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1. 函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$中自变量$x$的取值范围是（
A.$x≥1$且$x≠3$
B.$x≥1$
C.$x≠3$
D.$x＞1$且$x≠3$
A
）A.$x≥1$且$x≠3$
B.$x≥1$
C.$x≠3$
D.$x＞1$且$x≠3$
答案
1.A
解析
【分析】
求解函数自变量的取值范围，需先观察函数表达式的结构，找出所有有取值限制的部分。本题中函数包含二次根式和分式，首先回忆相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义；分式的分母不能为0，否则分式无意义。我们需要分别列出满足这两个要求的不等式，再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义：被开方数$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式有意义：分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个条件结合，自变量$x$的取值范围为$x≥1$且$x≠3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，函数自变量取值范围
【点评】
本题是考查函数自变量取值范围的基础题，解题关键是全面考虑函数中包含的所有运算的限制要求，不要遗漏分母不为0的条件。
【难度系数】
0.8
求解函数自变量的取值范围，需先观察函数表达式的结构，找出所有有取值限制的部分。本题中函数包含二次根式和分式，首先回忆相关性质：二次根式的被开方数必须是非负数，否则根式无意义；分式的分母不能为0，否则分式无意义。我们需要分别列出满足这两个要求的不等式，再取两个解集的公共部分，就能得到x的取值范围。
【解析】
要使函数$y=\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$有意义，需同时满足以下两个条件：
1. 二次根式有意义：被开方数$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式有意义：分母$x-3≠0$，解得$x≠3$。
将两个条件结合，自变量$x$的取值范围为$x≥1$且$x≠3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，函数自变量取值范围
【点评】
本题是考查函数自变量取值范围的基础题，解题关键是全面考虑函数中包含的所有运算的限制要求，不要遗漏分母不为0的条件。
【难度系数】
0.8
2.某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程(工作前洗衣机内无水),在这三个过程中洗衣机内水量y(升)与时间x(分)之间的函数关系对应的图象大致为 (
D
)答案
2.D
解析
【分析】
解决这类实际问题对应函数图象的题目，可按两步思考：第一步先看初始状态，本题明确说明工作前洗衣机无水，也就是时间x=0时，水量y=0，可先排除不符合初始条件的选项；第二步再拆分每个阶段的变量变化趋势：注水阶段是往洗衣机里加水，水量随时间增加而上升；清洗阶段水量保持不变，对应水平线段；排水阶段是往外排水，水量随时间增加下降，直到排空为0，结合各阶段的变化特征进一步排除错误选项即可。
【解析】
1. 首先根据“工作前洗衣机内无水”的条件，可知x=0时y=0，选项A、B的起点y值大于0，不符合初始状态，排除A、B；
2. 分析三个过程的水量变化：
注水阶段：水量随时间增加而增大，图象为上升的线段；
清洗阶段：水量保持恒定，图象为水平线段；
排水阶段：水量随时间增加而减小，最终排空（y=0），图象为下降到x轴的线段；
3. 剩余选项中，C的最后一段为上升线段，不符合排水阶段水量下降的特征，排除C；选项D完全符合所有阶段的变化特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别；实际问题的函数关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是结合生活场景梳理清楚自变量和因变量的变化趋势，利用排除法可以快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
解决这类实际问题对应函数图象的题目，可按两步思考：第一步先看初始状态，本题明确说明工作前洗衣机无水，也就是时间x=0时，水量y=0，可先排除不符合初始条件的选项；第二步再拆分每个阶段的变量变化趋势：注水阶段是往洗衣机里加水，水量随时间增加而上升；清洗阶段水量保持不变，对应水平线段；排水阶段是往外排水，水量随时间增加下降，直到排空为0，结合各阶段的变化特征进一步排除错误选项即可。
【解析】
1. 首先根据“工作前洗衣机内无水”的条件，可知x=0时y=0，选项A、B的起点y值大于0，不符合初始状态，排除A、B；
