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1. 下列函数中是反比例函数的是________（填序号），它们的$k$值分别是________。
① $y=\dfrac{2}{x+1}$；② $y=\dfrac{5}{x}$；③ $y=5x$；④ $xy=5$；⑤ $y=\dfrac{1}{5x}$；⑥ $y=\dfrac{a}{x}$。
① $y=\dfrac{2}{x+1}$；② $y=\dfrac{5}{x}$；③ $y=5x$；④ $xy=5$；⑤ $y=\dfrac{1}{5x}$；⑥ $y=\dfrac{a}{x}$。
答案
1. ②④⑤，$5,5,\dfrac{1}{5}$
解析
【分析】
解题首先要明确反比例函数的定义及常见形式：反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，判断时需注意：①自变量$x$只能在分母位置，且分母中不能出现其他常数项；②系数$k$必须是确定的不为0的常数。接下来将每个序号对应的函数和上述要求逐一比对，筛选出符合的函数后再对应提取$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的判定标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，等价形式有$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。
对各函数逐一分析：
① $y=\dfrac{2}{x+1}$：分母为$x+1$，自变量不是单独的$x$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
② $y=\dfrac{5}{x}$：符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=5$，是反比例函数；
③ $y=5x$：是正比例函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
④ $xy=5$：可变形为$y=\dfrac{5}{x}$，符合$xy=k$的等价形式，其中$k=5$，是反比例函数；
⑤ $y=\dfrac{1}{5x}$：可变形为$y=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=\dfrac{1}{5}$，是反比例函数；
⑥ $y=\dfrac{a}{x}$：未说明$a$是不为0的常数，无法确定是反比例函数。
综上，是反比例函数的为②④⑤，对应的$k$值分别为$5,5,\dfrac{1}{5}$。
【答案】
②④⑤，$5,5,\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的变形形式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握反比例函数的三类表达形式，要特别注意反比例函数中常数$k$必须确定且不为0，自变量$x$的次数为1且不能和其他常数加减，避免因忽略限制条件出现错选。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确反比例函数的定义及常见形式：反比例函数的标准形式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，且$k≠0$），也可变形为$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）的形式，判断时需注意：①自变量$x$只能在分母位置，且分母中不能出现其他常数项；②系数$k$必须是确定的不为0的常数。接下来将每个序号对应的函数和上述要求逐一比对，筛选出符合的函数后再对应提取$k$值即可。
【解析】
首先明确反比例函数的判定标准：形如$y=\dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为反比例函数，等价形式有$xy=k$（$k≠0$）、$y=kx^{-1}$（$k≠0$）。
对各函数逐一分析：
① $y=\dfrac{2}{x+1}$：分母为$x+1$，自变量不是单独的$x$，不符合反比例函数定义，不是反比例函数；
② $y=\dfrac{5}{x}$：符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=5$，是反比例函数；
③ $y=5x$：是正比例函数，不符合反比例函数形式，不是反比例函数；
④ $xy=5$：可变形为$y=\dfrac{5}{x}$，符合$xy=k$的等价形式，其中$k=5$，是反比例函数；
⑤ $y=\dfrac{1}{5x}$：可变形为$y=\dfrac{\dfrac{1}{5}}{x}$，符合$y=\dfrac{k}{x}$的形式，其中$k=\dfrac{1}{5}$，是反比例函数；
⑥ $y=\dfrac{a}{x}$：未说明$a$是不为0的常数，无法确定是反比例函数。
综上，是反比例函数的为②④⑤，对应的$k$值分别为$5,5,\dfrac{1}{5}$。
【答案】
②④⑤，$5,5,\dfrac{1}{5}$
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 反比例函数的变形形式
【点评】
本题是基础概念考查题，解题核心是准确掌握反比例函数的三类表达形式，要特别注意反比例函数中常数$k$必须确定且不为0，自变量$x$的次数为1且不能和其他常数加减，避免因忽略限制条件出现错选。
【难度系数】
0.8
2. 若函数$y=(m+1)x^{m^2+3m+1}$是反比例函数，则$m$的值为 （
A.$m=-2$
B.$m=1$
C.$m=2$或$m=1$
D.$m=-2$或$m=-1$
A
）A.$m=-2$
B.$m=1$
C.$m=2$或$m=1$
