17.将一副直角三角尺按如图摆放，AB//CD，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列四个结论：①∠EFN=150°；②GE//MP；③∠AEG=∠PMN；④∠BEF=75°.其中正确的是(填序号).

17.①②③④

【分析】
解题思路：首先明确两个直角三角尺的固有角度：含60°角的三角尺三个内角分别为30°、60°、90°，含45°角的三角尺三个内角分别为45°、45°、90°。再结合AB//CD的已知条件，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补）和判定定理，逐个验证四个结论是否成立即可。
【解析】
我们逐个对结论进行推导验证：
1. 验证结论①：因为AB//CD，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠EGF=∠AEG=30°，又因为CD为直线，平角为180°，所以∠EFN=180°-30°=150°，故①正确。
2. 验证结论②：由含45°角的直角三角尺性质可知∠MPN=90°，可推出∠MPF=60°，与∠GEF=60°为同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得GE//MP，故②正确。
3. 验证结论③：由GE//MP，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠AEG=∠AMP=45°，又因为∠PMN=45°，所以∠AEG=∠PMN，故③正确。
4. 验证结论④：AB为直线，平角为180°，已知∠AEG=45°，∠GEF=60°，所以∠BEF=180°-45°-60°=75°，故④正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行线的性质与判定；直角三角板角度特征
【点评】
本题是几何基础应用题，结合常见的直角三角板考查平行线的相关知识，解题时只要熟练掌握平行线的判定和性质，逐一推导即可判断所有结论的正误。
【难度系数】
0.7

18.如图,将一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'位置,ED'的延长线与BC相交于点G,∠EFG=60°,则∠1=.

18.120°

【分析】
解题思路如下：1. 首先利用长方形对边平行的性质，结合已知∠EFG的度数，通过两直线平行内错角相等，求出∠DEF的度数；2. 再根据折叠的性质，折叠前后对应角相等，得到∠D'EF与∠DEF相等，进而求出∠DEG的总度数；3. 最后再次利用平行线的内错角相等的性质，即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 60°（两直线平行，内错角相等），
由折叠的性质可知，∠D'EF = ∠DEF = 60°，
∴ ∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 60° + 60° = 120°，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠1 = ∠DEG = 120°（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
120°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，长方形的性质
【点评】
本题是折叠类的基础几何题，需要结合图形性质找到角度之间的等量关系，解题时要注意折叠前后对应角相等这一隐藏条件，这类题是几何角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7

19. 如图，$AB⊥ BC$，垂足为$B$，$DC⊥ BC$，垂足为$C$，连接$AD$，$DE$平分$∠ ADC$交$BC$于点$E$，点$F$为$CD$延长线上一点，连接$AF$，$∠ BAF=∠ EDF$.下列结论：①$∠ BAD+∠ ADC=180°$；②$AF// DE$；③$∠ DAF=∠ F$.其中正确的有（填序号）.

19.①②③

【分析】
解题时先从已知的两个垂直关系入手，先判定AB与CD平行，利用平行线的性质验证结论①；再结合AB//CD的性质和已知的∠BAF=∠EDF，推导角的相等关系，判定AF与DE平行，验证结论②；最后结合角平分线的定义和平行线的性质，通过角的等量代换验证结论③即可。
【解析】
解：1. 验证结论①：
∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠B=∠C=90°，
∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAD+∠ADC=180°（两直线平行，同旁内角互补），故①正确；
2. 验证结论②：
∵AB//CD，
∴∠BAF=∠F（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠BAF=∠EDF，
∴∠EDF=∠F，
∴AF//DE（内错角相等，两直线平行），故②正确；
3. 验证结论③：
∵AF//DE，
∴∠ADE=∠DAF（两直线平行，内错角相等），∠EDC=∠F（两直线平行，同位角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠EDC（角平分线定义），
∴∠DAF=∠F，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何题，核心考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题时需理清已知条件和结论间的逻辑关系，通过角的等量代换逐步推导即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7

20.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起(),其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由;
(2)若∠BCD=3∠ACE,求∠BCD的度数;
(3)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究∠BCD等于多少度时CE//AB,并简要说明理由.

