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10（2025盐城射阳期中）如表中是给定部分$x$的值，对应$x^2$的值：
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$（
A.在3.4～3.5之间
B.在3.5～3.6之间
C.在35～36之间
D.在0.35～0.36之间
由表格中的数据可知$\sqrt{12.69}$（
B
）A.在3.4～3.5之间
B.在3.5～3.6之间
C.在35～36之间
D.在0.35～0.36之间
答案
10. B
解析
【分析】
要估算$\sqrt{12.69}$的范围，首先观察表格给出的是整数的平方值，可先将被开方数12.69扩大100倍得到1269，先确定1269介于哪两个整数的平方之间，再根据算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向左/右移动2位，算术平方根的小数点对应向左/右移动1位，即可推出$\sqrt{12.69}$的取值范围。
【解析】
由表格数据可得：$35^2=1225$，$36^2=1296$
因为 $1225 ＜ 1269 ＜ 1296$
对不等式三边同时取算术平方根，不等号方向不变，得：
$\sqrt{1225} ＜ \sqrt{1269} ＜ \sqrt{1296}$，即 $35 ＜ \sqrt{1269} ＜ 36$
又因为 $\sqrt{12.69}=\sqrt{\frac{1269}{100}}=\frac{\sqrt{1269}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{1269}}{10}$
将上述不等式三边同时除以10，得：
$3.5 ＜ \sqrt{12.69} ＜ 3.6$
即$\sqrt{12.69}$在3.5～3.6之间。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题考查无理数大小的估算，解题核心是熟练掌握算术平方根与被开方数的小数点移动对应规律，结合已知的平方数即可快速判断范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要估算$\sqrt{12.69}$的范围，首先观察表格给出的是整数的平方值，可先将被开方数12.69扩大100倍得到1269，先确定1269介于哪两个整数的平方之间，再根据算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点向左/右移动2位，算术平方根的小数点对应向左/右移动1位，即可推出$\sqrt{12.69}$的取值范围。
【解析】
由表格数据可得：$35^2=1225$，$36^2=1296$
因为 $1225 ＜ 1269 ＜ 1296$
对不等式三边同时取算术平方根，不等号方向不变，得：
$\sqrt{1225} ＜ \sqrt{1269} ＜ \sqrt{1296}$，即 $35 ＜ \sqrt{1269} ＜ 36$
又因为 $\sqrt{12.69}=\sqrt{\frac{1269}{100}}=\frac{\sqrt{1269}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{1269}}{10}$
将上述不等式三边同时除以10，得：
$3.5 ＜ \sqrt{12.69} ＜ 3.6$
即$\sqrt{12.69}$在3.5～3.6之间。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的性质，无理数的估算
【点评】
本题考查无理数大小的估算，解题核心是熟练掌握算术平方根与被开方数的小数点移动对应规律，结合已知的平方数即可快速判断范围，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
11 新素养 几何直观 如图，用两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，则下列关于大正方形边长a的说法中正确的是 （
A.a是整数
B.a满足$a^2=4$
C.a是分数
D.a是无理数
D
）A.a是整数
B.a满足$a^2=4$
C.a是分数
D.a是无理数
答案
11. D
解析
【分析】
解题思路可按“算总面积→求边长表达式→判断数的类型”三步展开：首先计算两个小正方形的总面积，拼接前后总面积不变，因此大正方形面积等于两个小正方形面积和，由此得到边长a满足的关系式，再结合整数、分数、无理数的定义逐一判断选项即可。
【解析】
第一步：计算两个小正方形的总面积
每个边长为1的小正方形面积为：$1×1=1$，两个小正方形总面积为$1+1=2$。
第二步：推导大正方形边长a满足的关系
拼接前后图形总面积不变，因此大正方形面积$a^2=2$。
第三步：逐一判断选项
A. 整数的平方为完全平方数，不存在整数的平方等于2，因此a不是整数，A错误；
B. 由上述推导可知$a^2=2≠4$，B错误；
C. 分数的平方仍为分数，不存在分数的平方等于2，因此a不是分数，C错误；
D. $a=\sqrt{2}$，是无限不循环小数，属于无理数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题通过图形拼接的场景考查实数相关概念，解题核心是利用拼接前后面积不变得到边长的平方值，再结合各类实数的特征判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
