【典例1】$\frac{1}{2}x^2 - mx + m - \frac{1}{2}=0$. 变式.$\frac{1}{2}x^2 - mx + m -4=0$.

解:$\Delta =m^2 -4× \frac{1}{2}(m-\frac{1}{2})$
$=(m-1)^2≥0$,
$\therefore$原方程有实数根.
变式.解:$\Delta =m^2 -4× \frac{1}{2}(m-4)=(m-1)^2+7＞0$,
$\therefore$原方程有两个不相等的实数根.

【典例2】关于$x$的一元二次方程$x^2 + 3x + m = 0$的两根为有理数，且$m$为非负整数，则$m$的值为()

A.2
B.0或2
C.2或$-10$
D.0

B

变式1.已知关于$x$的方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$满足$a + b + c = 0$且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是()

A.$a = c$
B.$a = b$
C.$b = c$
D.$a = b = c$

A

变式2.关于$x$的一元二次方程$(m^2 -1)x^2 +2(m-1)x +1=0$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是()

A.$m＜1$
B.$m＜-1$
C.$m＞1$
D.$m＜1$且$m≠-1$

解:$\Delta =[2(m-1)]^2 -4(m^2-1)=-8m+8＞0$,
$\therefore m＜1$,又$m^2-1≠0$,
$\therefore m≠\pm1$.
$\therefore m＜1$且$m≠-1$时,符合题意.

变式3.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有一个实数根为$t$，则$\Delta =b^2-4ac$与$m=(2at+b)^2$之间的大小关系是()

A.$\Delta =m$
B.$\Delta ＞m$
C.$\Delta ＜m$
D.大小关系不能确定

A

【解析】
已知$t$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的实数根，因此将$x=t$代入方程可得：
$at^2+bt+c=0$
对该式变形，移项得$at^2+bt=-c$。
将$m=(2at+b)^2$展开：
$m=(2at+b)^2=4a^2t^2+4abt+b^2$
对展开式提取公因式$4a$，可得：
$m=4a(at^2+bt)+b^2$
把$at^2+bt=-c$代入上式：
$m=4a·(-c)+b^2=b^2-4ac$
而一元二次方程的判别式$\Delta=b^2-4ac$，因此$\Delta=m$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义；完全平方公式；一元二次方程判别式
【点评】
本题通过方程根的性质对代数式进行代换变形，核心是利用根满足方程的条件，将待比较的$m$展开后整体代入化简，避免了复杂的分类讨论，侧重考查代数式恒等变形的能力。
【难度系数】
0.6

【典例3】若关于$x$的方程$(a-1)x^2+3x-2=0$有实数根，则$a$的取值范围是（）

A.$a＞-\dfrac{1}{8}$
B.$a≥-\dfrac{1}{8}$
C.$a＞\dfrac{1}{8}$且$a≠1$
D.$a≥-\dfrac{1}{8}$且$a≠1$

B

变式.关于$x$的方程$(m^2 - 3)x^2 + 7mx + 9 = 0$只有一个实数根,求$m$的值或取值范围.

解:①当$m^2-3≠0$时,
$\Delta=13m^2+108＞0$,有两个不相等实数根;
②当$m^2-3=0$时,$m=\pm\sqrt{3}$,方程只有一个实数根.
综上,$m=\pm\sqrt{3}$.