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1. 下列方程中,不能用直接开平方法求解的是 （
A.$x^2 -3=0$
B.$x^2 +2x=0$
C.$(x-1)^2 -4=0$
D.$(x-1)^2=(2x+1)^2$
B
）A.$x^2 -3=0$
B.$x^2 +2x=0$
C.$(x-1)^2 -4=0$
D.$(x-1)^2=(2x+1)^2$
答案
1.B
解析
【分析】
首先明确直接开平方法的适用条件：一元二次方程能整理为“含未知数的式子的平方等于非负常数”，或者“两个含未知数的式子的平方相等”的形式时，就可以用直接开平方法求解。接下来我们逐一判断四个选项的方程是否符合上述适用条件，即可选出正确答案。
【解析】
直接开平方法适用于可化为$a^2=p$（$p≥0$）或$(a)^2=(b)^2$形式的一元二次方程，逐个分析选项：
1. 选项A：对$x^2-3=0$移项可得$x^2=3$，符合$a^2=p$（$p=3≥0$）的形式，可用直接开平方法求解；
2. 选项B：$x^2+2x=0$的左侧不是完全平方式，也无法整理为$a^2=p$或$(a)^2=(b)^2$的形式，不能用直接开平方法求解；
3. 选项C：对$(x-1)^2-4=0$移项可得$(x-1)^2=4$，符合$a^2=p$（$p=4≥0$）的形式，可用直接开平方法求解；
4. 选项D：$(x-1)^2=(2x+1)^2$符合$(a)^2=(b)^2$的形式，可用直接开平方法求解。
综上，不能用直接开平方法求解的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法
2.一元二次方程求解
3.完全平方式识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握直接开平方法的适用范围，只要牢记对应方程的特征，逐一排查选项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
首先明确直接开平方法的适用条件：一元二次方程能整理为“含未知数的式子的平方等于非负常数”，或者“两个含未知数的式子的平方相等”的形式时，就可以用直接开平方法求解。接下来我们逐一判断四个选项的方程是否符合上述适用条件，即可选出正确答案。
【解析】
直接开平方法适用于可化为$a^2=p$（$p≥0$）或$(a)^2=(b)^2$形式的一元二次方程，逐个分析选项：
1. 选项A：对$x^2-3=0$移项可得$x^2=3$，符合$a^2=p$（$p=3≥0$）的形式，可用直接开平方法求解；
2. 选项B：$x^2+2x=0$的左侧不是完全平方式，也无法整理为$a^2=p$或$(a)^2=(b)^2$的形式，不能用直接开平方法求解；
3. 选项C：对$(x-1)^2-4=0$移项可得$(x-1)^2=4$，符合$a^2=p$（$p=4≥0$）的形式，可用直接开平方法求解；
4. 选项D：$(x-1)^2=(2x+1)^2$符合$(a)^2=(b)^2$的形式，可用直接开平方法求解。
综上，不能用直接开平方法求解的是选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.直接开平方法
2.一元二次方程求解
3.完全平方式识别
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握直接开平方法的适用范围，只要牢记对应方程的特征，逐一排查选项即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
2.已知两个方程$(x-4)^2=9$①，$(x+9)^2=-4$②.关于这两个方程的解的情况,正确的是 (
A.①有两个不相同的解,②无解
B.①②都有两个不相同的解
C.①有两个相同的解,②无解
D.①有两个相同的解,②有两个不相同的解
A
)A.①有两个不相同的解,②无解
B.①②都有两个不相同的解
C.①有两个相同的解,②无解
D.①有两个相同的解,②有两个不相同的解
答案
2.A
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法判断一元二次方程解的情况，解题思路如下：首先明确平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即对于形如$a^2 = k$的等式，当$k＞0$时，$a$有两个不相等的取值；当$k=0$时，$a$只有一个取值（对应方程两个相等的解）；当$k＜0$时，没有实数$a$满足等式。接下来分别观察两个方程等号右侧的常数符号，即可分别判断两个方程的解的情况。
【解析】
1. 判断方程①的解的情况：
方程为$(x-4)^2=9$，右侧$9＞0$，根据直接开平方法可得：
$x-4 = \pm3$
即$x-4=3$或$x-4=-3$，解得$x_1=7$，$x_2=1$，因此①有两个不相同的解。
2. 判断方程②的解的情况：
方程为$(x+9)^2=-4$，右侧$-4＜0$，由于任意实数的平方都为非负数，不可能等于负数，因此②没有实数解。
综上，①有两个不相同的解，②无解，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合平方的非负性，运用直接开平方法快速判断一元二次方程根的情况，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法判断一元二次方程解的情况，解题思路如下：首先明确平方的性质：任意实数的平方都是非负数，即对于形如$a^2 = k$的等式，当$k＞0$时，$a$有两个不相等的取值；当$k=0$时，$a$只有一个取值（对应方程两个相等的解）；当$k＜0$时，没有实数$a$满足等式。接下来分别观察两个方程等号右侧的常数符号，即可分别判断两个方程的解的情况。
【解析】
1. 判断方程①的解的情况：
方程为$(x-4)^2=9$，右侧$9＞0$，根据直接开平方法可得：
$x-4 = \pm3$
即$x-4=3$或$x-4=-3$，解得$x_1=7$，$x_2=1$，因此①有两个不相同的解。
2. 判断方程②的解的情况：