D.$m=-2$或$m=-1$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决本题，需结合反比例函数的定义思考：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此题目中的函数需同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不等于0。我们可以先根据指数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列如下条件：
1. 指数满足：$m^2 + 3m + 1 = -1$
2. 系数满足：$m + 1 ≠ 0$
先求解方程$m^2 + 3m + 1 = -1$：
移项得$m^2 + 3m + 2 = 0$，因式分解为$(m+1)(m+2)=0$，解得$m=-1$或$m=-2$。
再结合系数条件$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此舍去$m=-1$，最终得$m=-2$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的隐含限制，直接取方程的全部解，解题时要注意结合函数定义全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合反比例函数的定义思考：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}$（$k$为常数且$k≠0$），因此题目中的函数需同时满足两个要求：①x的指数等于-1；②x的系数不等于0。我们可以先根据指数要求列方程求出m的可能取值，再结合系数不为0的条件排除不符合的取值，即可得到正确结果。
【解析】
根据反比例函数的定义，可列如下条件：
1. 指数满足：$m^2 + 3m + 1 = -1$
2. 系数满足：$m + 1 ≠ 0$
先求解方程$m^2 + 3m + 1 = -1$：
移项得$m^2 + 3m + 2 = 0$，因式分解为$(m+1)(m+2)=0$，解得$m=-1$或$m=-2$。
再结合系数条件$m+1≠0$，即$m≠-1$，因此舍去$m=-1$，最终得$m=-2$。
所以本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 反比例函数的定义
2. 一元二次方程的求解
【点评】
本题是反比例函数定义的基础应用题型，易错点是容易忽略系数不为0的隐含限制，直接取方程的全部解，解题时要注意结合函数定义全面考虑限制条件。
【难度系数】
0.7
3. 已知$y$是$x$的反比例函数，当$x=2$时，$y=6$。
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2) 求当$x=4$时，$y$的值；
(3) 求当$y=6$时，$x$的值。
(1) 求$y$与$x$之间的函数解析式；
(2) 求当$x=4$时，$y$的值；
(3) 求当$y=6$时，$x$的值。
答案
3. (1) 设$y=\dfrac{k}{x}$,由题意,得$6=\dfrac{k}{2}$,解得$k=12$.$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$.
(2) 当$x=4$时,$y=\dfrac{12}{4}=3$.
(3) 把$y=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$,得$6=\dfrac{12}{x}$,解得$x=2$.
(2) 当$x=4$时,$y=\dfrac{12}{4}=3$.
(3) 把$y=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$,得$6=\dfrac{12}{x}$,解得$x=2$.
解析
【分析】
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：(1) 已知y是x的反比例函数，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$），要确定函数解析式只需求出未知常数k，将已知的$x=2、y=6$代入标准式，即可建立关于k的方程求解；(2) 求$x=4$对应的y值，只需将$x=4$代入第一问求出的解析式直接计算即可；(3) 求$y=6$对应的x值，同理将$y=6$代入已得解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$），
由题意将$x=2$，$y=6$代入解析式，得$6=\dfrac{k}{2}$，
解得$k=12$，
∴$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 当$x=4$时，代入解析式得$y=\dfrac{12}{4}=3$。
(3) 把$y=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$6=\dfrac{12}{x}$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $3$；(3) $2$
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值运算
【点评】
本题属于反比例函数的基础常规题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及代入已知变量求对应值的基本运算能力，熟练掌握反比例函数的基本形式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
本题围绕反比例函数的基础应用展开，解题思路清晰：(1) 已知y是x的反比例函数，首先回忆反比例函数的标准形式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k\ne0$），要确定函数解析式只需求出未知常数k，将已知的$x=2、y=6$代入标准式，即可建立关于k的方程求解；(2) 求$x=4$对应的y值，只需将$x=4$代入第一问求出的解析式直接计算即可；(3) 求$y=6$对应的x值，同理将$y=6$代入已得解析式，解关于x的方程即可得到结果。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k\ne0$），
