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1 如图，直线AB，CD相交于点O，$EO⊥ CD$.下列说法不一定成立的是 （
A.$∠ AOD=∠ BOC$
B.$∠ AOE+∠ BOD=90°$
C.$∠ AOC=∠ AOE$
D.$∠ AOD+∠ BOD=180°$
C
）A.$∠ AOD=∠ BOC$
B.$∠ AOE+∠ BOD=90°$
C.$∠ AOC=∠ AOE$
D.$∠ AOD+∠ BOD=180°$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求选出不一定成立的结论，解题时可结合相交线的相关性质，逐个分析选项：首先回忆对顶角相等、邻补角和为180°、垂直的夹角为90°这些基础结论，再对应每个选项的角的关系判断是否一定成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠AOD与∠BOC是直线AB、CD相交形成的对顶角，根据对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，该结论一定成立，不符合题意；
B. 已知EO⊥CD，可得∠EOC=90°，即∠AOE+∠AOC=90°，又∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOC=∠BOD，等量代换得∠AOE+∠BOD=90°，该结论一定成立，不符合题意；
C. 题干未给出OA平分∠EOC的相关条件，无法推导得出∠AOC=∠AOE，该结论不一定成立，符合题意；
D. ∠AOD和∠BOD是邻补角，根据邻补角的定义，二者之和为180°，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线的基础题，核心考查对顶角、邻补角、垂直的相关概念，解题时需注意题干要求是选“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错。
【难度系数】
0.8
本题要求选出不一定成立的结论，解题时可结合相交线的相关性质，逐个分析选项：首先回忆对顶角相等、邻补角和为180°、垂直的夹角为90°这些基础结论，再对应每个选项的角的关系判断是否一定成立即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. ∠AOD与∠BOC是直线AB、CD相交形成的对顶角，根据对顶角相等，可得∠AOD=∠BOC，该结论一定成立，不符合题意；
B. 已知EO⊥CD，可得∠EOC=90°，即∠AOE+∠AOC=90°，又∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOC=∠BOD，等量代换得∠AOE+∠BOD=90°，该结论一定成立，不符合题意；
C. 题干未给出OA平分∠EOC的相关条件，无法推导得出∠AOC=∠AOE，该结论不一定成立，符合题意；
D. ∠AOD和∠BOD是邻补角，根据邻补角的定义，二者之和为180°，该结论一定成立，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
对顶角的性质；邻补角的性质；垂直的定义
【点评】
本题是相交线的基础题，核心考查对顶角、邻补角、垂直的相关概念，解题时需注意题干要求是选“不一定成立”的选项，避免因审题粗心选错。
【难度系数】
0.8
2 [2024 雅安]如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于点O.若∠1=35°,则∠2的度数是 （
A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
A
）A.$55°$
B.$45°$
C.$35°$
D.$30°$
答案
2.A
解析
【分析】
解题时先从已知条件OE⊥AB入手，根据垂直的定义可以得到90°的角；再观察角的位置关系：∠1、90°的直角和∠2刚好组成平角，利用平角为180°的性质，就能通过角的和差关系求出∠2的度数；也可以先求∠2的对顶角的度数，再利用对顶角相等得到结果。
【解析】
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°（垂直的定义），
∵ 直线CD为平角，度数为180°，
∴ ∠1 + ∠BOE + ∠2 = 180°，
将∠1=35°，∠BOE=90°代入得：
∠2 = 180° - 35° - 90° = 55°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，对顶角相等
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用垂直得到特殊角，结合角的和差关系计算角度，熟练掌握相交线相关的角的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件OE⊥AB入手，根据垂直的定义可以得到90°的角；再观察角的位置关系：∠1、90°的直角和∠2刚好组成平角，利用平角为180°的性质，就能通过角的和差关系求出∠2的度数；也可以先求∠2的对顶角的度数，再利用对顶角相等得到结果。
【解析】
解：
∵ OE⊥AB，
∴ ∠BOE = 90°（垂直的定义），
∵ 直线CD为平角，度数为180°，
∴ ∠1 + ∠BOE + ∠2 = 180°，