方程为$(x+9)^2=-4$，右侧$-4＜0$，由于任意实数的平方都为非负数，不可能等于负数，因此②没有实数解。
综上，①有两个不相同的解，②无解，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合平方的非负性，运用直接开平方法快速判断一元二次方程根的情况，熟练掌握相关性质即可快速作答。
【难度系数】
0.9
3.若关于$x$的一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，则$c$的值可以为
1(答案不唯一,任意一个非负数皆可)
.(写出一个即可)答案
3.1(答案不唯一,任意一个非负数皆可)
解析
【分析】
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方均为非负数。本题中方程左边是$(x+3)^2$，x为实数时x+3也是实数，因此左边的取值范围是大于等于0。要使方程有实数根，等号右边的c需要满足大于等于0的要求，因此只需写出任意一个非负数即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，
∴ 对于实数x，有$(x+3)^2 ≥ 0$，
要使一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，则需满足$c ≥ 0$，
因此c可取任意非负实数，例如1。
【答案】
1(答案不唯一,任意一个非负数皆可)
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题，主要考查直接开平方法解方程的前提条件，牢记平方数的非负性即可快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆平方的性质：任意实数的平方均为非负数。本题中方程左边是$(x+3)^2$，x为实数时x+3也是实数，因此左边的取值范围是大于等于0。要使方程有实数根，等号右边的c需要满足大于等于0的要求，因此只需写出任意一个非负数即可。
【解析】
解：
∵ 任意实数的平方都是非负数，
∴ 对于实数x，有$(x+3)^2 ≥ 0$，
要使一元二次方程$(x+3)^2 = c$有实数根，则需满足$c ≥ 0$，
因此c可取任意非负实数，例如1。
【答案】
1(答案不唯一,任意一个非负数皆可)
【知识点】
1. 平方的非负性
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是基础题，主要考查直接开平方法解方程的前提条件，牢记平方数的非负性即可快速解答。
【难度系数】
0.9
4.关于$x$的一元二次方程$mx^2 + mx = 3x + 12$中不含$x$的一次项，则此方程的解为
$x_1=2,x_2=-2$
答案
4.$x_1=2,x_2=-2$
解析
【分析】
解题时首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据“不含x的一次项”可知一次项系数为0，结合一元二次方程二次项系数不为0的要求求出m的值，再将m代入方程，用直接开平方法求解即可。
【解析】
第一步：整理方程为一般形式
将方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项得：
$mx^2 + (m-3)x - 12 = 0$
第二步：根据条件求m的值
∵ 方程是一元二次方程，
∴ $m≠0$
又
∵ 方程不含x的一次项，
∴ 一次项系数$m-3=0$，解得$m=3$
第三步：代入m解方程
将$m=3$代入整理后的方程得：$3x^2 - 12 = 0$
移项得：$3x^2=12$
两边同时除以3得：$x^2=4$
直接开平方得：$x=±2$
即$x_1=2$，$x_2=-2$
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题核心是理解“不含某一项即该项系数为0”的规则，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，掌握直接开平方法的运算规则即可顺利解题，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据“不含x的一次项”可知一次项系数为0，结合一元二次方程二次项系数不为0的要求求出m的值，再将m代入方程，用直接开平方法求解即可。
【解析】
第一步：整理方程为一般形式
将方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项得：
$mx^2 + (m-3)x - 12 = 0$
第二步：根据条件求m的值
∵ 方程是一元二次方程，
∴ $m≠0$
又
∵ 方程不含x的一次项，
∴ 一次项系数$m-3=0$，解得$m=3$
第三步：代入m解方程
将$m=3$代入整理后的方程得：$3x^2 - 12 = 0$
移项得：$3x^2=12$
两边同时除以3得：$x^2=4$
直接开平方得：$x=±2$
即$x_1=2$，$x_2=-2$
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的项与系数；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题核心是理解“不含某一项即该项系数为0”的规则，解题时要注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含前提，掌握直接开平方法的运算规则即可顺利解题，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
5.用直接开平方法解下列方程：
(1)$x^2=5$；
(2)$x^2 -5=\frac{4}{9}$；
(3)$(x-1)^2 -4=0$；
(4)$(x-1)(x+1)=1$；
(5)$x^2 -2x=49 -2x$；
(6)$(3x-1)^2=1.96$。
(1)$x^2=5$；
(2)$x^2 -5=\frac{4}{9}$；
(3)$(x-1)^2 -4=0$；
(4)$(x-1)(x+1)=1$；