解题思路可按“算总面积→求边长表达式→判断数的类型”三步展开：首先计算两个小正方形的总面积，拼接前后总面积不变，因此大正方形面积等于两个小正方形面积和，由此得到边长a满足的关系式，再结合整数、分数、无理数的定义逐一判断选项即可。
【解析】
第一步：计算两个小正方形的总面积
每个边长为1的小正方形面积为：$1×1=1$，两个小正方形总面积为$1+1=2$。
第二步：推导大正方形边长a满足的关系
拼接前后图形总面积不变，因此大正方形面积$a^2=2$。
第三步：逐一判断选项
A. 整数的平方为完全平方数，不存在整数的平方等于2，因此a不是整数，A错误；
B. 由上述推导可知$a^2=2≠4$，B错误；
C. 分数的平方仍为分数，不存在分数的平方等于2，因此a不是分数，C错误；
D. $a=\sqrt{2}$，是无限不循环小数，属于无理数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积计算，无理数的定义，实数的分类
【点评】
本题通过图形拼接的场景考查实数相关概念，解题核心是利用拼接前后面积不变得到边长的平方值，再结合各类实数的特征判断即可，属于基础概念应用题。
【难度系数】
0.8
12 有一个数值转换器，流程如图所示，当输入x的值为36时，输出y的值是
$\sqrt{6}$
。答案
12. $\sqrt{6}$
解析
【分析】
解题时首先要读懂数值转换器的运行规则：输入x后，先求x的算术平方根，若该结果是无理数则直接输出；若为有理数，需将这个结果作为新的输入值再次执行求算术平方根的操作，直到得到无理数为止。我们将x=36代入规则逐步运算即可。
【解析】
第一步：输入x=36，计算36的算术平方根：$\sqrt{36}=6$；
第二步：判断6的属性，6是整数，属于有理数，因此将6作为新的输入值重新运算；
第三步：计算6的算术平方根：得到$\sqrt{6}$；
第四步：判断$\sqrt{6}$的属性，$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1.算术平方根的计算
2.无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查基础概念，解题时需注意流程的循环规则，不要忽略“有理数需返回重新运算”的要求，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂数值转换器的运行规则：输入x后，先求x的算术平方根，若该结果是无理数则直接输出；若为有理数，需将这个结果作为新的输入值再次执行求算术平方根的操作，直到得到无理数为止。我们将x=36代入规则逐步运算即可。
【解析】
第一步：输入x=36，计算36的算术平方根：$\sqrt{36}=6$；
第二步：判断6的属性，6是整数，属于有理数，因此将6作为新的输入值重新运算；
第三步：计算6的算术平方根：得到$\sqrt{6}$；
第四步：判断$\sqrt{6}$的属性，$\sqrt{6}$是开方开不尽的数，属于无理数，满足输出条件。
【答案】
$\sqrt{6}$
【知识点】
1.算术平方根的计算
2.无理数的判定
【点评】
本题结合流程图考查基础概念，解题时需注意流程的循环规则，不要忽略“有理数需返回重新运算”的要求，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
13 新趋势 推理探究
（1）下面是小李探索$\sqrt{2}$的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，设$\sqrt{2}=1+x$，可画出示意图.
由面积公式，可得$x^2+2x+1=2$，
略去$x^2$，得方程$2x+1=2$，
解得$x=0.5$，即$\sqrt{2}\approx$
上述过程中，主要运用的数学思想是
（2）容易知道$1＜\sqrt{3}＜2$，设$\sqrt{3}=2-x$，请类比（1）中的方法求$\sqrt{3}$的近似值.（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
（1）下面是小李探索$\sqrt{2}$的近似值的过程，请补充完整：
我们知道面积是2的正方形的边长是$\sqrt{2}$，且$\sqrt{2}＞1$，设$\sqrt{2}=1+x$，可画出示意图.
由面积公式，可得$x^2+2x+1=2$，
略去$x^2$，得方程$2x+1=2$，
解得$x=0.5$，即$\sqrt{2}\approx$
1.5
.上述过程中，主要运用的数学思想是
数形结合
.（2）容易知道$1＜\sqrt{3}＜2$，设$\sqrt{3}=2-x$，请类比（1）中的方法求$\sqrt{3}$的近似值.（要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
答案
13. 解:(1) 1.5 数形结合
(2) 如图,设$\sqrt{3}=2-x$,则$(2-x)^2=3$,
根据图中面积可得$2^2-2x(2-x)-x^2=3$,
所以$4-4x+x^2=3$,
略去$x^2$,得方程$4-4x=3$,解得$x=0.25$,
所以$\sqrt{3}\approx2-0.25=1.75$.