将∠1=35°，∠BOE=90°代入得：
∠2 = 180° - 35° - 90° = 55°。
【答案】
A
【知识点】
垂直的定义，平角的性质，对顶角相等
【点评】
本题是几何基础题，核心是利用垂直得到特殊角，结合角的和差关系计算角度，熟练掌握相交线相关的角的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
3 下列时刻中,时针与分针互相垂直的是 （
A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
D
）A.2时30分
B.12时15分
C.6时15分
D.3时整
答案
3.D
解析
【分析】
要判断时针与分针是否垂直，核心是计算对应时刻两指针的夹角是否为90°。首先明确钟面角度规律：钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。我们只需逐个计算各选项中两指针的夹角，即可选出正确答案。
【解析】
我们分别计算每个选项的时针与分针夹角：
A. 2时30分：时针位置为$2×30° + 30×0.5° = 75°$，分针位置为$30×6°=180°$，夹角为$180°-75°=105°$，不是90°，不符合垂直要求。
B. 12时15分：时针位置为$15×0.5°=7.5°$，分针位置为$15×6°=90°$，夹角为$90°-7.5°=82.5°$，不是90°，不符合垂直要求。
C. 6时15分：时针位置为$6×30°+15×0.5°=187.5°$，分针位置为$15×6°=90°$，夹角为$187.5°-90°=97.5°$，不是90°，不符合垂直要求。
D. 3时整：时针位置为$3×30°=90°$，分针位置为$0°$，夹角为$90°-0°=90°$，两指针互相垂直，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算、垂直的判定
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查垂直的判定，解题时要注意时针会随分钟的推移转动，不能仅按整点的时针位置计算夹角，避免出现错选B、C的情况。
【难度系数】
0.8
要判断时针与分针是否垂直，核心是计算对应时刻两指针的夹角是否为90°。首先明确钟面角度规律：钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格对应30°；分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°。我们只需逐个计算各选项中两指针的夹角，即可选出正确答案。
【解析】
我们分别计算每个选项的时针与分针夹角：
A. 2时30分：时针位置为$2×30° + 30×0.5° = 75°$，分针位置为$30×6°=180°$，夹角为$180°-75°=105°$，不是90°，不符合垂直要求。
B. 12时15分：时针位置为$15×0.5°=7.5°$，分针位置为$15×6°=90°$，夹角为$90°-7.5°=82.5°$，不是90°，不符合垂直要求。
C. 6时15分：时针位置为$6×30°+15×0.5°=187.5°$，分针位置为$15×6°=90°$，夹角为$187.5°-90°=97.5°$，不是90°，不符合垂直要求。
D. 3时整：时针位置为$3×30°=90°$，分针位置为$0°$，夹角为$90°-0°=90°$，两指针互相垂直，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
钟面角计算、垂直的判定
【点评】
本题结合生活中的时钟场景考查垂直的判定，解题时要注意时针会随分钟的推移转动，不能仅按整点的时针位置计算夹角，避免出现错选B、C的情况。
【难度系数】
0.8
4 如图①②③④，分别过点P画AB的垂线。
（第4题）
（第4题）答案
4. 如图①②③④，直线PM即为所求
解析
【分析】
本题是过一点作已知直线垂线的作图题，解题思路如下：首先明确点P与直线AB的位置关系分为点在直线上、点在直线外两类，作图核心是利用三角板的直角构造90°角，通用步骤为：①将三角板的一条直角边与直线AB重合；②沿AB平移三角板，让三角板的另一条直角边经过点P；③沿着过点P的直角边画直线，与AB（或AB的延长线）交于垂足M，标注直角符号即可。网格作图时可借助网格的横竖格垂直特性，对齐格点画出垂线。
【解析】
分四种情况完成作图：
1. 图①：点P在直线AB外，将三角板的一条直角边与AB重合，平移三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交AB于M，标注直角符号，得到垂线PM；
2. 图②：点P在直线AB上，将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与AB重合，沿另一条直角边画直线，标注直角符号，得到垂线PM；
3. 图③：点P在直线AB外，且垂足落在AB的延长线上，先延长AB，再将三角板的一条直角边与AB所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交AB的延长线于M，标注直角符号，得到垂线PM；
4. 图④：网格中作图，借助网格格点，画过P的直线与AB交于M，保证夹角为直角，标注直角符号，得到垂线PM。
所作图形如下：
【答案】
4. 如图①②③④，直线PM即为所求
【知识点】