(5)$x^2 -2x=49 -2x$；
(6)$(3x-1)^2=1.96$。
答案
5.(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2)$x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5)$x_1=7,x_2=-7$
(6)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
(2)$x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5)$x_1=7,x_2=-7$
(6)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
解析
【分析】
直接开平方法适用于形如$x^2=p$或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，解题核心思路是先将原方程整理为“左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数”的形式，再根据平方根的性质对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
各小题整理思路：(1)已是$x^2=p$的标准形式，直接开平方；(2)将常数项移到右侧合并，得到$x^2=p$形式；(3)将常数项移到右侧，得到$(x-1)^2=p$形式；(4)先用平方差公式展开左侧，移项合并得到$x^2=p$形式；(5)消去两侧相同的$-2x$项，得到$x^2=p$形式；(6)已是$(ax+b)^2=p$的标准形式，直接开平方。
【解析】
(1) 解：两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2) 解：移项合并同类项，得$x^2=5+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$
两边开平方，得$x=\pm\frac{7}{3}$
$\therefore x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3) 解：移项，得$(x-1)^2=4$
两边开平方，得$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3,x_2=-1$
(4) 解：左边利用平方差公式展开，得$x^2-1=1$
移项合并同类项，得$x^2=2$
两边开平方，得$x=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5) 解：两边同时加$2x$，得$x^2=49$
两边开平方，得$x=\pm7$
$\therefore x_1=7,x_2=-7$
(6) 解：两边开平方，得$3x-1=\pm1.4$
即$3x-1=1.4$或$3x-1=-1.4$
当$3x-1=1.4$时，$3x=2.4$，解得$x=\frac{4}{5}$
当$3x-1=-1.4$时，$3x=-0.4$，解得$x=-\frac{2}{15}$
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2)$x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5)$x_1=7,x_2=-7$
(6)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 整式化简运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是先将方程转化为直接开平方法的标准形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
直接开平方法适用于形如$x^2=p$或$(ax+b)^2=p$（$p≥0$）的一元二次方程，解题核心思路是先将原方程整理为“左边是含未知数的完全平方式，右边为非负常数”的形式，再根据平方根的性质对两边同时开平方，转化为两个一元一次方程求解，注意开平方时正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解。
各小题整理思路：(1)已是$x^2=p$的标准形式，直接开平方；(2)将常数项移到右侧合并，得到$x^2=p$形式；(3)将常数项移到右侧，得到$(x-1)^2=p$形式；(4)先用平方差公式展开左侧，移项合并得到$x^2=p$形式；(5)消去两侧相同的$-2x$项，得到$x^2=p$形式；(6)已是$(ax+b)^2=p$的标准形式，直接开平方。
【解析】
(1) 解：两边直接开平方，得$x=\pm\sqrt{5}$
$\therefore x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2) 解：移项合并同类项，得$x^2=5+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$
两边开平方，得$x=\pm\frac{7}{3}$
$\therefore x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3) 解：移项，得$(x-1)^2=4$
两边开平方，得$x-1=\pm2$
即$x-1=2$或$x-1=-2$
解得$x_1=3,x_2=-1$
(4) 解：左边利用平方差公式展开，得$x^2-1=1$
移项合并同类项，得$x^2=2$
两边开平方，得$x=\pm\sqrt{2}$
$\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5) 解：两边同时加$2x$，得$x^2=49$
两边开平方，得$x=\pm7$
$\therefore x_1=7,x_2=-7$
(6) 解：两边开平方，得$3x-1=\pm1.4$
即$3x-1=1.4$或$3x-1=-1.4$
当$3x-1=1.4$时，$3x=2.4$，解得$x=\frac{4}{5}$