由题意将$x=2$，$y=6$代入解析式，得$6=\dfrac{k}{2}$，
解得$k=12$，
∴$y$与$x$之间的函数解析式为$y=\dfrac{12}{x}$。
(2) 当$x=4$时，代入解析式得$y=\dfrac{12}{4}=3$。
(3) 把$y=6$代入$y=\dfrac{12}{x}$，得$6=\dfrac{12}{x}$，
解得$x=2$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{12}{x}$；(2) $3$；(3) $2$
【知识点】
1. 反比例函数的概念 2. 待定系数法求解析式 3. 函数值运算
【点评】
本题属于反比例函数的基础常规题，核心考查待定系数法求函数解析式的方法，以及代入已知变量求对应值的基本运算能力，熟练掌握反比例函数的基本形式即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
4. 已知$y=y_1+y_2$，$y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，且当$x=1$时，$y=7$；当$x=2$时，$y=8$。
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）求自变量的取值范围；
（3）求当$x=4$时，$y$的值。
（1）求$y$与$x$之间的函数解析式；
（2）求自变量的取值范围；
（3）求当$x=4$时，$y$的值。
答案
4. (1) $\because y_1$与$x$成正比例,$y_2$与$x$成反比例,设$y_1=k_1x$,$y_2=\dfrac{k_2}{x}$,$y=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$.把$x=1$,$y=7$;$x=2$,$y=8$代入$y=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$,得$\begin{cases}k_1+k_2=7,\\2k_1+\dfrac{1}{2}k_2=8.\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=3,\\k_2=4.\end{cases}$$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=3x+\dfrac{4}{x}$.
(2) 自变量的取值范围是$x≠0$.
(3) 当$x=4$时,$y=3×4+1=13$.
(2) 自变量的取值范围是$x≠0$.
(3) 当$x=4$时,$y=3×4+1=13$.
解析
【分析】
解决第(1)问时，先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，合并得到$y$关于$x$的含未知系数的表达式，再代入两组已知的$x$、$y$的对应值，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数即可确定函数解析式；第(2)问观察解析式存在分式，根据分式有意义的条件（分母不为0）即可求出自变量取值范围；第(3)问将$x=4$代入已求出的解析式计算，就能得到对应的$y$值。
【解析】
(1) $\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
$\therefore$ 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
则$y=y_1+y_2=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$。
把$x=1$，$y=7$；$x=2$，$y=8$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1+k_2=7\\2k_1+\dfrac{1}{2}k_2=8\end{cases}$
解方程组：给第二个方程两边同乘2得$4k_1+k_2=16$，减去第一个方程得$3k_1=9$，解得$k_1=3$，将$k_1=3$代入$k_1+k_2=7$，得$k_2=4$。
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=3x+\dfrac{4}{x}$。
(2) $\because$ 解析式中分母为$x$，分式有意义要求分母不为0，
$\therefore$ 自变量的取值范围是$x≠0$。
(3) 当$x=4$时，代入解析式得：
$y=3×4+\dfrac{4}{4}=12+1=13$。
【答案】
(1) $y=3x+\dfrac{4}{x}$；(2) $x≠0$；(3) $13$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数定义，反比例函数定义
【点评】
本题是正比例与反比例结合的基础题型，重点考查对正反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，解题时注意不要混淆两类函数的表达式，求自变量取值范围时不要遗漏分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，先根据正比例函数、反比例函数的定义分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，合并得到$y$关于$x$的含未知系数的表达式，再代入两组已知的$x$、$y$的对应值，得到关于未知系数的二元一次方程组，解方程组求出系数即可确定函数解析式；第(2)问观察解析式存在分式，根据分式有意义的条件（分母不为0）即可求出自变量取值范围；第(3)问将$x=4$代入已求出的解析式计算，就能得到对应的$y$值。
【解析】
