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【典例1】$x^2 + 4x + 1 = 0$. 变式.$x^2 - 3x - 2 = 0$.
答案
解:$x^{2}+4x+4=3$,
$(x+2)^{2}=3$,
$\therefore x=-2\pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_{1}=-2+\sqrt{3},x_{2}=-2-\sqrt{3}$.
变式.解:$x^{2}-3x+(\dfrac{3}{2})^{2}=2+(\dfrac{3}{2})^{2}$,
$(x-\dfrac{3}{2})^{2}=\dfrac{17}{4},x=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{17}}{2}$,
$x_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2},x_{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.
$(x+2)^{2}=3$,
$\therefore x=-2\pm\sqrt{3}$,
$\therefore x_{1}=-2+\sqrt{3},x_{2}=-2-\sqrt{3}$.
变式.解:$x^{2}-3x+(\dfrac{3}{2})^{2}=2+(\dfrac{3}{2})^{2}$,
$(x-\dfrac{3}{2})^{2}=\dfrac{17}{4},x=\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{\sqrt{17}}{2}$,
$x_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{\sqrt{17}}{2},x_{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{\sqrt{17}}{2}$.
【典例 2】$2x^2 + 1 = 3x$.
变式.$2x^2 + 4x = 3$.
变式.$2x^2 + 4x = 3$.
答案
【典例2】解:$x^{2}-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{2}=0$,
$x^{2}-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^{2}=\dfrac{1}{16}$,
$\therefore (x-\dfrac{3}{4})^{2}=\dfrac{1}{16},x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{1}{4}$,
$x_{1}=1,x_{2}=\dfrac{1}{2}$.
变式.解:$x^{2}+2x=\dfrac{3}{2}$,
$(x+1)^{2}=\dfrac{5}{2}$,
$x_{1}=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
$x^{2}-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^{2}=\dfrac{1}{16}$,
$\therefore (x-\dfrac{3}{4})^{2}=\dfrac{1}{16},x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{1}{4}$,
$x_{1}=1,x_{2}=\dfrac{1}{2}$.
变式.解:$x^{2}+2x=\dfrac{3}{2}$,
$(x+1)^{2}=\dfrac{5}{2}$,
$x_{1}=-1+\dfrac{\sqrt{10}}{2},x_{2}=-1-\dfrac{\sqrt{10}}{2}$.
【典例3】若$x^2 - 2(m - 3)x + 9$是一个多项式的平方，则$m=$
6 或 0
。答案
6 或 0
变式.若代数式$9x^2 + kxy + y^2$表示一个完全平方式，则k的值为（
A.6
B.$\pm 6$
C.$\pm 12$
D.12
B
）A.6
B.$\pm 6$
C.$\pm 12$
D.12
答案
B
【典例4】$x^2 + 4x - 1 = (x + \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_$，则多项式$x^2 + 4x - 1$的最小值为________。
答案
2 5 -5
变式 1. $-x^2 + 2x - 3 = -(x - \_\_\_\_\_\_)^2 - \_\_\_\_\_\_$,则多项式$-x^2 + 2x - 3$最大值为________.
答案
1 2 -2
变式2.设$x$、$y$为实数，求代数式$x^2+y^2+2x-4y+7$的最小值.
答案
解:$x^{2}+y^{2}+2x-4y+7$
$=x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4+2$
$=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+2$.
当$x=-1,y=2$时，
原式的最小值为2.
$=x^{2}+2x+1+y^{2}-4y+4+2$
$=(x+1)^{2}+(y-2)^{2}+2$.
当$x=-1,y=2$时，
原式的最小值为2.
【典例5】已知多项式$P=a^2+1, Q=6a-9$,比较$P$与$Q$的大小.
答案
解:$P-Q=a^{2}-6a+10=(a-3)^{2}+1＞0,\therefore P＞Q$.
变式.已知多项式$M=10x^2+y^2-7x+8,N=x^2+y^2+5x+1$,则$M$与$N$的大小关系为（
A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M≥ N$
D.不确定
A
）A.$M＞N$
B.$M=N$
C.$M≥ N$
D.不确定
答案
A