当$3x-1=-1.4$时，$3x=-0.4$，解得$x=-\frac{2}{15}$
$\therefore x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{5},x_2=-\sqrt{5}$
(2)$x_1=\frac{7}{3},x_2=-\frac{7}{3}$
(3)$x_1=3,x_2=-1$
(4)$x_1=\sqrt{2},x_2=-\sqrt{2}$
(5)$x_1=7,x_2=-7$
(6)$x_1=\frac{4}{5},x_2=-\frac{2}{15}$
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方根的性质
3. 整式化简运算
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础训练题，解题关键是先将方程转化为直接开平方法的标准形式，开平方时要注意正数有两个互为相反数的平方根，避免漏解，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
6.若关于$x$的方程$(x-a)^2 -4 = b$有实数根，则$b$的取值范围是（
A.$b＞4$
B.$b＞-4$
C.$b≥4$
D.$b≥-4$
D
）A.$b＞4$
B.$b＞-4$
C.$b≥4$
D.$b≥-4$
答案
6.D
解析
【分析】
本题可先将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再结合平方的非负性分析：因为任意实数的平方都大于等于0，要使方程有实数根，右边的常数必须满足非负的条件，据此列不等式求解即可得到b的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行移项变形：
将方程$(x-a)^2 -4 = b$移项，可得$(x-a)^2 = b + 4$。
根据平方的性质：任意实数的平方为非负数，即对任意实数$x$，都有$(x-a)^2 ≥ 0$。
要使该方程有实数根，则需右边的常数满足$b + 4 ≥ 0$，
解这个不等式得：$b ≥ -4$。
因此b的取值范围是$b≥ -4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将原方程转化为“完全平方式等于常数”的形式，结合平方数的非负性列不等式求解即可，解题时注意移项不要搞错符号。
【难度系数】
0.85
本题可先将方程变形为左边是完全平方式、右边是常数的形式，再结合平方的非负性分析：因为任意实数的平方都大于等于0，要使方程有实数根，右边的常数必须满足非负的条件，据此列不等式求解即可得到b的取值范围。
【解析】
首先对原方程进行移项变形：
将方程$(x-a)^2 -4 = b$移项，可得$(x-a)^2 = b + 4$。
根据平方的性质：任意实数的平方为非负数，即对任意实数$x$，都有$(x-a)^2 ≥ 0$。
要使该方程有实数根，则需右边的常数满足$b + 4 ≥ 0$，
解这个不等式得：$b ≥ -4$。
因此b的取值范围是$b≥ -4$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 直接开平方法解一元二次方程
2. 平方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是将原方程转化为“完全平方式等于常数”的形式，结合平方数的非负性列不等式求解即可，解题时注意移项不要搞错符号。
【难度系数】
0.85
7.若一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个不相等的实数根分别是$2m+1$与$m-7$，则$\frac{a}{b}=$
$\frac{1}{25}$
。答案
7.$\frac{1}{25}$
解析
【分析】
首先回忆用直接开平方法解一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的特征：方程可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后得到的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用这个性质列方程求出$m$的值，再代入得到方程的具体根，最后代入变形后的方程求出$\frac{b}{a}$的取值，取倒数即可得到所求的$\frac{a}{b}$。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 用直接开平方法解得的两个根互为相反数，即两根之和为0，
∴ $(2m+1)+(m-7)=0$，
合并同类项得$3m - 6 = 0$，
解得$m=2$，
将$m=2$代入两个根，得$2m+1=2×2+1=5$，$m-7=2-7=-5$，
即方程的根为$x=±5$，
代入$x^2=\frac{b}{a}$得$\frac{b}{a}=5^2=25$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$。
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
直接开平方法解方程；相反数的性质；一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程时，两根互为相反数的特征，通过列方程求出参数值后代入计算即可求解。
【难度系数】
0.7
首先回忆用直接开平方法解一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的特征：方程可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，开平方后得到的两个实数根互为相反数，即两根之和为0。我们可以先利用这个性质列方程求出$m$的值，再代入得到方程的具体根，最后代入变形后的方程求出$\frac{b}{a}$的取值，取倒数即可得到所求的$\frac{a}{b}$。