(1) $\because y_1$与$x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例，
$\therefore$ 设$y_1=k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\dfrac{k_2}{x}$（$k_2≠0$），
则$y=y_1+y_2=k_1x+\dfrac{k_2}{x}$。
把$x=1$，$y=7$；$x=2$，$y=8$分别代入上式，得：
$\begin{cases}k_1+k_2=7\\2k_1+\dfrac{1}{2}k_2=8\end{cases}$
解方程组：给第二个方程两边同乘2得$4k_1+k_2=16$，减去第一个方程得$3k_1=9$，解得$k_1=3$，将$k_1=3$代入$k_1+k_2=7$，得$k_2=4$。
$\therefore y$与$x$之间的函数解析式为$y=3x+\dfrac{4}{x}$。
(2) $\because$ 解析式中分母为$x$，分式有意义要求分母不为0，
$\therefore$ 自变量的取值范围是$x≠0$。
(3) 当$x=4$时，代入解析式得：
$y=3×4+\dfrac{4}{4}=12+1=13$。
【答案】
(1) $y=3x+\dfrac{4}{x}$；(2) $x≠0$；(3) $13$
【知识点】
待定系数法求解析式，正比例函数定义，反比例函数定义
【点评】
本题是正比例与反比例结合的基础题型，重点考查对正反比例函数概念的理解和待定系数法的应用，解题时注意不要混淆两类函数的表达式，求自变量取值范围时不要遗漏分式有意义的条件。
【难度系数】
0.8
5. 若直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{6}{x}$交于$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$两点，则$3x_1y_2 - 9x_2y_1$的值为
36
。答案
5. 36
解析
【分析】
解题时首先回忆正比例函数和反比例函数的图象性质：两类函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，即两个交点的横、纵坐标分别互为相反数，可得$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。另外，反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数，因此点$A(x_1,y_1)$满足$x_1y_1=6$。最后将上述关系代入所求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{6}{x}$均关于原点中心对称，
∴两交点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。
∵点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，
∴$x_1y_1=6$。
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$3x_1y_2 - 9x_2y_1$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x_1·(-y_1) - 9·(-x_1)· y_1\\&=-3x_1y_1 +9x_1y_1\\&=6x_1y_1\\&=6×6=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
反比例函数的性质，函数的中心对称性，代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用两类函数交点关于原点对称的性质，结合反比例函数上点的横纵坐标乘积等于比例系数的特点化简求值，无需计算交点具体坐标，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆正比例函数和反比例函数的图象性质：两类函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，即两个交点的横、纵坐标分别互为相反数，可得$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。另外，反比例函数上任意一点的横、纵坐标乘积等于比例系数，因此点$A(x_1,y_1)$满足$x_1y_1=6$。最后将上述关系代入所求代数式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{6}{x}$均关于原点中心对称，
∴两交点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。
∵点$A(x_1,y_1)$在双曲线$y=\frac{6}{x}$上，
∴$x_1y_1=6$。
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$3x_1y_2 - 9x_2y_1$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=3x_1·(-y_1) - 9·(-x_1)· y_1\\&=-3x_1y_1 +9x_1y_1\\&=6x_1y_1\\&=6×6=36\end{aligned}$
【答案】
36
【知识点】
反比例函数的性质，函数的中心对称性，代数式化简求值
【点评】
本题解题核心是利用两类函数交点关于原点对称的性质，结合反比例函数上点的横纵坐标乘积等于比例系数的特点化简求值，无需计算交点具体坐标，简化了运算过程。
【难度系数】
0.6
6. 直线$y=kx+b$与双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$交于$A(-3,m),B(n,-6)$两点. 将直线$y=kx+b$向上平移8个单位长度后,与双曲线交于$D,E$两点,则$S_{△ ADE}=$
16
.答案
6. 16
解析
【分析】
