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1. $\odot O$的半径为6 cm，弦AB的长为$6\sqrt{3}$ cm，以O为圆心，3 cm长为半径作圆，与弦AB有
1
个公共交点.答案
1. 1
解析
【分析】
要判断小圆与弦AB的公共交点个数，本质是判断直线AB和小圆的位置关系，可通过比较圆心O到直线AB的距离d与小圆半径r的大小关系判断：若d＞r，无交点；d=r，1个交点；d＜r，2个交点。解题时先利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再通过勾股定理计算O到AB的距离，最后和小圆半径对比即可得出结论。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}=\sqrt{36 - 27}=3\ \mathrm{cm}$
已知小圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，则$OC=r$，说明小圆与直线AB相切，因此小圆与弦AB仅有1个公共交点。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出圆心到弦的距离，再结合距离和半径的大小关系判断交点个数，掌握垂径定理和直线与圆位置关系的判定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要判断小圆与弦AB的公共交点个数，本质是判断直线AB和小圆的位置关系，可通过比较圆心O到直线AB的距离d与小圆半径r的大小关系判断：若d＞r，无交点；d=r，1个交点；d＜r，2个交点。解题时先利用垂径定理求出弦AB的一半长度，再通过勾股定理计算O到AB的距离，最后和小圆半径对比即可得出结论。
【解析】
过点O作OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}=3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$OA=6\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{6^2 - (3\sqrt{3})^2}=\sqrt{36 - 27}=3\ \mathrm{cm}$
已知小圆半径$r=3\ \mathrm{cm}$，则$OC=r$，说明小圆与直线AB相切，因此小圆与弦AB仅有1个公共交点。
【答案】
1
【知识点】
垂径定理、勾股定理、直线与圆的位置关系
【点评】
本题是直线与圆位置关系的基础应用题，解题核心是先求出圆心到弦的距离，再结合距离和半径的大小关系判断交点个数，掌握垂径定理和直线与圆位置关系的判定规则是解题的关键。
【难度系数】
0.7
2. 如图，以△ABC边AC为直径作⊙O交AB于点D，BC恰好是⊙O的切线，C为切点，连接DO。若∠B＝50°，则∠DOC的度数为
$80°$
。答案
2. $80°$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥BC，先在Rt△ABC中求出∠A的度数；再结合圆的半径相等，可知OA=OD，△OAD为等腰三角形，可得到∠A与∠ADO相等，最后利用三角形外角的性质（或圆周角定理）即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，C为切点，AC是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠B=50°，
∴∠A=90°-∠B=90°-50°=40°。
∵OA=OD（都是⊙O的半径），
∴∠ADO=∠A=40°。
∵∠DOC是△AOD的外角，
∴∠DOC=∠A+∠ADO=40°+40°=80°。
（也可通过圆周角定理推导：∠A是弧DC所对的圆周角，∠DOC是弧DC所对的圆心角，故∠DOC=2∠A=80°）
【答案】
$80°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合了圆与三角形的基础知识点，解题的核心是先通过切线性质得到直角三角形求解未知锐角，再结合圆心角与圆周角的关系推导结果，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线的性质：切线垂直于过切点的半径，可得AC⊥BC，先在Rt△ABC中求出∠A的度数；再结合圆的半径相等，可知OA=OD，△OAD为等腰三角形，可得到∠A与∠ADO相等，最后利用三角形外角的性质（或圆周角定理）即可求出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵BC是⊙O的切线，C为切点，AC是⊙O的直径，
∴AC⊥BC，即∠ACB=90°。
在Rt△ABC中，∠B=50°，
∴∠A=90°-∠B=90°-50°=40°。
∵OA=OD（都是⊙O的半径），
∴∠ADO=∠A=40°。
∵∠DOC是△AOD的外角，
∴∠DOC=∠A+∠ADO=40°+40°=80°。
（也可通过圆周角定理推导：∠A是弧DC所对的圆周角，∠DOC是弧DC所对的圆心角，故∠DOC=2∠A=80°）
【答案】
$80°$
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质
【点评】
本题属于基础题，综合了圆与三角形的基础知识点，解题的核心是先通过切线性质得到直角三角形求解未知锐角，再结合圆心角与圆周角的关系推导结果，是圆章节的常见考法。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$\odot O$为$△ ABC$的内切圆，$∠ ABC=80°$，$∠ ACB=36°$，则$∠ BOC=$