【解析】
解：
∵ 一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，两边同时除以$a$可得$x^2=\frac{b}{a}$，
∴ 用直接开平方法解得的两个根互为相反数，即两根之和为0，
∴ $(2m+1)+(m-7)=0$，
合并同类项得$3m - 6 = 0$，
解得$m=2$，
将$m=2$代入两个根，得$2m+1=2×2+1=5$，$m-7=2-7=-5$，
即方程的根为$x=±5$，
代入$x^2=\frac{b}{a}$得$\frac{b}{a}=5^2=25$，
∴ $\frac{a}{b}=\frac{1}{25}$。
【答案】
$\frac{1}{25}$
【知识点】
直接开平方法解方程；相反数的性质；一元二次方程根的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握直接开平方法解一元二次方程时，两根互为相反数的特征，通过列方程求出参数值后代入计算即可求解。
【难度系数】
0.7
8.若关于x的一元二次方程$mx^2 + n = 0$的一个根为$x=2$，则方程$m(x+1)^2 + n = 0$的两根之和为
$-2$
。答案
8.$-2$
解析
【分析】
解题可从两种思路切入：① 先利用一元二次方程根的定义，将x=2代入第一个方程，得到m和n的数量关系，再将该关系代入第二个方程，用直接开平方法求出两根后计算和；② 观察两个方程的结构特征，可将第二个方程中的(x+1)看作整体，由于第一个方程$mx^2+n=0$无一次项，两根互为相反数，已知一个根为2，另一个根为-2，因此可得$x+1=\pm2$，直接求出两个根后求和即可，两种方法均需注意一元二次方程二次项系数$m≠0$的隐含条件。
【解析】
∵ $x=2$是一元二次方程$mx^2 + n = 0$的根，且$m≠0$（一元二次方程二次项系数不为0）
将$x=2$代入$mx^2 + n = 0$得：
$m· 2^2 + n = 0$，即$4m + n = 0$，整理得$n=-4m$
将$n=-4m$代入方程$m(x+1)^2 + n = 0$得：
$m(x+1)^2 - 4m = 0$
∵ $m≠0$，方程两边同时除以$m$得：
$(x+1)^2 - 4 = 0$
移项得$(x+1)^2 = 4$
直接开平方得$x+1=2$或$x+1=-2$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
∴ 两根之和为$x_1+x_2=1+(-3)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解一元二次方程、整体代换思想
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的灵活运用，通过观察方程结构用整体代换的思路可大幅简化计算过程，解题时要善于挖掘方程的共性特征，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
解题可从两种思路切入：① 先利用一元二次方程根的定义，将x=2代入第一个方程，得到m和n的数量关系，再将该关系代入第二个方程，用直接开平方法求出两根后计算和；② 观察两个方程的结构特征，可将第二个方程中的(x+1)看作整体，由于第一个方程$mx^2+n=0$无一次项，两根互为相反数，已知一个根为2，另一个根为-2，因此可得$x+1=\pm2$，直接求出两个根后求和即可，两种方法均需注意一元二次方程二次项系数$m≠0$的隐含条件。
【解析】
∵ $x=2$是一元二次方程$mx^2 + n = 0$的根，且$m≠0$（一元二次方程二次项系数不为0）
将$x=2$代入$mx^2 + n = 0$得：
$m· 2^2 + n = 0$，即$4m + n = 0$，整理得$n=-4m$
将$n=-4m$代入方程$m(x+1)^2 + n = 0$得：
$m(x+1)^2 - 4m = 0$
∵ $m≠0$，方程两边同时除以$m$得：
$(x+1)^2 - 4 = 0$
移项得$(x+1)^2 = 4$
直接开平方得$x+1=2$或$x+1=-2$
解得$x_1=1$，$x_2=-3$
∴ 两根之和为$x_1+x_2=1+(-3)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程根的定义、直接开平方法解一元二次方程、整体代换思想
【点评】
本题重点考查一元二次方程解法的灵活运用，通过观察方程结构用整体代换的思路可大幅简化计算过程，解题时要善于挖掘方程的共性特征，同时不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【难度系数】
0.7
9.用直接开平方法解下列方程：
(1)$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$；
(2)$2(x+3)^2-4=0$；
(3)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=6$；
(4)$(2x+1)^2=(x-1)^2$；
(5)$x^2-6x+9=(5-2x)^2$；
(6)$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
(1)$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$；
(2)$2(x+3)^2-4=0$；
(3)$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=6$；
(4)$(2x+1)^2=(x-1)^2$；
(5)$x^2-6x+9=(5-2x)^2$；
(6)$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$。
答案
9.解:(1)$\because \frac{1}{4}(2x+3)^2=0,\therefore (2x+3)^2=0$,
$\therefore 2x+3=0,\therefore x_1=x_2=-1.5$.
