AC$的长度；得到$AC$后，结合$BC$、$AB$的长度，用勾股定理的逆定理判断$△ ABC$的形状，若$△ ABC$为直角三角形，这块地的面积就等于大直角三角形$ABC$的面积减去小直角三角形$ACD$的面积。
【解析】
解：连接$AC$，
在Rt$△ ACD$中，$∠ CDA=90°$，$AD=8\ \mathrm{m}$，$CD=6\ \mathrm{m}$，
根据勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=8^2+6^2=64+36=100$，
$\therefore AC=10\ \mathrm{m}$（长度取正值）。
在$△ ABC$中，$AC=10\ \mathrm{m}$，$BC=24\ \mathrm{m}$，$AB=26\ \mathrm{m}$，
$\because AC^2+BC^2=10^2+24^2=100+576=676$，$AB^2=26^2=676$，
$\therefore AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，$△ ABC$是直角三角形，且$∠ ACB=90°$。
$\therefore$这块地的面积$S=S_{△ ABC}-S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AC× BC - \frac{1}{2}× CD× AD$
$=\frac{1}{2}×10×24 - \frac{1}{2}×6×8$
$=120 - 24$
$=96\ \mathrm{m}^2$
【答案】
$96\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题解题关键是通过添加辅助线将不规则图形转化为两个直角三角形的面积差，要熟练掌握勾股定理求边长、勾股定理逆定理判断直角三角形的方法，准确计算两个三角形面积作差即可得到结果。
【难度系数】
0.7
14.如图，某校A与公路距离为3 km，又与该公路旁的某车站D的距离为5 km。现要在公路边建一个商店C，使之与该校A及车站D的距离相等，则商店与车站的距离约为多少？
答案
14. 3.125 km。提示:作$AB⊥CD$于点B,设$CD=x$,列方程为$3^2+(4-x)^2=x^2$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先将实际场景转化为几何模型：先过点A作公路CD的垂线，构造出两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ABC。第一步在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长度；再根据“商店C到A、D距离相等”的条件，设CD的长度为x，可得AC=x，进而表示出BC的长度；最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长度。
【解析】
解：过点A作$AB⊥CD$，垂足为B，由题意可知$AB=3\ \mathrm{km}$，$AD=5\ \mathrm{km}$，$∠ ABC=∠ ABD=90°$。
1. 在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{km}$
2. 设$CD=x\ \mathrm{km}$，因为C到A、D的距离相等，所以$AC=CD=x\ \mathrm{km}$，则$BC=BD-CD=(4-x)\ \mathrm{km}$。
3. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$
展开计算：$9 + 16 - 8x + x^2 = x^2$
化简得：$25=8x$
解得：$x=\frac{25}{8}=3.125\ \mathrm{km}$
【答案】
3.125 km
【知识点】
勾股定理；点到直线的距离；方程思想解几何题
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合已知等量关系列方程求解，能够考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，首先将实际场景转化为几何模型：先过点A作公路CD的垂线，构造出两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ABC。第一步在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长度；再根据“商店C到A、D距离相等”的条件，设CD的长度为x，可得AC=x，进而表示出BC的长度；最后在Rt△ABC中利用勾股定理列方程，解方程即可求出CD的长度。
【解析】
解：过点A作$AB⊥CD$，垂足为B，由题意可知$AB=3\ \mathrm{km}$，$AD=5\ \mathrm{km}$，$∠ ABC=∠ ABD=90°$。
1. 在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AD^2 - AB^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{km}$
2. 设$CD=x\ \mathrm{km}$，因为C到A、D的距离相等，所以$AC=CD=x\ \mathrm{km}$，则$BC=BD-CD=(4-x)\ \mathrm{km}$。
3. 在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
代入数值得：$3^2 + (4-x)^2 = x^2$
展开计算：$9 + 16 - 8x + x^2 = x^2$
化简得：$25=8x$
解得：$x=\frac{25}{8}=3.125\ \mathrm{km}$
【答案】
3.125 km
【知识点】
勾股定理；点到直线的距离；方程思想解几何题