2. 分析三个过程的水量变化：
注水阶段：水量随时间增加而增大，图象为上升的线段；
清洗阶段：水量保持恒定，图象为水平线段；
排水阶段：水量随时间增加而减小，最终排空（y=0），图象为下降到x轴的线段；
3. 剩余选项中，C的最后一段为上升线段，不符合排水阶段水量下降的特征，排除C；选项D完全符合所有阶段的变化特征。
【答案】
D
【知识点】
函数图象识别；实际问题的函数关系
【点评】
本题属于基础应用题，解题核心是结合生活场景梳理清楚自变量和因变量的变化趋势，利用排除法可以快速锁定正确答案。
【难度系数】
0.8
3.匀速地向一个容器内注水,最后把容器注满.在注水过程中,水面高度h随时间t的变化规律如图1所示(图中OABC为一折线),这个容器的形状是图中的 (
A
B
C D
C
)A
B
C D
答案
3.C
解析
【分析】
首先明确注水是匀速的，即单位时间内注入容器的水的体积固定。水面高度h随时间t的变化快慢由h-t图像的斜率体现：斜率越大，相同时间内水面上升越高，对应容器该部分的横截面积越小（因为注入水的体积=横截面积×水面上升高度，体积相同时，高度变化越大，横截面积越小）。观察折线OABC的三段斜率：OA段斜率中等，AB段斜率最小，BC段斜率最大，对应容器从下到上的横截面积为下部中等、中部最大、上部最小，据此匹配容器形状即可。
【解析】
由于匀速注水，单位时间的注水量是固定值。
设单位时间注水量为$ V_0 $，容器某位置横截面积为$ S $，$ \Delta t $时间内水面上升高度为$ \Delta h $，可得$ V_0 · \Delta t = S · \Delta h $，变形得$ \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{V_0}{S} $，即h-t图像的斜率和容器对应位置的横截面积成反比：斜率越大，横截面积越小。
结合图像分析：
1. AB段斜率最小，说明容器中部横截面积最大，水面上升最慢；
2. BC段斜率最大，说明容器上部横截面积最小，水面上升最快；
3. OA段斜率介于AB段和BC段之间，说明容器下部横截面积介于中部和上部之间。
对比四个选项，只有选项C的容器符合“下部中等粗、中部最粗、上部最细”的特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图像的实际应用，体积计算公式
【点评】
本题需要结合实际场景分析函数图像的含义，解题核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，属于和生活场景结合的基础应用题，能很好地考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
首先明确注水是匀速的，即单位时间内注入容器的水的体积固定。水面高度h随时间t的变化快慢由h-t图像的斜率体现：斜率越大，相同时间内水面上升越高，对应容器该部分的横截面积越小（因为注入水的体积=横截面积×水面上升高度，体积相同时，高度变化越大，横截面积越小）。观察折线OABC的三段斜率：OA段斜率中等，AB段斜率最小，BC段斜率最大，对应容器从下到上的横截面积为下部中等、中部最大、上部最小，据此匹配容器形状即可。
【解析】
由于匀速注水，单位时间的注水量是固定值。
设单位时间注水量为$ V_0 $，容器某位置横截面积为$ S $，$ \Delta t $时间内水面上升高度为$ \Delta h $，可得$ V_0 · \Delta t = S · \Delta h $，变形得$ \frac{\Delta h}{\Delta t} = \frac{V_0}{S} $，即h-t图像的斜率和容器对应位置的横截面积成反比：斜率越大，横截面积越小。
结合图像分析：
1. AB段斜率最小，说明容器中部横截面积最大，水面上升最慢；
2. BC段斜率最大，说明容器上部横截面积最小，水面上升最快；
3. OA段斜率介于AB段和BC段之间，说明容器下部横截面积介于中部和上部之间。
对比四个选项，只有选项C的容器符合“下部中等粗、中部最粗、上部最细”的特征。
【答案】
C
【知识点】
函数图像的实际应用，体积计算公式
【点评】
本题需要结合实际场景分析函数图像的含义，解题核心是建立图像斜率和容器横截面积的对应关系，属于和生活场景结合的基础应用题，能很好地考查学生的数形结合能力。
【难度系数】
0.7
4. 下列各点在函数$y=2x-1$的图象上的是（
A.$(1,-2)$
B.$(-2.5,-6)$
C.$(-100,-103)$
D.$(2,1)$
B
）A.$(1,-2)$
B.$(-2.5,-6)$
C.$(-100,-103)$
D.$(2,1)$
答案
4.B
解析
【分析】
要判断点是否在函数图象上，依据是函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式。解题时只需将每个选项中点的横坐标x代入函数$y=2x-1$，计算出对应的y值，再和该点的纵坐标比较：若二者相等则点在函数图象上，反之则不在，依次验证四个选项即可得出答案。
【解析】
