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11. 九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
（1）如图①，在正三角形ABC中，在边AB，AC上分别取点M，N，使BM＝AN，连接BN，CM，发现BN＝CM.求证：∠NOC＝60°；
（2）如图②，在正方形ABCD中，在边AB，BC上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，DM，那么AN＝
（3）如图③，在正五边形ABCDE中，在边AB，BC上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM，那么AN＝
（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：
（1）如图①，在正三角形ABC中，在边AB，AC上分别取点M，N，使BM＝AN，连接BN，CM，发现BN＝CM.求证：∠NOC＝60°；
（2）如图②，在正方形ABCD中，在边AB，BC上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，DM，那么AN＝
DM
，且∠DON＝$90°$
；（3）如图③，在正五边形ABCDE中，在边AB，BC上分别取点M，N，使AM＝BN，连接AN，EM，那么AN＝
EM
，且∠EON＝$108°$
；（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论.
请大胆猜测，用一句话概括你的发现：
所求的角恰好等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$
.答案
11. （1）证明:$\because△ ABC$是正三角形,$\therefore∠ A=∠ ABC=60°$,$AB=BC$.在$△ ABN$和 $△ BCM$ 中, $\begin{cases}AB=BC,\\∠ A=∠ MBC,\\AN=BM,\end{cases}$ $\therefore △ ABN ≌ △ BCM$ ( SAS ), $\therefore ∠ ABN = ∠ BCM$.又$∠ ABN+∠ OBC=60°$,$\therefore∠ NOC=∠ BCM+∠ OBC=60°$. （2）DM $90°$ （3）EM $108°$ （4）所求的角恰好等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$.
解析
【分析】
本题是正多边形背景下的规律探究题，解题思路如下：
（1）正三角形证明部分：先利用正三角形等边、等角的性质，结合已知BM=AN证明△ABN和△BCM全等，得到对应角相等，再通过角的和差关系推导∠NOC的度数；
（2）正方形问题类比正三角形的思路，先证明对应三角形全等得到等线段，再通过角的代换推导夹角的度数；
（3）正五边形问题沿用全等思路，先证三角形全等得到等线段，结合正五边形内角度数推导所求角的度数；
（4）归纳前3问的规律，结合正n边形内角公式总结通用结论。
【解析】
（1）证明：$\because△ABC$是正三角形，
$\therefore∠A=∠ABC=60°$，$AB=BC$，
在$△ABN$和$△BCM$中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠A=∠MBC,\\AN=BM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △BCM$ ( SAS ),
$\therefore ∠ABN = ∠BCM$.
又$\because∠ABN+∠OBC=∠ABC=60°$，
$\therefore∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°$.
（2）在正方形ABCD中，$AB=AD$，$∠BAD=∠B=90°$，
在$△ABN$和$△DAM$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠B=∠DAM,\\BN=AM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △DAM$ ( SAS ),
$\therefore AN=DM$，$∠ADM=∠BAN$，
$\because∠BAN+∠DAO=∠BAD=90°$，
$\therefore∠ADM+∠DAO=90°$，
$\therefore∠AOD=180°-90°=90°$，即$∠DON=90°$.
（3）正五边形ABCDE的内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故$AB=AE$，$∠EAB=∠B=108°$，
在$△ABN$和$△EAM$中，
$\begin{cases}AB=AE,\\∠B=∠EAM,\\BN=AM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △EAM$ ( SAS ),
$\therefore AN=EM$，$∠AEM=∠BAN$，
$\because∠BAN+∠OAE=∠EAB=108°$，
$\therefore∠AEM+∠OAE=108°$，
$\therefore∠EON=∠AEM+∠OAE=108°$.
（4）结合前三问结论：正三角形时所求角等于正三角形内角60°，正方形时等于正方形内角90°，正五边形时等于正五边形内角108°，故通用规律为所求的角等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$DM$，$90°$；（3）$EM$，$108°$；（4）所求的角恰好等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；正多边形的性质；规律探究
【点评】
本题以正多边形为载体，结合全等三角形知识考查规律探究能力，解题核心是掌握从特殊到一般的探究方法，灵活运用全等三角形的性质做角的代换，同时熟记正多边形内角的计算公式。
【难度系数】
0.65
本题是正多边形背景下的规律探究题，解题思路如下：
（1）正三角形证明部分：先利用正三角形等边、等角的性质，结合已知BM=AN证明△ABN和△BCM全等，得到对应角相等，再通过角的和差关系推导∠NOC的度数；
（2）正方形问题类比正三角形的思路，先证明对应三角形全等得到等线段，再通过角的代换推导夹角的度数；
（3）正五边形问题沿用全等思路，先证三角形全等得到等线段，结合正五边形内角度数推导所求角的度数；
（4）归纳前3问的规律，结合正n边形内角公式总结通用结论。
【解析】
（1）证明：$\because△ABC$是正三角形，
$\therefore∠A=∠ABC=60°$，$AB=BC$，
在$△ABN$和$△BCM$中，
$\begin{cases}AB=BC,\\∠A=∠MBC,\\AN=BM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △BCM$ ( SAS ),
$\therefore ∠ABN = ∠BCM$.