$122°$
.答案
3. $122°$
解析
【分析】
解题时首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，由此可得BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，先求出两个角平分后的角度，再利用三角形内角和为180°即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$是$△ ABC$的内心，即$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×80° = 40°$，
$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×36° = 18°$，
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - ∠ OBC - ∠ OCB = 180° - 40° - 18° = 122°$。
【答案】
$122°$
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是明确三角形内心是内角角平分线的交点，结合角度平分和内角和公式即可快速求解，出错率较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确三角形内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形三个内角角平分线的交点，由此可得BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，先求出两个角平分后的角度，再利用三角形内角和为180°即可计算出∠BOC的度数。
【解析】
∵$\odot O$是$△ ABC$的内切圆，
∴点$O$是$△ ABC$的内心，即$BO$平分$∠ ABC$，$CO$平分$∠ ACB$，
∴$∠ OBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×80° = 40°$，
$∠ OCB = \frac{1}{2}∠ ACB = \frac{1}{2}×36° = 18°$，
在$△ BOC$中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC = 180° - ∠ OBC - ∠ OCB = 180° - 40° - 18° = 122°$。
【答案】
$122°$
【知识点】
三角形内切圆性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础计算题，解题的核心是明确三角形内心是内角角平分线的交点，结合角度平分和内角和公式即可快速求解，出错率较低。
【难度系数】
0.8
4. △ABC中，AB=15，BC=12，AC=9，⊙O是△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为
$54-9π$
。答案
4. $54-9π$
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长，9、12、15是常见勾股数，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再计算三角形的面积；接下来根据直角三角形内切圆半径的计算方法求出内切圆⊙O的半径，进而算出内切圆的面积；最后阴影部分的面积等于三角形面积减去内切圆的面积，即可求解。
【解析】
第一步：判定△ABC的形状
∵AC=9，BC=12，AB=15
∴AC²+BC²=9²+12²=81+144=225，AB²=15²=225
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形，∠C=90°
第二步：计算△ABC的面积
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×9×12=54$
第三步：计算内切圆⊙O的半径r
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{9+12-15}{2}=3$
第四步：计算内切圆面积
$S_{⊙O}=πr²=π×3²=9π$
第五步：计算阴影部分面积
阴影部分面积为三角形面积减去内切圆面积，即$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{⊙O}=54-9π$
【答案】
$54-9π$
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内切圆；组合图形面积计算
【点评】
本题为基础常考题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握直角三角形的判定、内切圆半径的计算方法。
【难度系数】
0.7
首先观察△ABC的三边长，9、12、15是常见勾股数，可先通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，再计算三角形的面积；接下来根据直角三角形内切圆半径的计算方法求出内切圆⊙O的半径，进而算出内切圆的面积；最后阴影部分的面积等于三角形面积减去内切圆的面积，即可求解。
【解析】
第一步：判定△ABC的形状
∵AC=9，BC=12，AB=15
∴AC²+BC²=9²+12²=81+144=225，AB²=15²=225
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形，∠C=90°
第二步：计算△ABC的面积
