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16. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 纸片中, $∠ C=90°$, $AC=6$, $BC=8$, 点 $D$ 在边 $BC$ 上, 将 $△ ABD$ 沿 $AD$ 折叠得到 $△ AB'D$, $AB'$与边 $BC$ 交于点 $E$。若 $△ DEB'$ 为直角三角形, 则 $BD$ 的长是
2或5
。答案
16. 2或5
解析
【分析】
本题是折叠背景下的直角三角形存在性问题，需分情况讨论△DEB'的直角顶点，结合折叠性质和勾股定理求解：
1. 先计算Rt△ABC的斜边AB长度，由折叠性质得AB'=AB，BD=B'D，∠B'=∠B；
2. 分类讨论：
① 当∠EDB'=90°时，结合角度关系可推出△ACD为等腰直角三角形，得CD=AC，进而求BD；
② 当∠DEB'=90°时，此时点E与点C重合，得CB'=AB'-AC，再在Rt△CDB'中用勾股定理列方程求BD；
③ ∠B'=∠B≠90°，无需考虑∠B'为直角的情况。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由折叠性质可知：$AB'=AB=10$，$BD=B'D$，$∠ADB=∠ADB'$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠EDB'=90°$时：
∵$∠ADB=∠ADB'$，$∠ADB+∠ADC=180°$，$∠ADB'=∠ADC+∠EDB'=∠ADC+90°$
∴$180°-∠ADC=∠ADC+90°$，解得$∠ADC=45°$
又
∵∠C=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，$CD=AC=6$
∴$BD=BC-CD=8-6=2$
2. 当$∠DEB'=90°$时：
∵$AC⊥BC$，$∠AEC=∠DEB'=90°$，
∴点E与点C重合
∴$CB'=AB'-AC=10-6=4$
设$BD=x$，则$B'D=x$，$CD=8-x$
在Rt△CDB'中，由勾股定理得：$CD^2+CB'^2=B'D^2$
即$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开得：$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得：$80-16x=0$，解得$x=5$，即$BD=5$
综上，BD的长为2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，分类讨论
【点评】
本题核心考查折叠变换的性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，利用方程思想求解线段长度是这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
本题是折叠背景下的直角三角形存在性问题，需分情况讨论△DEB'的直角顶点，结合折叠性质和勾股定理求解：
1. 先计算Rt△ABC的斜边AB长度，由折叠性质得AB'=AB，BD=B'D，∠B'=∠B；
2. 分类讨论：
① 当∠EDB'=90°时，结合角度关系可推出△ACD为等腰直角三角形，得CD=AC，进而求BD；
② 当∠DEB'=90°时，此时点E与点C重合，得CB'=AB'-AC，再在Rt△CDB'中用勾股定理列方程求BD；
③ ∠B'=∠B≠90°，无需考虑∠B'为直角的情况。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
由折叠性质可知：$AB'=AB=10$，$BD=B'D$，$∠ADB=∠ADB'$。
分两种情况讨论：
1. 当$∠EDB'=90°$时：
∵$∠ADB=∠ADB'$，$∠ADB+∠ADC=180°$，$∠ADB'=∠ADC+∠EDB'=∠ADC+90°$
∴$180°-∠ADC=∠ADC+90°$，解得$∠ADC=45°$
又
∵∠C=90°，
∴△ACD为等腰直角三角形，$CD=AC=6$
∴$BD=BC-CD=8-6=2$
2. 当$∠DEB'=90°$时：
∵$AC⊥BC$，$∠AEC=∠DEB'=90°$，
∴点E与点C重合
∴$CB'=AB'-AC=10-6=4$
设$BD=x$，则$B'D=x$，$CD=8-x$
在Rt△CDB'中，由勾股定理得：$CD^2+CB'^2=B'D^2$
即$(8-x)^2+4^2=x^2$
展开得：$64-16x+x^2+16=x^2$
化简得：$80-16x=0$，解得$x=5$，即$BD=5$
综上，BD的长为2或5。
【答案】
2或5
【知识点】
勾股定理，折叠的性质，分类讨论
【点评】
本题核心考查折叠变换的性质与勾股定理的综合应用，解题的关键是对直角三角形的直角顶点进行分类讨论，避免漏解，利用方程思想求解线段长度是这类问题的常用方法。
【难度系数】
0.6
17. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,垂足为$D$,$AD=4$,$BD=2$,$CD=8$。
(1)求证:$∠ BAC=90°$。
(2)$P$为$BC$边上一点,连结$AP$,若$△ ABP$为等腰三角形,请直接写出$BP$的长。
(1)求证:$∠ BAC=90°$。
(2)$P$为$BC$边上一点,连结$AP$,若$△ ABP$为等腰三角形,请直接写出$BP$的长。
答案
17. (1)证明:$\because AD⊥BC,AD=4,BD=2,CD=8,\therefore$在Rt△ABD中,由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2=20$。同理可得$AC^2=CD^2+AD^2=80$。$\because BC=CD+BD=10,\therefore BC^2=100,\therefore AC^2+AB^2=100=BC^2,\therefore △ABC$是直角三角形,$\therefore ∠BAC=90°$。
(2)解:若△ABP为等腰三角形,BP的长可从以下三种情况进行计算:
①当$BP=AB$时,$\because AD⊥BC,\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=2\sqrt{5},\therefore BP=AB=2\sqrt{5}$。