垂线的画法；过点作已知直线的垂线；网格作图
【点评】
本题是基础的几何作图题，重点考查垂线的作图操作，需要注意区分点在直线上和点在直线外两种情况，若垂足落在直线的延长线上，要先延长直线再作图，完成作图后需标注直角符号保证作图规范。
【难度系数】
0.8
本题是过一点作已知直线垂线的作图题，解题思路如下：首先明确点P与直线AB的位置关系分为点在直线上、点在直线外两类，作图核心是利用三角板的直角构造90°角，通用步骤为：①将三角板的一条直角边与直线AB重合；②沿AB平移三角板，让三角板的另一条直角边经过点P；③沿着过点P的直角边画直线，与AB（或AB的延长线）交于垂足M，标注直角符号即可。网格作图时可借助网格的横竖格垂直特性，对齐格点画出垂线。
【解析】
分四种情况完成作图：
1. 图①：点P在直线AB外，将三角板的一条直角边与AB重合，平移三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交AB于M，标注直角符号，得到垂线PM；
2. 图②：点P在直线AB上，将三角板的直角顶点与点P重合，一条直角边与AB重合，沿另一条直角边画直线，标注直角符号，得到垂线PM；
3. 图③：点P在直线AB外，且垂足落在AB的延长线上，先延长AB，再将三角板的一条直角边与AB所在直线重合，平移三角板使另一条直角边过点P，沿该直角边画直线交AB的延长线于M，标注直角符号，得到垂线PM；
4. 图④：网格中作图，借助网格格点，画过P的直线与AB交于M，保证夹角为直角，标注直角符号，得到垂线PM。
所作图形如下：
【答案】
4. 如图①②③④，直线PM即为所求
【知识点】
垂线的画法；过点作已知直线的垂线；网格作图
【点评】
本题是基础的几何作图题，重点考查垂线的作图操作，需要注意区分点在直线上和点在直线外两种情况，若垂足落在直线的延长线上，要先延长直线再作图，完成作图后需标注直角符号保证作图规范。
【难度系数】
0.8
5 教材P175例2变式 如图，O是直线AB上一点，$∠ AOC=40°$，OD平分$∠ AOC$，$∠ COE=70°$。
（1）试说明$DO⊥ OE$。
（2）OE平分$∠ BOC$吗？请说明理由。
（1）试说明$DO⊥ OE$。
（2）OE平分$∠ BOC$吗？请说明理由。
答案
5.（1）因为OD平分$∠AOC,∠AOC=40°$,所以$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC=20°$. 因为$∠COE=70°$,所以$∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°$. 所以$DO⊥OE$
（2）OE平分$∠BOC$ 理由: 因为$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,∠AOC=40°$,$∠COE=70°$,所以$∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$. 所以$∠BOE=∠COE$. 所以OE平分$∠BOC$.
（2）OE平分$∠BOC$ 理由: 因为$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°,∠AOC=40°$,$∠COE=70°$,所以$∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$. 所以$∠BOE=∠COE$. 所以OE平分$∠BOC$.
解析
【分析】
（1）要证明$DO⊥OE$，核心是证明$∠DOE=90°$。首先利用角平分线的定义，由OD平分$∠AOC$求出$∠DOC$的度数，再与已知的$∠COE$求和，即可判断$∠DOE$是否为直角，进而得到垂直关系。
（2）要判断OE是否平分$∠BOC$，只需验证$∠BOE$与$∠COE$是否相等。结合直线AB对应的平角为$180°$，用平角度数减去已知的$∠AOC$和$∠COE$的度数，求出$∠BOE$的度数，再和$∠COE$比较即可得出结论。
【解析】
（1）已知OD平分$∠AOC$，$∠AOC=40°$，根据角平分线的定义可得：
$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$
又因为$∠COE=70°$，所以：
$∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°$
根据垂直的定义，可得$DO⊥OE$。
（2）OE平分$∠BOC$，理由如下：
因为O是直线AB上的点，根据平角的定义，$∠AOB=180°$，即$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°$。
将$∠AOC=40°$，$∠COE=70°$代入计算：
$∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$
可得$∠BOE=∠COE=70°$，根据角平分线的定义，可知OE平分$∠BOC$。
【答案】
（1）$DO⊥OE$；（2）OE平分$∠BOC$
【知识点】
角平分线的定义，垂直的判定，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查对几何基础定义的理解与应用，解题时需梳理清楚角之间的和差关系，按照逻辑顺序书写证明步骤即可。
【难度系数】
0.8