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×9×12=54$
第三步：计算内切圆⊙O的半径r
直角三角形内切圆半径公式为$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边），代入得：
$r=\frac{9+12-15}{2}=3$
第四步：计算内切圆面积
$S_{⊙O}=πr²=π×3²=9π$
第五步：计算阴影部分面积
阴影部分面积为三角形面积减去内切圆面积，即$S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{⊙O}=54-9π$
【答案】
$54-9π$
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形内切圆；组合图形面积计算
【点评】
本题为基础常考题，解题核心是将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，需要熟练掌握直角三角形的判定、内切圆半径的计算方法。
【难度系数】
0.7
5. 如图，已知直线PA与PB与$\odot O$分别相切于点A，B，若$PB=\sqrt{3}$，$∠ APB=90°$，则劣弧AB的长为________。
答案
5. $\frac{\sqrt{3}π}{2}$
解析
【分析】
解题时首先连接OA、OB，利用切线的性质可得OA⊥PA、OB⊥PB、PA=PB，结合已知∠APB=90°，可判定四边形OAPB是正方形，从而得到⊙O的半径和圆心角∠AOB的度数，最后代入弧长公式计算劣弧AB的长度即可。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又
∵∠APB=90°，
∴四边形OAPB是矩形，
又
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴矩形OAPB是正方形，
∴OA=OB=PB=$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），劣弧AB的长为：
$\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}π}{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是连接半径构造出四边形OAPB，通过切线性质和正方形的判定得到半径与圆心角，熟练掌握弧长公式是计算的核心。
【难度系数】
0.7
解题时首先连接OA、OB，利用切线的性质可得OA⊥PA、OB⊥PB、PA=PB，结合已知∠APB=90°，可判定四边形OAPB是正方形，从而得到⊙O的半径和圆心角∠AOB的度数，最后代入弧长公式计算劣弧AB的长度即可。
【解析】
解：连接OA、OB。
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
又
∵∠APB=90°，
∴四边形OAPB是矩形，
又
∵OA=OB（同圆的半径相等），
∴矩形OAPB是正方形，
∴OA=OB=PB=$\sqrt{3}$，∠AOB=90°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），劣弧AB的长为：
$\frac{90×π×\sqrt{3}}{180}=\frac{\sqrt{3}π}{2}$
【答案】
$\frac{\sqrt{3}π}{2}$
【知识点】
切线的性质；正方形的判定与性质；弧长计算
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是连接半径构造出四边形OAPB，通过切线性质和正方形的判定得到半径与圆心角，熟练掌握弧长公式是计算的核心。
【难度系数】
0.7
6. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在第一象限,⊙A 与 x 轴相切于 B,与 y 轴交于 C(0,1),D(0,4)两点,则点 A 的坐标是
$(2,\frac{5}{2})$
.答案
6. $(2,\frac{5}{2})$
解析
【分析】
解题时先结合圆的切线性质明确圆心纵坐标等于圆的半径，再通过作辅助线AE⊥y轴，利用垂径定理求出CD中点E的纵坐标，即可得到圆心的纵坐标（即半径长度），最后在直角三角形中利用勾股定理求出圆心到y轴的距离，即圆心的横坐标，即可得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，连接AC、AB。
1. 求CD长度及E点坐标：已知C(0,1)，D(0,4)，则CD=4-1=3。根据垂径定理，E为CD的中点，因此$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$，E点的纵坐标为$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
2. 确定半径与A点纵坐标：因为⊙A与x轴相切于B，所以AB⊥x轴，AB的长度为⊙A的半径r，且点A的纵坐标等于AB的长度，同时AE⊥y轴，所以点A的纵坐标与E点纵坐标相等，即$r=\frac{5}{2}$，A点纵坐标为$\frac{5}{2}$。
3. 求A点横坐标：在Rt△ACE中，$AC=r=\frac{5}{2}$，$CE=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{16}{4}}=2$。AE为点A到y轴的距离，且点A在第一象限，因此A点横坐标为2。
综上，点A的坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
【答案】