解析
【分析】
（1）第一小问已知$\sqrt{2}=1+x$，求解得到$x=0.5$，直接代入即可得到$\sqrt{2}$的近似值；解题过程中借助正方形面积的几何关系推导代数等式，运用了数形结合的数学思想。
（2）第二小问类比第一问的方法：先设$\sqrt{3}=2-x$，则面积为3的正方形边长为$2-x$，根据完全平方公式展开得到关于x的二次方程，由于x数值很小，$x^2$项的值极小可以忽略，将二次方程简化为一次方程求解，再代入$\sqrt{3}=2-x$即可得到近似值，同时画出对应面积分割的正方形示意图即可。
【解析】
（1）将$x=0.5$代入$\sqrt{2}=1+x$，可得$\sqrt{2}\approx1+0.5=1.5$；该过程通过几何图形的面积关系推导代数运算，所用的数学思想为数形结合思想。
（2）设$\sqrt{3}=2-x$，那么边长为$\sqrt{3}$的正方形面积为3，因此可得：
$(2-x)^2=3$
根据正方形面积分割关系展开等式，得：
$4-4x+x^2=3$
由于x是远小于1的正数，$x^2$的数值极小，可忽略不计，因此简化为：
$4-4x=3$
解得$x=0.25$，因此$\sqrt{3}\approx2-0.25=1.75$。
【答案】
(1) $1.5$；数形结合
(2)，$\sqrt{3}\approx1.75$，求解过程如下：设$\sqrt{3}=2-x$，则$(2-x)^2=3$，根据图中面积可得$2^2-2x(2-x)-x^2=3$，即$4-4x+x^2=3$，略去$x^2$得方程$4-4x=3$，解得$x=0.25$，所以$\sqrt{3}\approx2-0.25=1.75$。
【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；数形结合思想
【点评】
本题通过探究无理数近似值的过程，考查了类比推理的能力，同时将代数计算与几何图形面积相结合，帮助学生理解无理数估算的原理，掌握近似计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
（1）第一小问已知$\sqrt{2}=1+x$，求解得到$x=0.5$，直接代入即可得到$\sqrt{2}$的近似值；解题过程中借助正方形面积的几何关系推导代数等式，运用了数形结合的数学思想。
（2）第二小问类比第一问的方法：先设$\sqrt{3}=2-x$，则面积为3的正方形边长为$2-x$，根据完全平方公式展开得到关于x的二次方程，由于x数值很小，$x^2$项的值极小可以忽略，将二次方程简化为一次方程求解，再代入$\sqrt{3}=2-x$即可得到近似值，同时画出对应面积分割的正方形示意图即可。
【解析】
（1）将$x=0.5$代入$\sqrt{2}=1+x$，可得$\sqrt{2}\approx1+0.5=1.5$；该过程通过几何图形的面积关系推导代数运算，所用的数学思想为数形结合思想。
（2）设$\sqrt{3}=2-x$，那么边长为$\sqrt{3}$的正方形面积为3，因此可得：
$(2-x)^2=3$
根据正方形面积分割关系展开等式，得：
$4-4x+x^2=3$
由于x是远小于1的正数，$x^2$的数值极小，可忽略不计，因此简化为：
$4-4x=3$
解得$x=0.25$，因此$\sqrt{3}\approx2-0.25=1.75$。
【答案】
(1) $1.5$；数形结合
(2)
，$\sqrt{3}\approx1.75$，求解过程如下：设$\sqrt{3}=2-x$，则$(2-x)^2=3$，根据图中面积可得$2^2-2x(2-x)-x^2=3$，即$4-4x+x^2=3$，略去$x^2$得方程$4-4x=3$，解得$x=0.25$，所以$\sqrt{3}\approx2-0.25=1.75$。【知识点】
无理数的估算；完全平方公式；数形结合思想
【点评】
本题通过探究无理数近似值的过程，考查了类比推理的能力，同时将代数计算与几何图形面积相结合，帮助学生理解无理数估算的原理，掌握近似计算的常用方法。
【难度系数】
0.7
14（2025徐州丰县期中）小雅在手工课上制作了一块面积为256 cm²的正方形刺绣杯垫.她准备了一个面积为420 cm²的长方形礼品袋进行包装,礼品袋的长与宽之比为3:2.
（1）请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米(结果保留根号)?
（2）小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中?请说明理由.
（1）请问这个礼品袋的长和宽分别是多少厘米(结果保留根号)?
（2）小雅能否不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中?请说明理由.
答案
14. 解:(1) 因为礼品袋的长与宽之比为$3:2$,
所以设这个礼品袋的长为$3x$ cm,宽为$2x$ cm,
由题意,得$3x·2x=420$,
解得$x=\sqrt{70}$,$x=-\sqrt{70}$(舍去),
所以礼品袋的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.
(2) 因为正方形刺绣杯垫的面积为$256\ \mathrm{cm}^2$,
所以设正方形刺绣杯垫的边长为$a$ cm,
即$a^2=256$,解得$a=16$,$a=-16$(舍去),
所以正方形刺绣杯垫的边长为16 cm.