（1）要证明$DO⊥OE$，核心是证明$∠DOE=90°$。首先利用角平分线的定义，由OD平分$∠AOC$求出$∠DOC$的度数，再与已知的$∠COE$求和，即可判断$∠DOE$是否为直角，进而得到垂直关系。
（2）要判断OE是否平分$∠BOC$，只需验证$∠BOE$与$∠COE$是否相等。结合直线AB对应的平角为$180°$，用平角度数减去已知的$∠AOC$和$∠COE$的度数，求出$∠BOE$的度数，再和$∠COE$比较即可得出结论。
【解析】
（1）已知OD平分$∠AOC$，$∠AOC=40°$，根据角平分线的定义可得：
$∠DOC=\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}×40°=20°$
又因为$∠COE=70°$，所以：
$∠DOE=∠DOC+∠COE=20°+70°=90°$
根据垂直的定义，可得$DO⊥OE$。
（2）OE平分$∠BOC$，理由如下：
因为O是直线AB上的点，根据平角的定义，$∠AOB=180°$，即$∠AOC+∠COE+∠BOE=180°$。
将$∠AOC=40°$，$∠COE=70°$代入计算：
$∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=180°-40°-70°=70°$
可得$∠BOE=∠COE=70°$，根据角平分线的定义，可知OE平分$∠BOC$。
【答案】
（1）$DO⊥OE$；（2）OE平分$∠BOC$
【知识点】
角平分线的定义，垂直的判定，平角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题型，主要考查对几何基础定义的理解与应用，解题时需梳理清楚角之间的和差关系，按照逻辑顺序书写证明步骤即可。
【难度系数】
0.8
6 有下列说法:① 两条直线相交,交点叫作垂足;② 在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;③ 在同一平面内,一条直线有且只有一条垂线;④ 在同一平面内,一条线段有无数条垂线;⑤ 过一点不可能向一条射线或线段所在的直线作垂线;⑥ 若$a ⊥ b$,则a是b的垂线,b不是a的垂线.其中,正确的共有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
6.A
解析
【分析】
本题考查垂直与垂线的相关概念辨析，解题时需结合垂线的定义、性质，逐一判断每个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。判断的核心依据为：只有互相垂直的两条直线的交点才叫垂足；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直关系是相互的；线段、射线的垂线指的是其所在直线的垂线。
【解析】
我们逐个分析6个说法：
① 只有两条互相垂直的直线相交时，交点才叫作垂足，普通相交的直线交点不是垂足，故①错误；
② 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③ 在同一平面内，过不同的点都可以作已知直线的垂线，因此一条直线有无数条垂线，故③错误；
④ 线段的垂线是指与线段所在直线垂直的直线，同一平面内与一条直线垂直的直线有无数条，因此一条线段有无数条垂线，故④正确；
⑤ 过一点可以向一条射线或线段所在的直线作垂线，作射线、线段的垂线本质就是作其所在直线的垂线，故⑤错误；
⑥ 垂直是相互的，若$a⊥ b$，则a是b的垂线，b也是a的垂线，故⑥错误。
综上，正确的说法是②和④，共2个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线的定义；垂线的性质
【点评】
本题侧重对基础概念的理解考查，易错点在于混淆线段垂线的定义、忽略垂直关系的相互性，掌握垂直相关的核心概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题考查垂直与垂线的相关概念辨析，解题时需结合垂线的定义、性质，逐一判断每个说法的正误，最后统计正确说法的个数即可得到答案。判断的核心依据为：只有互相垂直的两条直线的交点才叫垂足；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；垂直关系是相互的；线段、射线的垂线指的是其所在直线的垂线。
【解析】
我们逐个分析6个说法：
① 只有两条互相垂直的直线相交时，交点才叫作垂足，普通相交的直线交点不是垂足，故①错误；
② 根据垂线的性质，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确；
③ 在同一平面内，过不同的点都可以作已知直线的垂线，因此一条直线有无数条垂线，故③错误；
④ 线段的垂线是指与线段所在直线垂直的直线，同一平面内与一条直线垂直的直线有无数条，因此一条线段有无数条垂线，故④正确；
⑤ 过一点可以向一条射线或线段所在的直线作垂线，作射线、线段的垂线本质就是作其所在直线的垂线，故⑤错误；
⑥ 垂直是相互的，若$a⊥ b$，则a是b的垂线，b也是a的垂线，故⑥错误。
综上，正确的说法是②和④，共2个，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂线的定义；垂线的性质
【点评】
本题侧重对基础概念的理解考查，易错点在于混淆线段垂线的定义、忽略垂直关系的相互性，掌握垂直相关的核心概念是解题的关键。
【难度系数】
0.7