解题思路分四步走：第一步，将A、B两点坐标代入双曲线解析式，求出m、n的值，得到A、B的完整坐标；第二步，把A、B坐标代入一次函数解析式，解方程组求出k、b，得到原直线的解析式；第三步，根据一次函数平移“上加下减”的规则，求出向上平移8个单位后的直线解析式；第四步，联立平移后的直线与双曲线解析式，解出D、E两点的坐标，最后用坐标平面内割补法求三角形面积即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
∵点A(-3,m)在双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$上，
∴$m=-\dfrac{6}{-3}=2$，即$A(-3,2)$；
∵点B(n,-6)在双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$上，
∴$-6=-\dfrac{6}{n}$，解得$n=1$，即$B(1,-6)$。
2. 求原直线$y=kx+b$的解析式：
将$A(-3,2)$、$B(1,-6)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} -3k + b = 2 \\ k + b = -6 \end{cases}$
用减法消元，第一个方程减第二个方程得：$-4k=8$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入第二个方程得：$-2 + b = -6$，解得$b=-4$，
∴原直线解析式为$y=-2x-4$。
3. 求平移后直线的解析式：
直线向上平移8个单位，根据平移规则“上加下减”（常数项加平移距离），平移后解析式为：
$y=-2x-4+8=-2x+4$。
4. 求D、E两点坐标：
联立平移后直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases} y=-2x+4 \\ y=-\dfrac{6}{x} \end{cases}$
消去y得：$-2x+4=-\dfrac{6}{x}$，两边同乘$x(x≠0)$整理得：$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
将x值代入$y=-2x+4$得：当$x=3$时$y=-2$；当$x=-1$时$y=6$，
∴D、E两点坐标为$(3,-2)$和$(-1,6)$。
5. 计算$S_{△ ADE}$：
用割补法，作包围三点的矩形，矩形顶点为$(-3,-2)$、$(3,-2)$、$(3,6)$、$(-3,6)$，矩形面积为$(3-(-3))×(6-(-2))=48$，
减去矩形内三个外围直角三角形的面积：
① 以A、E为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[(-1)-(-3)]×(6-2)=4$；
② 以E、D为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[3-(-1)]×[6-(-2)]=16$；
③ 以D、A为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[3-(-3)]×[2-(-2)]=12$；
∴$S_{△ ADE}=48-4-16-12=16$。
【答案】
16
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，一次函数平移，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数的基本性质，函数平移规则以及平面直角坐标系中图形面积的计算方法，解题的核心是准确求出各交点坐标，再选择简便的面积计算方法求解。
【难度系数】
0.6
解题思路分四步走：第一步，将A、B两点坐标代入双曲线解析式，求出m、n的值，得到A、B的完整坐标；第二步，把A、B坐标代入一次函数解析式，解方程组求出k、b，得到原直线的解析式；第三步，根据一次函数平移“上加下减”的规则，求出向上平移8个单位后的直线解析式；第四步，联立平移后的直线与双曲线解析式，解出D、E两点的坐标，最后用坐标平面内割补法求三角形面积即可。
【解析】
1. 求A、B两点坐标：
∵点A(-3,m)在双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$上，
∴$m=-\dfrac{6}{-3}=2$，即$A(-3,2)$；
∵点B(n,-6)在双曲线$y=-\dfrac{6}{x}$上，
∴$-6=-\dfrac{6}{n}$，解得$n=1$，即$B(1,-6)$。
2. 求原直线$y=kx+b$的解析式：
将$A(-3,2)$、$B(1,-6)$代入解析式，得方程组：
$\begin{cases} -3k + b = 2 \\ k + b = -6 \end{cases}$
用减法消元，第一个方程减第二个方程得：$-4k=8$，解得$k=-2$，将$k=-2$代入第二个方程得：$-2 + b = -6$，解得$b=-4$，
∴原直线解析式为$y=-2x-4$。
3. 求平移后直线的解析式：
直线向上平移8个单位，根据平移规则“上加下减”（常数项加平移距离），平移后解析式为：
$y=-2x-4+8=-2x+4$。
4. 求D、E两点坐标：
联立平移后直线与双曲线的解析式：
$\begin{cases} y=-2x+4 \\ y=-\dfrac{6}{x} \end{cases}$
消去y得：$-2x+4=-\dfrac{6}{x}$，两边同乘$x(x≠0)$整理得：$x^2-2x-3=0$，
因式分解得$(x-3)(x+1)=0$，解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
将x值代入$y=-2x+4$得：当$x=3$时$y=-2$；当$x=-1$时$y=6$，
∴D、E两点坐标为$(3,-2)$和$(-1,6)$。
5. 计算$S_{△ ADE}$：
用割补法，作包围三点的矩形，矩形顶点为$(-3,-2)$、$(3,-2)$、$(3,6)$、$(-3,6)$，矩形面积为$(3-(-3))×(6-(-2))=48$，