②当$BP=AP$时,$\because △ABC$是直角三角形,$\therefore ∠B+∠C=90°,∠BAP+∠PAC=90°$。
$\because ∠B=∠BAP,\therefore ∠C=∠PAC,\therefore AP=PC,\therefore BP=\frac{1}{2}BC=5$。
③当$AP=AB$时,$\because AD⊥BC,\therefore BP=2BD=4$。综上所述,BP的长为$2\sqrt{5}$或5或4
解析
【分析】
(1) 要证明∠BAC=90°，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先在Rt△ABD和Rt△ACD中，用勾股定理分别计算$AB^2$和$AC^2$，再计算BC的长度并求出$BC^2$，验证$AB^2+AC^2$与$BC^2$是否相等即可得证。
(2) △ABP为等腰三角形时未明确腰和底，需分三类讨论：①$BP=AB$（B为顶角顶点）；②$BP=AP$（P为顶角顶点）；③$AP=AB$（A为顶角顶点），结合等腰三角形性质、勾股定理及第一问结论分别计算每种情况的BP长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥BC,AD=4,BD=2,CD=8$，
$\therefore$在Rt△ABD中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+2^2=20$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AC^2=CD^2+AD^2=8^2+4^2=80$，
$\because BC=BD+CD=2+8=10$，$\therefore BC^2=10^2=100$，
$\therefore AB^2+AC^2=20+80=100=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，$\therefore ∠BAC=90°$。
(2) 解：分三种情况讨论：
① 当$BP=AB$时：
$\because AD⊥BC$，$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$\therefore BP=AB=2\sqrt{5}$；
② 当$BP=AP$时：
$\because △ABC$是直角三角形，$\therefore ∠B+∠C=90°,∠BAP+∠PAC=90°$，
$\because ∠B=∠BAP$，$\therefore ∠C=∠PAC$，$\therefore AP=PC$，
$\therefore BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$；
③ 当$AP=AB$时：
$\because AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BP中点，
$\therefore BP=2BD=2×2=4$。
综上，BP的长为$2\sqrt{5}$或5或4。
【答案】
(1) $∠BAC=90°$，证明成立；
(2) BP的长为$2\sqrt{5}$或5或4
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查勾股定理及其逆定理的应用，同时渗透了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意分类的完整性，避免因遗漏情况导致失分。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明∠BAC=90°，可运用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。首先在Rt△ABD和Rt△ACD中，用勾股定理分别计算$AB^2$和$AC^2$，再计算BC的长度并求出$BC^2$，验证$AB^2+AC^2$与$BC^2$是否相等即可得证。
(2) △ABP为等腰三角形时未明确腰和底，需分三类讨论：①$BP=AB$（B为顶角顶点）；②$BP=AP$（P为顶角顶点）；③$AP=AB$（A为顶角顶点），结合等腰三角形性质、勾股定理及第一问结论分别计算每种情况的BP长度即可。
【解析】
(1) 证明：$\because AD⊥BC,AD=4,BD=2,CD=8$，
$\therefore$在Rt△ABD中，由勾股定理得$AB^2=AD^2+BD^2=4^2+2^2=20$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得$AC^2=CD^2+AD^2=8^2+4^2=80$，
$\because BC=BD+CD=2+8=10$，$\therefore BC^2=10^2=100$，
$\therefore AB^2+AC^2=20+80=100=BC^2$，
根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，$\therefore ∠BAC=90°$。
(2) 解：分三种情况讨论：
① 当$BP=AB$时：
$\because AD⊥BC$，$\therefore AB=\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$，$\therefore BP=AB=2\sqrt{5}$；
② 当$BP=AP$时：
$\because △ABC$是直角三角形，$\therefore ∠B+∠C=90°,∠BAP+∠PAC=90°$，
$\because ∠B=∠BAP$，$\therefore ∠C=∠PAC$，$\therefore AP=PC$，
$\therefore BP=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×10=5$；
③ 当$AP=AB$时：
$\because AD⊥BC$，根据等腰三角形三线合一的性质，D为BP中点，
$\therefore BP=2BD=2×2=4$。
综上，BP的长为$2\sqrt{5}$或5或4。
【答案】
(1) $∠BAC=90°$，证明成立；
(2) BP的长为$2\sqrt{5}$或5或4
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，考查勾股定理及其逆定理的应用，同时渗透了等腰三角形的分类讨论思想，解题时要注意分类的完整性，避免因遗漏情况导致失分。
【难度系数】
0.65