$(2,\frac{5}{2})$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的相关性质转化线段关系，再用勾股定理计算未知线段长度，侧重对基础性质的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
解题时先结合圆的切线性质明确圆心纵坐标等于圆的半径，再通过作辅助线AE⊥y轴，利用垂径定理求出CD中点E的纵坐标，即可得到圆心的纵坐标（即半径长度），最后在直角三角形中利用勾股定理求出圆心到y轴的距离，即圆心的横坐标，即可得到点A的坐标。
【解析】
过点A作AE⊥CD于点E，连接AC、AB。
1. 求CD长度及E点坐标：已知C(0,1)，D(0,4)，则CD=4-1=3。根据垂径定理，E为CD的中点，因此$CE=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$，E点的纵坐标为$1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
2. 确定半径与A点纵坐标：因为⊙A与x轴相切于B，所以AB⊥x轴，AB的长度为⊙A的半径r，且点A的纵坐标等于AB的长度，同时AE⊥y轴，所以点A的纵坐标与E点纵坐标相等，即$r=\frac{5}{2}$，A点纵坐标为$\frac{5}{2}$。
3. 求A点横坐标：在Rt△ACE中，$AC=r=\frac{5}{2}$，$CE=\frac{3}{2}$，由勾股定理得：$AE=\sqrt{AC^2 - CE^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2}=\sqrt{\frac{16}{4}}=2$。AE为点A到y轴的距离，且点A在第一象限，因此A点横坐标为2。
综上，点A的坐标为$(2,\frac{5}{2})$。
【答案】
$(2,\frac{5}{2})$
【知识点】
垂径定理；切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，结合圆的相关性质转化线段关系，再用勾股定理计算未知线段长度，侧重对基础性质的综合应用考查。
【难度系数】
0.7
7. 如图，已知AB为$\odot O$的直径，CB切$\odot O$于B，CD切$\odot O$于D，交BA的延长线于点E，若$AB=3$，$ED=2$，则BC的长为
3
。答案
7. 3
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：存在从点C出发的两条圆的切线，首先想到切线长定理可得CD=BC；再根据切线的性质，切线垂直过切点的半径，连接OD可构造出Rt△EDO，先通过勾股定理算出EO的长度，进而得到EB的长度；最后CB切圆于B，故CB⊥EB，△EBC为直角三角形，结合边长关系列勾股定理方程即可求出BC的长。
【解析】
解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB=3，
∴⊙O的半径$OD=OB=\frac{1}{2}AB=1.5$。
∵CD切⊙O于D，CB切⊙O于B，
∴根据切线长定理得$CD=BC$，根据切线的性质得$OD⊥EC$，$CB⊥EB$。
在$Rt△ EDO$中，$ED=2$，$OD=1.5$，由勾股定理得：
$EO=\sqrt{ED^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$，
∴$EB=EO+OB=2.5+1.5=4$。
设$BC=x$，则$CD=x$，$EC=ED+CD=2+x$，
在$Rt△ EBC$中，由勾股定理得：
$EB^2+BC^2=EC^2$，即$4^2+x^2=(2+x)^2$，
展开得$16+x^2=4+4x+x^2$，
化简得$4x=12$，解得$x=3$，即BC的长为3。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线长定理转化相等线段，再用勾股定理建立方程求解，是圆与直角三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：存在从点C出发的两条圆的切线，首先想到切线长定理可得CD=BC；再根据切线的性质，切线垂直过切点的半径，连接OD可构造出Rt△EDO，先通过勾股定理算出EO的长度，进而得到EB的长度；最后CB切圆于B，故CB⊥EB，△EBC为直角三角形，结合边长关系列勾股定理方程即可求出BC的长。
【解析】
解：连接OD，
∵AB为⊙O的直径，AB=3，
∴⊙O的半径$OD=OB=\frac{1}{2}AB=1.5$。
∵CD切⊙O于D，CB切⊙O于B，
∴根据切线长定理得$CD=BC$，根据切线的性质得$OD⊥EC$，$CB⊥EB$。
在$Rt△ EDO$中，$ED=2$，$OD=1.5$，由勾股定理得：
$EO=\sqrt{ED^2+OD^2}=\sqrt{2^2+1.5^2}=\sqrt{6.25}=2.5$，
∴$EB=EO+OB=2.5+1.5=4$。
设$BC=x$，则$CD=x$，$EC=ED+CD=2+x$，
在$Rt△ EBC$中，由勾股定理得：
$EB^2+BC^2=EC^2$，即$4^2+x^2=(2+x)^2$，
展开得$16+x^2=4+4x+x^2$，
化简得$4x=12$，解得$x=3$，即BC的长为3。
【答案】
3
【知识点】
切线的性质；切线长定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是通过连接切点与圆心构造直角三角形，结合切线长定理转化相等线段，再用勾股定理建立方程求解，是圆与直角三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.7