减去矩形内三个外围直角三角形的面积：
① 以A、E为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[(-1)-(-3)]×(6-2)=4$；
② 以E、D为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[3-(-1)]×[6-(-2)]=16$；
③ 以D、A为顶点的三角形面积：$\dfrac{1}{2}×[3-(-3)]×[2-(-2)]=12$；
∴$S_{△ ADE}=48-4-16-12=16$。
【答案】
16
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，一次函数平移，坐标系内三角形面积计算
【点评】
本题综合考查反比例函数、一次函数的基本性质，函数平移规则以及平面直角坐标系中图形面积的计算方法，解题的核心是准确求出各交点坐标，再选择简便的面积计算方法求解。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在平面直角坐标系中,$OA=AB$,$∠OAB=90°$,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象经过A,B两点.若点A的坐标为$(n,1)$,则k的值为
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
.答案
7. $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
首先已知点$A(n,1)$在反比例函数图象上，可得$k=n$；接下来利用$OA=AB$、$∠ OAB=90°$的等腰直角三角形条件，构造全等三角形推导点$B$的坐标；再将点$B$坐标代入反比例函数解析式得到关于$n$的方程，求解正数解即可得到$k$的值。
【解析】
1. 由点$A(n,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，可得：
$k = n × 1 = n$ ①。
2. 过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，过点$B$作$BD⊥ AC$交$AC$的延长线于点$D$。
因为$∠ OAB=90°$，所以$∠ OAC + ∠ BAD = 90°$，
又$∠ OAC + ∠ AOC = 90°$，故$∠ AOC = ∠ BAD$。
在$△ OAC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} ∠ ACO = ∠ BDA = 90° \\ ∠ AOC = ∠ BAD \\ OA = AB \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ ABD$（AAS），可得$AC=BD=1$，$OC=AD=n$。
3. 推导点$B$的坐标：
$B$的横坐标为$A$的横坐标加$BD$的长度，即$n+1$；
$B$的纵坐标为$A$的纵坐标减$AD$的长度，即$1-n$，故$B(n+1,1-n)$。
4. 将点$B$代入反比例函数解析式得：
$(n+1)(1-n)=k$ ②，
将①代入②整理得$n^2+n-1=0$，
解得$n=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，因为$n＞0$，故$n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以$k=n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形求点坐标，再结合函数解析式建立方程求解，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.3
首先已知点$A(n,1)$在反比例函数图象上，可得$k=n$；接下来利用$OA=AB$、$∠ OAB=90°$的等腰直角三角形条件，构造全等三角形推导点$B$的坐标；再将点$B$坐标代入反比例函数解析式得到关于$n$的方程，求解正数解即可得到$k$的值。
【解析】
1. 由点$A(n,1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$上，可得：
$k = n × 1 = n$ ①。
2. 过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$，过点$B$作$BD⊥ AC$交$AC$的延长线于点$D$。
因为$∠ OAB=90°$，所以$∠ OAC + ∠ BAD = 90°$，
又$∠ OAC + ∠ AOC = 90°$，故$∠ AOC = ∠ BAD$。
在$△ OAC$和$△ ABD$中：
$\begin{cases} ∠ ACO = ∠ BDA = 90° \\ ∠ AOC = ∠ BAD \\ OA = AB \end{cases}$
所以$△ OAC≌△ ABD$（AAS），可得$AC=BD=1$，$OC=AD=n$。
3. 推导点$B$的坐标：
$B$的横坐标为$A$的横坐标加$BD$的长度，即$n+1$；
$B$的纵坐标为$A$的纵坐标减$AD$的长度，即$1-n$，故$B(n+1,1-n)$。
4. 将点$B$代入反比例函数解析式得：
$(n+1)(1-n)=k$ ②，
将①代入②整理得$n^2+n-1=0$，
解得$n=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，因为$n＞0$，故$n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
所以$k=n=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数与几何的综合题，解题核心是利用等腰直角三角形的性质构造全等三角形求点坐标，再结合函数解析式建立方程求解，渗透了数形结合的思想。
【难度系数】
0.3