判断点是否在函数$y=2x-1$的图象上，将点的横坐标代入解析式，验证计算结果与点的纵坐标是否相等即可：
1. 验证选项A：当$x=1$时，$y=2×1 -1=1≠-2$，因此点$(1,-2)$不在函数图象上；
2. 验证选项B：当$x=-2.5$时，$y=2×(-2.5) -1=-5-1=-6$，与点的纵坐标相等，因此点$(-2.5,-6)$在函数图象上；
3. 验证选项C：当$x=-100$时，$y=2×(-100) -1=-201≠-103$，因此点$(-100,-103)$不在函数图象上；
4. 验证选项D：当$x=2$时，$y=2×2 -1=3≠1$，因此点$(2,1)$不在函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点在函数图象上的判断方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速解题，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.8
要判断点是否在函数图象上，依据是函数图象上的点的坐标一定满足对应的函数解析式。解题时只需将每个选项中点的横坐标x代入函数$y=2x-1$，计算出对应的y值，再和该点的纵坐标比较：若二者相等则点在函数图象上，反之则不在，依次验证四个选项即可得出答案。
【解析】
判断点是否在函数$y=2x-1$的图象上，将点的横坐标代入解析式，验证计算结果与点的纵坐标是否相等即可：
1. 验证选项A：当$x=1$时，$y=2×1 -1=1≠-2$，因此点$(1,-2)$不在函数图象上；
2. 验证选项B：当$x=-2.5$时，$y=2×(-2.5) -1=-5-1=-6$，与点的纵坐标相等，因此点$(-2.5,-6)$在函数图象上；
3. 验证选项C：当$x=-100$时，$y=2×(-100) -1=-201≠-103$，因此点$(-100,-103)$不在函数图象上；
4. 验证选项D：当$x=2$时，$y=2×2 -1=3≠1$，因此点$(2,1)$不在函数图象上。
【答案】
B
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题型，核心考查点在函数图象上的判断方法，熟练掌握代入验证的思路即可快速解题，计算时注意符号问题避免出错。
【难度系数】
0.8
5.“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场.图2中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事(x表示乌龟从起点出发所用的时间，$y_1$表示乌龟所行的路程，$y_2$表示兔子所行的路程).回答下列问题：
(1)“龟兔再次赛跑”的路程为
(2)兔子和乌龟
(3)乌龟在途中休息了
(4)
(1)“龟兔再次赛跑”的路程为
1 000
米；(2)兔子和乌龟
不是
（填“是”或“不是”）同时从起点出发；若不是，它们相差40
分钟；(3)乌龟在途中休息了
10
分钟；(4)
兔子
先到终点，比另一位参赛者早10
分钟.答案
5.(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
解析
【分析】
解答本题首先要明确函数图象的横纵轴含义：横轴x表示乌龟从起点出发的时间，纵轴y表示行驶的路程。解题时逐问结合图象特征分析：①总路程看纵轴的最大值；②出发时间看两条路程线的起点横坐标，横坐标差就是出发时间差；③休息时路程不变，对应图象的水平段，水平段对应的横轴差就是休息时长；④到达终点的时间看路程达到最大值时对应的横坐标，横坐标越小到达越早，二者的差就是早到的时间。
【解析】
(1) 观察图象可知，乌龟和兔子最终行驶的最大路程均为1000米，因此“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
(2) 乌龟的路程线$y_1$从$x=0$时就开始上升，说明乌龟在0分钟就出发；兔子的路程线$y_2$从$x=40$时才开始上升，说明兔子在乌龟出发40分钟后才出发，因此二者不是同时从起点出发，相差40分钟；
(3) 乌龟的路程线$y_1$在$30≤ x≤40$的区间内，路程始终为600米保持不变，说明这段时间乌龟在休息，休息时长为$40-30=10$分钟；
(4) 兔子在$x=50$分钟时路程达到1000米到达终点，乌龟在$x=60$分钟时路程达到1000米到达终点，$50＜60$，因此兔子先到终点，早到的时长为$60-50=10$分钟。
【答案】
(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
【知识点】
函数图象分析，行程问题
【点评】
本题属于基础的函数图象实际应用题，核心是读懂图象中特殊点、特殊线段的实际意义，结合行程的基本常识即可快速解题，是考察函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确函数图象的横纵轴含义：横轴x表示乌龟从起点出发的时间，纵轴y表示行驶的路程。解题时逐问结合图象特征分析：①总路程看纵轴的最大值；②出发时间看两条路程线的起点横坐标，横坐标差就是出发时间差；③休息时路程不变，对应图象的水平段，水平段对应的横轴差就是休息时长；④到达终点的时间看路程达到最大值时对应的横坐标，横坐标越小到达越早，二者的差就是早到的时间。