又$\because∠ABN+∠OBC=∠ABC=60°$，
$\therefore∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°$.
（2）在正方形ABCD中，$AB=AD$，$∠BAD=∠B=90°$，
在$△ABN$和$△DAM$中，
$\begin{cases}AB=AD,\\∠B=∠DAM,\\BN=AM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △DAM$ ( SAS ),
$\therefore AN=DM$，$∠ADM=∠BAN$，
$\because∠BAN+∠DAO=∠BAD=90°$，
$\therefore∠ADM+∠DAO=90°$，
$\therefore∠AOD=180°-90°=90°$，即$∠DON=90°$.
（3）正五边形ABCDE的内角为$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，故$AB=AE$，$∠EAB=∠B=108°$，
在$△ABN$和$△EAM$中，
$\begin{cases}AB=AE,\\∠B=∠EAM,\\BN=AM,\end{cases}$
$\therefore △ABN ≌ △EAM$ ( SAS ),
$\therefore AN=EM$，$∠AEM=∠BAN$，
$\because∠BAN+∠OAE=∠EAB=108°$，
$\therefore∠AEM+∠OAE=108°$，
$\therefore∠EON=∠AEM+∠OAE=108°$.
（4）结合前三问结论：正三角形时所求角等于正三角形内角60°，正方形时等于正方形内角90°，正五边形时等于正五边形内角108°，故通用规律为所求的角等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$。
【答案】
（1）证明见解析；（2）$DM$，$90°$；（3）$EM$，$108°$；（4）所求的角恰好等于正n边形的内角$\frac{(n-2)·180°}{n}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；正多边形的性质；规律探究
【点评】
本题以正多边形为载体，结合全等三角形知识考查规律探究能力，解题核心是掌握从特殊到一般的探究方法，灵活运用全等三角形的性质做角的代换，同时熟记正多边形内角的计算公式。
【难度系数】
0.65
12. 如图，四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形，$AB=4$，$PC$，$PD$是$\odot O$的两条切线，$C$，$D$为切点.
（1）如图①，求$\odot O$的半径；
（2）如图①，若$E$是$BC$的中点，连接$PE$，求$PE$的长度；
（3）如图②，若$M$是边$BC$上任意一点（不与点$B$，$C$重合），以点$M$为直角顶点，在$BC$的上方作$∠ AMN=90°$，交直线$CP$于点$N$.求证：$AM=MN$.
（1）如图①，求$\odot O$的半径；
（2）如图①，若$E$是$BC$的中点，连接$PE$，求$PE$的长度；
（3）如图②，若$M$是边$BC$上任意一点（不与点$B$，$C$重合），以点$M$为直角顶点，在$BC$的上方作$∠ AMN=90°$，交直线$CP$于点$N$.求证：$AM=MN$.
答案
12. （1）连接BD,$\because$四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形,$∠ BAD=90°$,$\therefore BD$为$\odot O$的直径.在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$∠ BAD=90°$,$AB=AD=4$,$\therefore BD=4\sqrt{2}$,$\therefore\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$. （2）连接EO,OC,OP,OD,$\because PC,PD$是$\odot O$的两条切线,$C,D$为切点,$\therefore∠ ODP=∠ OCP=90°$.$\because$四边形ABCD是$\odot O$的内接正方形,$\therefore∠ DOC=90°$,$OD=OC$,$\therefore$四边形DOCP是正方形,$\therefore OP=4$.$\because E$是$BC$的中点,$\therefore OE⊥ BC$,$OE=2$.在$\mathrm{Rt}△ OPE$中,$∠ EOP=90°$,$OE=2$,$OP=4$,$\therefore PE=\sqrt{OE^2+OP^2}=2\sqrt{5}$. （3）证明:在AB上截取$AF=MC$,连接FM,OC,OD. $\because AB=BC$,$\therefore BF=BM$. $\because∠ B=90°$,$\therefore∠ BFM=∠ BMF=45°$,$\therefore∠ AFM=135°$.又在正方形OCPD中,$∠ DCN=45°$,$\therefore∠ MCN=∠ AFM=135°$.$\because∠ AMN=90°$,$∠ MAB+∠ AMB=∠ CMN+∠ AMB$,$\therefore∠ MAF=∠ CMN$,$\therefore△ AFM≌△ MCN$(ASA),$\therefore AM=MN$.
