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2. 实验数据显示，普通成年人喝半斤低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量$y$(单位：毫克/百毫升)与时间$x$(单位：小时)的关系可近似地用二次函数$y=-200x^2+400x$刻画；1.5小时后(包括1.5小时)$y$(单位：毫克/百毫升)与$x$(单位：小时)的关系可近似地用反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$刻画(
)。
(1) 根据上述数学模型计算：
① 喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
② 当$x=5,y=45$时，求$k$的值；
(2) 按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路。参照上述数学模型，假设某驾驶员20:00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由。
)。(1) 根据上述数学模型计算：
① 喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值为多少？
② 当$x=5,y=45$时，求$k$的值；
(2) 按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路。参照上述数学模型，假设某驾驶员20:00在家喝完半斤低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由。
答案
(1) ① $y=-200x^2+400x=-200(x-1)^2+200$,$\therefore$ 喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值,最大值为200毫克/百毫升.
② $\because$ 当$x=5$时,$y=45$,$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$,$\therefore k=xy=45×5=225$.
(2) 不能驾车上班,理由:$\because$ 当天20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,$\therefore$ 将$x=11$代入$y=\dfrac{225}{x}$,则$y=\dfrac{225}{11}＞20$,$\therefore$ 第二天早上7:00不能驾车去上班.
② $\because$ 当$x=5$时,$y=45$,$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$,$\therefore k=xy=45×5=225$.
(2) 不能驾车上班,理由:$\because$ 当天20:00到第二天早上7:00,一共有11小时,$\therefore$ 将$x=11$代入$y=\dfrac{225}{x}$,则$y=\dfrac{225}{11}＞20$,$\therefore$ 第二天早上7:00不能驾车去上班.
解析
【分析】
(1) ① 1.5小时内酒精含量符合二次函数模型，该二次函数二次项系数小于0，开口向下，顶点处为最大值，我们可以通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得到最大值对应的时间和最大酒精含量。② 1.5小时后酒精含量符合反比例函数模型，将已知的x、y值代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
(2) 先计算20:00到次日7:00的间隔时长，判断该时长大于1.5小时，因此选用反比例函数模型，代入时长求出对应酒精含量，与规定的20毫克/百毫升比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) ① 对二次函数配方：
$y=-200x^2+400x=-200(x-1)^2+200$
$\because$ 二次项系数$-200＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为200毫克/百毫升。
② 将$x=5$，$y=45$代入$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，得：
$k=xy=5×45=225$
(2) 不能驾车上班，理由：
当天20:00到第二天早上7:00的时间间隔为$24-20+7=11$小时，$11＞1.5$，将$x=11$代入反比例函数$y=\frac{225}{x}$，得$y=\frac{225}{11}\approx20.45$，$\because \frac{225}{11}＞20$，此时血液中酒精含量大于20毫克/百毫升，属于酒后驾驶，因此不能驾车上班。
【答案】
(1) ① 喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；② $k$的值为225。
(2) 第二天早上7:00不能驾车去上班，理由见解析。
【知识点】
二次函数的最值、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合酒驾的生活实际考查函数的综合应用，解题关键是根据自变量的取值范围选择对应的函数模型代入计算，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) ① 1.5小时内酒精含量符合二次函数模型，该二次函数二次项系数小于0，开口向下，顶点处为最大值，我们可以通过配方法将二次函数化为顶点式，直接得到最大值对应的时间和最大酒精含量。② 1.5小时后酒精含量符合反比例函数模型，将已知的x、y值代入反比例函数解析式，即可求出k的值。
(2) 先计算20:00到次日7:00的间隔时长，判断该时长大于1.5小时，因此选用反比例函数模型，代入时长求出对应酒精含量，与规定的20毫克/百毫升比较大小即可得出结论。
【解析】
(1) ① 对二次函数配方：
$y=-200x^2+400x=-200(x-1)^2+200$
$\because$ 二次项系数$-200＜0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x=1$时，$y$取得最大值，最大值为200毫克/百毫升。
② 将$x=5$，$y=45$代入$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，得：
$k=xy=5×45=225$
(2) 不能驾车上班，理由：
当天20:00到第二天早上7:00的时间间隔为$24-20+7=11$小时，$11＞1.5$，将$x=11$代入反比例函数$y=\frac{225}{x}$，得$y=\frac{225}{11}\approx20.45$，$\because \frac{225}{11}＞20$，此时血液中酒精含量大于20毫克/百毫升，属于酒后驾驶，因此不能驾车上班。
【答案】
(1) ① 喝酒后1小时血液中的酒精含量达到最大值，最大值为200毫克/百毫升；② $k$的值为225。
(2) 第二天早上7:00不能驾车去上班，理由见解析。
【知识点】
二次函数的最值、待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合酒驾的生活实际考查函数的综合应用，解题关键是根据自变量的取值范围选择对应的函数模型代入计算，能有效考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3. 某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元.为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：
（1）观察表中数据，$x$，$y$满足什么函数关系？请求出这个函数的解析式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
（1）观察表中数据，$x$，$y$满足什么函数关系？请求出这个函数的解析式；
（2）若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为多少元？
答案
(1) 由表中数据可得$xy=6\ 000$,$\therefore y$是$x$的反比例函数,这个函数的解析式是$y=\dfrac{6\ 000}{x}$.