(2)$\because 2(x+3)^2-4=0,\therefore (x+3)^2=2,\therefore x+3=\pm\sqrt{2}$,
$\therefore x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$.
(3)原方程可化为$x^2-3=6$,即$x^2=9$,
$\therefore x_1=3,x_2=-3$.
(4)$\because (2x+1)^2=(x-1)^2$,
$\therefore 2x+1=x-1$或$2x+1=-(x-1)$,
$\therefore x_1=-2,x_2=0$.
(5)$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$,
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=2x-5,\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2$.
(6)直接开平方,得$2(2m-3)=3(m-1)$或$2(2m-3)=-3(m-1)$,解得$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$.
$\therefore 2x+3=0,\therefore x_1=x_2=-1.5$.
(2)$\because 2(x+3)^2-4=0,\therefore (x+3)^2=2,\therefore x+3=\pm\sqrt{2}$,
$\therefore x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$.
(3)原方程可化为$x^2-3=6$,即$x^2=9$,
$\therefore x_1=3,x_2=-3$.
(4)$\because (2x+1)^2=(x-1)^2$,
$\therefore 2x+1=x-1$或$2x+1=-(x-1)$,
$\therefore x_1=-2,x_2=0$.
(5)$\because x^2-6x+9=(5-2x)^2,\therefore (x-3)^2=(5-2x)^2$,
$\therefore x-3=5-2x$或$x-3=2x-5,\therefore x_1=\frac{8}{3},x_2=2$.
(6)直接开平方,得$2(2m-3)=3(m-1)$或$2(2m-3)=-3(m-1)$,解得$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$.
解析
【分析】
直接开平方法解一元二次方程的核心是通过开平方降次，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，解题思路如下：第一步先将方程整理为两类形式：①“完全平方式=非负常数”；②“两个完全平方式相等”。第二步开平方降次：若为形式①，当右边常数为0时，直接令完全平方式内部的代数式等于0求解；当右边常数为正数时，令完全平方式内部的代数式等于±√(常数)，得到两个一元一次方程。若为形式②，开平方后得到“左底数=右底数”或“左底数=-右底数”两个一元一次方程。第三步分别求解得到的一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$，两边同时乘4得：$(2x+3)^2=0$，
开平方得$2x+3=0$，解得$x_1=x_2=-1.5$。
(2) 已知$2(x+3)^2-4=0$，移项得$2(x+3)^2=4$，
两边同时除以2得$(x+3)^2=2$，
开平方得$x+3=\pm\sqrt{2}$，
解得$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$。
(3) 先利用平方差公式将左边展开：$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2-3$，
原方程可化为$x^2-3=6$，移项得$x^2=9$，
开平方得$x=\pm3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(4) 已知$(2x+1)^2=(x-1)^2$，开平方得：
$2x+1=x-1$或$2x+1=-(x-1)$，
分别解两个一元一次方程：
解$2x+1=x-1$得$x=-2$，解$2x+1=-(x-1)$得$x=0$，
即$x_1=-2$，$x_2=0$。
(5) 左边$x^2-6x+9$可利用完全平方公式变形为$(x-3)^2$，
原方程化为$(x-3)^2=(5-2x)^2$，开平方得：
$x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，
分别求解：解$x-3=5-2x$得$x=\frac{8}{3}$，解$x-3=-(5-2x)$得$x=2$，