【解析】
(1) 观察图象可知，乌龟和兔子最终行驶的最大路程均为1000米，因此“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；
(2) 乌龟的路程线$y_1$从$x=0$时就开始上升，说明乌龟在0分钟就出发；兔子的路程线$y_2$从$x=40$时才开始上升，说明兔子在乌龟出发40分钟后才出发，因此二者不是同时从起点出发，相差40分钟；
(3) 乌龟的路程线$y_1$在$30≤ x≤40$的区间内，路程始终为600米保持不变，说明这段时间乌龟在休息，休息时长为$40-30=10$分钟；
(4) 兔子在$x=50$分钟时路程达到1000米到达终点，乌龟在$x=60$分钟时路程达到1000米到达终点，$50＜60$，因此兔子先到终点，早到的时长为$60-50=10$分钟。
【答案】
(1)1 000 (2)不是 40 (3)10 (4)兔子 10
【知识点】
函数图象分析，行程问题
【点评】
本题属于基础的函数图象实际应用题，核心是读懂图象中特殊点、特殊线段的实际意义，结合行程的基本常识即可快速解题，是考察函数实际应用的常见题型。
【难度系数】
0.8
6.某汽车油箱中能盛油50 L，汽车每行驶40 km耗油6 L，加满油后，油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶路程x (km)之间的函数解析式是
$y=50-\frac{3}{20}x$
，自变量x的取值范围是$0≤x≤\frac{1\ 000}{3}$
。答案
6.$y=50-\frac{3}{20}x$ $0≤x≤\frac{1\ 000}{3}$
解析
【分析】
解题时首先要明确数量关系：油箱剩余油量=油箱总盛油量-行驶过程中消耗的油量。第一步先计算汽车每行驶1km的耗油量，再根据数量关系列出函数解析式；接下来确定自变量x的取值范围，要结合实际意义：行驶路程不能为负数，同时油箱剩余油量也不能为负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 列函数解析式：
已知汽车每行驶40km耗油6L，则每行驶1km的耗油量为$\frac{6}{40}=\frac{3}{20}$（L）。
行驶$x$km的总耗油量为$\frac{3}{20}x$ L，油箱总油量为50L，因此剩余油量$y=50-\frac{3}{20}x$。
2. 求自变量x的取值范围：
① 行驶路程不能为负数，因此$x≥0$；
② 油箱剩余油量不能为负数，因此$y≥0$，即$50-\frac{3}{20}x≥0$，
解不等式：$\frac{3}{20}x≤50$，得$x≤\frac{1000}{3}$。
综上，自变量x的取值范围是$0≤ x≤\frac{1000}{3}$。
【答案】
$y=50-\frac{3}{20}x$；$0≤ x≤\frac{1000}{3}$
【知识点】
列一次函数解析式；自变量取值范围确定；不等式的实际应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的常见基础题型，解题核心是理清实际问题中的数量关系，需要特别注意自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数量关系：油箱剩余油量=油箱总盛油量-行驶过程中消耗的油量。第一步先计算汽车每行驶1km的耗油量，再根据数量关系列出函数解析式；接下来确定自变量x的取值范围，要结合实际意义：行驶路程不能为负数，同时油箱剩余油量也不能为负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围。
【解析】
1. 列函数解析式：
已知汽车每行驶40km耗油6L，则每行驶1km的耗油量为$\frac{6}{40}=\frac{3}{20}$（L）。
行驶$x$km的总耗油量为$\frac{3}{20}x$ L，油箱总油量为50L，因此剩余油量$y=50-\frac{3}{20}x$。
2. 求自变量x的取值范围：
① 行驶路程不能为负数，因此$x≥0$；
② 油箱剩余油量不能为负数，因此$y≥0$，即$50-\frac{3}{20}x≥0$，
解不等式：$\frac{3}{20}x≤50$，得$x≤\frac{1000}{3}$。
综上，自变量x的取值范围是$0≤ x≤\frac{1000}{3}$。
【答案】
$y=50-\frac{3}{20}x$；$0≤ x≤\frac{1000}{3}$
【知识点】
列一次函数解析式；自变量取值范围确定；不等式的实际应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的常见基础题型，解题核心是理清实际问题中的数量关系，需要特别注意自变量的取值范围不仅要满足代数式有意义，还要符合实际场景的限制条件。
【难度系数】
0.7