(2) 由题意,得$(x-120)y=3\ 000$,将$y=\dfrac{6\ 000}{x}$代入,可得$(x-120)·\dfrac{6\ 000}{x}=3\ 000$,解得$x=240$.经检验,$x=240$是原方程的解,且符合题意.$\therefore$ 若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为240元.
(2) 由题意,得$(x-120)y=3\ 000$,将$y=\dfrac{6\ 000}{x}$代入,可得$(x-120)·\dfrac{6\ 000}{x}=3\ 000$,解得$x=240$.经检验,$x=240$是原方程的解,且符合题意.$\therefore$ 若商场计划每天的销售利润为3 000元,则其单价应定为240元.
解析
【分析】
（1）要判断x和y的函数关系，可先计算每组x、y的乘积，若乘积为定值，则符合反比例函数的特征，再设反比例函数解析式代入数据求解即可。
（2）销售利润的等量关系为：总利润=（售价-进价）×销售量，将第一问求出的y关于x的解析式代入等量关系，得到关于x的分式方程，解方程后检验解的合理性即可得到结果。
【解析】
（1）观察表格数据计算可得：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
即x和y的乘积为定值6000，因此y是x的反比例函数。
设反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$），将$x=150,y=40$代入得$k=150×40=6000$，
因此函数解析式为$y=\dfrac{6000}{x}$。
（2）根据题意，每双鞋的利润为$(x-120)$元，销售量为y双，总利润为3000元，可列方程：
$(x-120)y=3000$
将$y=\dfrac{6000}{x}$代入上式得：
$(x-120)·\dfrac{6000}{x}=3000$
方程两边同乘x得：$6000(x-120)=3000x$
化简得：$2(x-120)=x$
解得：$x=240$
检验：当$x=240$时，$x≠0$，且售价符合实际意义，因此$x=240$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $y$与$x$满足反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6\ 000}{x}}$；
(2) 单价应定为$\boldsymbol{240}$元。
【知识点】
反比例函数的应用，分式方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数和分式方程的应用，解题关键是先通过数据特征确定函数类型，再结合利润的等量关系列方程求解，需要注意分式方程必须检验解的合理性，题目贴合生活实际，考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
（1）要判断x和y的函数关系，可先计算每组x、y的乘积，若乘积为定值，则符合反比例函数的特征，再设反比例函数解析式代入数据求解即可。
（2）销售利润的等量关系为：总利润=（售价-进价）×销售量，将第一问求出的y关于x的解析式代入等量关系，得到关于x的分式方程，解方程后检验解的合理性即可得到结果。
【解析】
（1）观察表格数据计算可得：
$150×40=6000$，$200×30=6000$，$250×24=6000$，$300×20=6000$，
即x和y的乘积为定值6000，因此y是x的反比例函数。
设反比例函数解析式为$y=\dfrac{k}{x}$（$k≠0$），将$x=150,y=40$代入得$k=150×40=6000$，
因此函数解析式为$y=\dfrac{6000}{x}$。
（2）根据题意，每双鞋的利润为$(x-120)$元，销售量为y双，总利润为3000元，可列方程：
$(x-120)y=3000$
将$y=\dfrac{6000}{x}$代入上式得：
$(x-120)·\dfrac{6000}{x}=3000$
方程两边同乘x得：$6000(x-120)=3000x$
化简得：$2(x-120)=x$
解得：$x=240$
检验：当$x=240$时，$x≠0$，且售价符合实际意义，因此$x=240$是原方程的解，且符合题意。
【答案】
(1) $y$与$x$满足反比例函数关系，函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6\ 000}{x}}$；
(2) 单价应定为$\boldsymbol{240}$元。
【知识点】
反比例函数的应用，分式方程的应用，销售利润计算
【点评】
本题结合实际销售场景考查反比例函数和分式方程的应用，解题关键是先通过数据特征确定函数类型，再结合利润的等量关系列方程求解，需要注意分式方程必须检验解的合理性，题目贴合生活实际，考查基础应用能力。
【难度系数】
0.7