即$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=2$。
(6) 已知$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$，两边同时开平方得：
$2(2m-3)=\pm3(m-1)$，
分两种情况求解：
当$2(2m-3)=3(m-1)$时，展开得$4m-6=3m-3$，解得$m=3$；
当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，展开得$4m-6=-3m+3$，解得$m=\frac{9}{7}$，
即$m_1=3$，$m_2=\frac{9}{7}$。
【答案】
(1)$x_1=x_2=-1.5$；
(2)$x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=3,x_2=-3$；
(4)$x_1=-2,x_2=0$；
(5)$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$；
(6)$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，解题关键是熟练掌握方程的变形技巧，将原方程转化为可直接开平方的形式，开平方时要注意不要遗漏负根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
直接开平方法解一元二次方程的核心是通过开平方降次，将一元二次方程转化为一元一次方程求解，解题思路如下：第一步先将方程整理为两类形式：①“完全平方式=非负常数”；②“两个完全平方式相等”。第二步开平方降次：若为形式①，当右边常数为0时，直接令完全平方式内部的代数式等于0求解；当右边常数为正数时，令完全平方式内部的代数式等于±√(常数)，得到两个一元一次方程。若为形式②，开平方后得到“左底数=右底数”或“左底数=-右底数”两个一元一次方程。第三步分别求解得到的一元一次方程，即可得到原方程的解。
【解析】
(1) 已知$\frac{1}{4}(2x+3)^2=0$，两边同时乘4得：$(2x+3)^2=0$，
开平方得$2x+3=0$，解得$x_1=x_2=-1.5$。
(2) 已知$2(x+3)^2-4=0$，移项得$2(x+3)^2=4$，
两边同时除以2得$(x+3)^2=2$，
开平方得$x+3=\pm\sqrt{2}$，
解得$x_1=-3+\sqrt{2}$，$x_2=-3-\sqrt{2}$。
(3) 先利用平方差公式将左边展开：$(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})=x^2-3$，
原方程可化为$x^2-3=6$，移项得$x^2=9$，
开平方得$x=\pm3$，解得$x_1=3$，$x_2=-3$。
(4) 已知$(2x+1)^2=(x-1)^2$，开平方得：
$2x+1=x-1$或$2x+1=-(x-1)$，
分别解两个一元一次方程：
解$2x+1=x-1$得$x=-2$，解$2x+1=-(x-1)$得$x=0$，
即$x_1=-2$，$x_2=0$。
(5) 左边$x^2-6x+9$可利用完全平方公式变形为$(x-3)^2$，
原方程化为$(x-3)^2=(5-2x)^2$，开平方得：
$x-3=5-2x$或$x-3=-(5-2x)$，
分别求解：解$x-3=5-2x$得$x=\frac{8}{3}$，解$x-3=-(5-2x)$得$x=2$，
即$x_1=\frac{8}{3}$，$x_2=2$。
(6) 已知$4(2m-3)^2=9(m-1)^2$，两边同时开平方得：
$2(2m-3)=\pm3(m-1)$，
分两种情况求解：
当$2(2m-3)=3(m-1)$时，展开得$4m-6=3m-3$，解得$m=3$；
当$2(2m-3)=-3(m-1)$时，展开得$4m-6=-3m+3$，解得$m=\frac{9}{7}$，
即$m_1=3$，$m_2=\frac{9}{7}$。
【答案】
(1)$x_1=x_2=-1.5$；
(2)$x_1=-3+\sqrt{2},x_2=-3-\sqrt{2}$；
(3)$x_1=3,x_2=-3$；
(4)$x_1=-2,x_2=0$；
(5)$x_1=\frac{8}{3},x_2=2$；
(6)$m_1=3,m_2=\frac{9}{7}$。
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；完全平方公式；平方差公式
【点评】
本题是直接开平方法的基础训练题，解题关键是熟练掌握方程的变形技巧，将原方程转化为可直接开平方的形式，开平方时要注意不要遗漏负根，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.8