解析
【分析】
（1）求圆的半径时，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此正方形的对角线BD就是⊙O的直径，先利用勾股定理求出BD的长度，再除以2即可得到半径。
（2）求PE的长度时，先根据切线的性质得到OD⊥PD、OC⊥PC，结合正方形中心角∠DOC=90°，可证四边形DOCP是正方形，得到OP的长度；再由E是BC中点，可知OE是BC的弦心距，OE⊥BC且可求出OE的长度，最后证明△OPE是直角三角形，用勾股定理计算PE即可。
（3）证明AM=MN可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。在AB上截取AF=MC构造△AFM和△MCN，先由AB=BC推导出BF=BM，得到∠AFM=135°，再结合切线性质得到∠MCN=135°，然后利用同角的余角相等证明∠MAF=∠CMN，即可用ASA证明两个三角形全等，得到对应边相等。
【解析】
（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∠BAD=90°，
∴BD为⊙O的直径。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=4，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$。
（2）连接EO，OC，OP，OD，
∵PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点，
∴∠ODP=∠OCP=90°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四边形DOCP是正方形，
∴$OP=\sqrt{2}OD=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
∵E是BC的中点，O是正方形ABCD的中心，
∴OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}AB=2$，且∠EOP=90°。
在Rt△OPE中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{OE^2+OP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
（3）证明：在AB上截取AF=MC，连接FM，OC，OD。
∵AB=BC，AF=MC，
∴AB-AF=BC-MC，即BF=BM。
∵∠B=90°，
∴△BFM是等腰直角三角形，∠BFM=∠BMF=45°，
∴∠AFM=180°-45°=135°。
由（2）知四边形OCPD是正方形，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=180°-45°=135°，
∴∠AFM=∠MCN。
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠CMN=180°-90°=90°，
又
∵∠AMB+∠MAF=90°，
∴∠MAF=∠CMN。
在△AFM和△MCN中：
$\{\begin{array}{l}∠MAF=∠CMN\\AF=MC\\∠AFM=∠MCN\end{array} $
∴△AFM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN。
【答案】
（1）$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$；
（2）$PE$的长度为$2\sqrt{5}$；
（3）$AM=MN$，证明成立。
【知识点】
正多边形与圆的性质；切线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了正方形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理构造辅助线，尤其是第三问通过截长法构造全等三角形是解决此类线段相等证明题的常用思路，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）求圆的半径时，根据圆周角定理，90°的圆周角所对的弦是直径，因此正方形的对角线BD就是⊙O的直径，先利用勾股定理求出BD的长度，再除以2即可得到半径。
（2）求PE的长度时，先根据切线的性质得到OD⊥PD、OC⊥PC，结合正方形中心角∠DOC=90°，可证四边形DOCP是正方形，得到OP的长度；再由E是BC中点，可知OE是BC的弦心距，OE⊥BC且可求出OE的长度，最后证明△OPE是直角三角形，用勾股定理计算PE即可。
（3）证明AM=MN可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。在AB上截取AF=MC构造△AFM和△MCN，先由AB=BC推导出BF=BM，得到∠AFM=135°，再结合切线性质得到∠MCN=135°，然后利用同角的余角相等证明∠MAF=∠CMN，即可用ASA证明两个三角形全等，得到对应边相等。
【解析】
（1）连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∠BAD=90°，
∴BD为⊙O的直径。
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD=4，
由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$。
（2）连接EO，OC，OP，OD，
∵PC，PD是⊙O的两条切线，C，D为切点，
∴∠ODP=∠OCP=90°。
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∴四边形DOCP是正方形，
∴$OP=\sqrt{2}OD=\sqrt{2}×2\sqrt{2}=4$。
∵E是BC的中点，O是正方形ABCD的中心，
∴OE⊥BC，OE=$\frac{1}{2}AB=2$，且∠EOP=90°。
在Rt△OPE中，由勾股定理得：
$PE=\sqrt{OE^2+OP^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$。
（3）证明：在AB上截取AF=MC，连接FM，OC，OD。
∵AB=BC，AF=MC，
∴AB-AF=BC-MC，即BF=BM。
∵∠B=90°，
∴△BFM是等腰直角三角形，∠BFM=∠BMF=45°，
∴∠AFM=180°-45°=135°。
由（2）知四边形OCPD是正方形，
∴∠DCP=45°，
∴∠MCN=180°-45°=135°，
∴∠AFM=∠MCN。
∵∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠CMN=180°-90°=90°，
又
∵∠AMB+∠MAF=90°，
∴∠MAF=∠CMN。
在△AFM和△MCN中：
$\{\begin{array}{l}∠MAF=∠CMN\\AF=MC\\∠AFM=∠MCN\end{array} $
∴△AFM≌△MCN（ASA），
∴AM=MN。
【答案】
（1）$\odot O$的半径为$2\sqrt{2}$；
（2）$PE$的长度为$2\sqrt{5}$；
（3）$AM=MN$，证明成立。
【知识点】
正多边形与圆的性质；切线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了正方形的性质、圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理构造辅助线，尤其是第三问通过截长法构造全等三角形是解决此类线段相等证明题的常用思路，有助于提升几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