20.解:(1)$∠ BCD+∠ ACE=180°$.
理由如下:
$\because ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90°+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°+∠ ACD+∠ ACE=90°+90°=180°$.
(2)如图①,设$∠ ACE=α$,
则$∠ BCD=3α$.

由(1)可得
$∠ BCD+∠ ACE=180°$,
$\therefore 3α+α=180°$,$\therefore α=45°$.
$\therefore ∠ BCD=3α=135°$.
(3)分两种情况:
①如图1所示,当$∠ BCD=150°$时,$AB // CE$.

$\because ∠ BCD=150°$,
$∠ ACB=∠ ECD=90°$,
$\therefore ∠ ACE=30°$.
$\therefore ∠ A=∠ ACE=30°$.
$\therefore AB // CE$.
②如图2所示,当$∠ BCD=30°$时,$AB // CE$.

$\because ∠ BCD=30°$,$∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ B=60°$.
$\therefore AB // CE$.

【分析】
(1) 探究两角数量关系时，先结合已知的两个直角拆分待研究的角：∠BCD可拆为直角∠ACB加∠ACD，而∠ACD与∠ACE相加刚好是另一个直角∠DCE，将两个关系合并即可得到两角的和的规律。
(2) 已知两角的倍数关系，结合第(1)问得到的两角和为180°的结论，设未知数列一元一次方程即可求解。
(3) 探究CE平行AB的情况时，依据平行线的判定定理，找相等的内错角即可，转动三角尺时CE有两种位置满足平行条件，需分类讨论计算对应∠BCD的度数。
【解析】
(1) 推导∠BCD与∠ACE的关系：
已知∠ACB=∠DCE=90°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
因此∠BCD+∠ACE=90°+∠ACD+∠ACE=90°+∠DCE=90°+90°=180°。
(2) 设∠ACE=α，则∠BCD=3α，代入(1)的结论：
3α+α=180°，解得α=45°，因此∠BCD=3×45°=135°。
(3) 分两种情况讨论平行的条件：
① 当CE在AC右侧时，若AB//CE，内错角∠A=∠ACE=30°，
则∠ACE=30°，∠BCD=360°-∠ACB-∠DCE-∠ACE=360°-90°-90°-30°=150°。
② 当CE在BC下方时，若AB//CE，内错角∠B=∠BCE=60°，
则∠BCD=∠DCE-∠BCE=90°-60°=30°。
【答案】
(1)$∠ BCD+∠ ACE=180°$。
理由如下:
$\because ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90°+∠ ACD$,
$\therefore ∠ BCD+∠ ACE=90°+∠ ACD+∠ ACE=90°+90°=180°$。
(2)如图①,设$∠ ACE=α$,
则$∠ BCD=3α$。

由(1)可得
$∠ BCD+∠ ACE=180°$,
$\therefore 3α+α=180°$,$\therefore α=45°$。
$\therefore ∠ BCD=3α=135°$。
(3)分两种情况:
①如图1所示,当$∠ BCD=150°$时,$AB // CE$。

$\because ∠ BCD=150°$,
$∠ ACB=∠ ECD=90°$,
$\therefore ∠ ACE=30°$。
$\therefore ∠ A=∠ ACE=30°$。
$\therefore AB // CE$。
②如图2所示,当$∠ BCD=30°$时,$AB // CE$。

$\because ∠ BCD=30°$,$∠ DCE=90°$,
$\therefore ∠ BCE=∠ B=60°$。
$\therefore AB // CE$。
【知识点】
角的和差运算，平行线的判定，方程思想求角
【点评】
本题以三角尺叠放为背景，结合三角尺的固定角度考查角度计算和平行线的判定，解题时需注意转动三角尺存在多种符合条件的位置，要分类讨论避免漏解。
【难度系数】
0.7