因为$70＞64$,所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$,所以$2\sqrt{70}＞16$,
即礼品袋的宽大于正方形刺绣杯垫的边长,
故小雅能不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中.
所以设这个礼品袋的长为$3x$ cm,宽为$2x$ cm,
由题意,得$3x·2x=420$,
解得$x=\sqrt{70}$,$x=-\sqrt{70}$(舍去),
所以礼品袋的长为$3\sqrt{70}$ cm,宽为$2\sqrt{70}$ cm.
(2) 因为正方形刺绣杯垫的面积为$256\ \mathrm{cm}^2$,
所以设正方形刺绣杯垫的边长为$a$ cm,
即$a^2=256$,解得$a=16$,$a=-16$(舍去),
所以正方形刺绣杯垫的边长为16 cm.
因为$70＞64$,所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$,所以$2\sqrt{70}＞16$,
即礼品袋的宽大于正方形刺绣杯垫的边长,
故小雅能不折叠就将这块正方形杯垫平整地放入礼品袋中.
解析
【分析】
（1）题目给出长方形礼品袋的长宽比为3:2，我们可以设比例系数为x，用含x的代数式表示长和宽，再结合长方形面积公式列出方程，求解得到x的正数值（长度不能为负，舍去负根），即可算出礼品袋的长和宽；
（2）要判断正方形杯垫能否不折叠放入礼品袋，首先需要算出正方形的边长，再将正方形边长与礼品袋的较短边（宽）作大小比较：若礼品袋的宽≥正方形边长，即可平整放入；比较带根号的实数大小时，可将整数转化为根号形式，通过比较被开方数的大小判断两个数的大小。
【解析】
（1）设礼品袋的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm，根据长方形面积公式可得：
$3x·2x=420$
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$
解得$x=\sqrt{70}$或$x=-\sqrt{70}$，因为长度为正数，所以舍去$x=-\sqrt{70}$
因此长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm。
（2）设正方形杯垫的边长为$a$ cm，根据正方形面积公式可得：
$a^2=256$
解得$a=16$或$a=-16$，边长为正，舍去$a=-16$，即正方形边长为16 cm。
因为$70＞64$，所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$，两边同时乘2得$2\sqrt{70}＞16$，即礼品袋的宽大于正方形杯垫的边长，因此可以不折叠放入。
【答案】
（1）长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
（2）能不折叠就将杯垫平整放入礼品袋中。
【知识点】
一元二次方程应用，算术平方根计算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题核心是掌握几何图形面积公式，根据比例关系合理设未知数列方程，同时注意实际问题中根的取值要符合实际意义，判断物品能否放入容器时只需比较物品边长和容器较短边的长度即可。
【难度系数】
0.7
（1）题目给出长方形礼品袋的长宽比为3:2，我们可以设比例系数为x，用含x的代数式表示长和宽，再结合长方形面积公式列出方程，求解得到x的正数值（长度不能为负，舍去负根），即可算出礼品袋的长和宽；
（2）要判断正方形杯垫能否不折叠放入礼品袋，首先需要算出正方形的边长，再将正方形边长与礼品袋的较短边（宽）作大小比较：若礼品袋的宽≥正方形边长，即可平整放入；比较带根号的实数大小时，可将整数转化为根号形式，通过比较被开方数的大小判断两个数的大小。
【解析】
（1）设礼品袋的长为$3x$ cm，宽为$2x$ cm，根据长方形面积公式可得：
$3x·2x=420$
整理得$6x^2=420$，即$x^2=70$
解得$x=\sqrt{70}$或$x=-\sqrt{70}$，因为长度为正数，所以舍去$x=-\sqrt{70}$
因此长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm。
（2）设正方形杯垫的边长为$a$ cm，根据正方形面积公式可得：
$a^2=256$
解得$a=16$或$a=-16$，边长为正，舍去$a=-16$，即正方形边长为16 cm。
因为$70＞64$，所以$\sqrt{70}＞\sqrt{64}=8$，两边同时乘2得$2\sqrt{70}＞16$，即礼品袋的宽大于正方形杯垫的边长，因此可以不折叠放入。
【答案】
（1）长为$3\sqrt{70}$ cm，宽为$2\sqrt{70}$ cm；
（2）能不折叠就将杯垫平整放入礼品袋中。
【知识点】
一元二次方程应用，算术平方根计算，实数大小比较
【点评】
本题结合生活实际场景命题，解题核心是掌握几何图形面积公式，根据比例关系合理设未知数列方程，同时注意实际问题中根的取值要符合实际意义，判断物品能否放入容器时只需比较物品边长和容器较短边的长度即可。
【难度系数】
0.7