【点评】
本题是勾股定理的实际应用类题目，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，结合已知等量关系列方程求解，能够考查学生的几何建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
15. 小明在学习勾股定理后，尝试着利用计算的方法进行论证，解决了如下问题：如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，M是BC的中点，$MD⊥ AB$于D，请说明三条线段AD，BD，AC总能构成一个直角三角形。
答案
15. 连结AM,设$AD=a,BD=b,AC=c,BM=x$,根据中点的定义可得$CM=x$。在Rt△BMD中,$MD^2=BM^2-BD^2=x^2-b^2$,在Rt△AMD中,$MD^2=AM^2-AD^2=AM^2-a^2$,在Rt△ACM中,$AM^2=AC^2+CM^2=c^2+x^2$,可得$a^2=c^2+b^2$,根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD,BD,AC总能构成一个直角三角形
解析
【分析】
要证明AD、BD、AC可构成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明三条线段中两条的平方和等于第三条的平方即可。观察图形可知存在多个直角三角形，且M是BC中点，因此可连接AM构造新的直角三角形，借助勾股定理分别表示公共线段MD²、AM²，通过等量代换消去中间量，最终得到AD、BD、AC的平方关系。
【解析】
证明：连接AM，设$AD=a$，$BD=b$，$AC=c$，$BM=x$。
∵M是BC的中点，
∴$CM=BM=x$。
①在$Rt△BMD$中，由勾股定理得：$MD^2=BM^2-BD^2=x^2-b^2$；
②在$Rt△AMD$中，由勾股定理得：$MD^2=AM^2-AD^2=AM^2-a^2$；
联立①②可得：$x^2-b^2=AM^2-a^2$，整理得$AM^2=a^2+x^2-b^2$。
③在$Rt△ACM$中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2+CM^2=c^2+x^2$；
将两个$AM^2$的表达式联立：$a^2+x^2-b^2=c^2+x^2$，消去$x^2$后得$a^2=b^2+c^2$，即$AD^2=BD^2+AC^2$。
根据勾股定理的逆定理，三条线段AD、BD、AC总能构成直角三角形。
【答案】
连结AM,设$AD=a,BD=b,AC=c,BM=x$,根据中点的定义可得$CM=x$。在Rt△BMD中,$MD^2=BM^2-BD^2=x^2-b^2$,在Rt△AMD中,$MD^2=AM^2-AD^2=AM^2-a^2$,在Rt△ACM中,$AM^2=AC^2+CM^2=c^2+x^2$,可得$a^2=c^2+b^2$,根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD,BD,AC总能构成一个直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理相关的综合证明题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用公共量的等量代换消去中间参数，得到待证线段的平方关系，这类解题思路在直角三角形线段关系的证明题型中非常常见，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
要证明AD、BD、AC可构成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明三条线段中两条的平方和等于第三条的平方即可。观察图形可知存在多个直角三角形，且M是BC中点，因此可连接AM构造新的直角三角形，借助勾股定理分别表示公共线段MD²、AM²，通过等量代换消去中间量，最终得到AD、BD、AC的平方关系。
【解析】
证明：连接AM，设$AD=a$，$BD=b$，$AC=c$，$BM=x$。
∵M是BC的中点，
∴$CM=BM=x$。
①在$Rt△BMD$中，由勾股定理得：$MD^2=BM^2-BD^2=x^2-b^2$；
②在$Rt△AMD$中，由勾股定理得：$MD^2=AM^2-AD^2=AM^2-a^2$；
联立①②可得：$x^2-b^2=AM^2-a^2$，整理得$AM^2=a^2+x^2-b^2$。
③在$Rt△ACM$中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2+CM^2=c^2+x^2$；
将两个$AM^2$的表达式联立：$a^2+x^2-b^2=c^2+x^2$，消去$x^2$后得$a^2=b^2+c^2$，即$AD^2=BD^2+AC^2$。
根据勾股定理的逆定理，三条线段AD、BD、AC总能构成直角三角形。
【答案】
连结AM,设$AD=a,BD=b,AC=c,BM=x$,根据中点的定义可得$CM=x$。在Rt△BMD中,$MD^2=BM^2-BD^2=x^2-b^2$,在Rt△AMD中,$MD^2=AM^2-AD^2=AM^2-a^2$,在Rt△ACM中,$AM^2=AC^2+CM^2=c^2+x^2$,可得$a^2=c^2+b^2$,根据勾股定理的逆定理可得三条线段AD,BD,AC总能构成一个直角三角形
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，线段中点的定义
【点评】
本题属于勾股定理相关的综合证明题，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形，利用公共量的等量代换消去中间参数，得到待证线段的平方关系，这类解题思路在直角三角形线段关系的证明题型中非常常见，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
