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1.关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0,a≠c)$，且$b=a+c$，则此方程根的情况是(
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
C
)A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
答案
C
解:$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2＞0.$
解:$\Delta=b^2-4ac=(a+c)^2-4ac=(a-c)^2＞0.$
2.若关于x的一元二次方程$(m-2)x^2+2x+1=0$有实数根，则m的取值范围是（
A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m≤3$且$m≠2$
D
）A.$m≤3$
B.$m＜3$
C.$m＜3$且$m≠2$
D.$m≤3$且$m≠2$
答案
D
3.(教材P28T5变式)已知关于x的一元二次方程$kx^2 -4kx +k -5=0$有两个相等的实数根，求k的值.
答案
解:$\Delta=(4k)^2-4k(k-5)=12k^2+20k=0,$
得$k_1=0$(舍去),
$k_2=-\dfrac{5}{3}.$
得$k_1=0$(舍去),
$k_2=-\dfrac{5}{3}.$
4.(教材 P18T10 变式)求证:无论 p 取何值,方程$(x-3)(x-2)=p^2$总有两个不相等的实数根.
答案
证明:$x^2-5x+6-p^2=0,$
$\Delta=(-5)^2-4(6-p^2)=1+4p^2＞0,$
$\therefore$方程$(x-3)(x-2)=p^2$总有两个不相等的实数根.
$\Delta=(-5)^2-4(6-p^2)=1+4p^2＞0,$
$\therefore$方程$(x-3)(x-2)=p^2$总有两个不相等的实数根.
5.(2025·重庆)若$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$a,b,c$为三角形的三边，判断关于$x$的方程$ax^2 - \sqrt{2}cx + b = 0$的根的情况.
答案
解:依题意知$a^2+b^2=c^2,$
$\Delta=2c^2-4ab=2(c^2-2ab)=2(a-b)^2≥0,$
$\therefore$方程有实数根.
$\Delta=2c^2-4ab=2(c^2-2ab)=2(a-b)^2≥0,$
$\therefore$方程有实数根.
6.在$△ ABC$中，$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三边，关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 - 2bx -a +c=0$有两个相等实数根，判断$△ ABC$的形状.
答案
解:$\Delta=(-2b)^2-4(a+c)(-a+c)=0,$
$c^2=a^2+b^2,$
$\therefore∠ C=90°,即△ ABC为直角三角形.$
$c^2=a^2+b^2,$
$\therefore∠ C=90°,即△ ABC为直角三角形.$
