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2. 为了解某一实际问题中变量$y(y＞0)$随变量$x(x＞0)$的变化情况.实验小组的同学在一定条件下,通过一次又一次的实验,测出变量$x,y$在每一次实验后的一组对应数据如下表.
(1) 根据表中数据猜想变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数关系式,并说明理由；
(2) 若$80＜y＜90$,请估计$x$的取值范围.
(1) 根据表中数据猜想变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数关系式,并说明理由；
(2) 若$80＜y＜90$,请估计$x$的取值范围.
答案
(1) 如图,变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数关系为反比例函数关系.设它的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$,把点$(60,100)$代入,得$k=60×100=6\ 000$,$\therefore$该函数表达式为$y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$.
将点$(70,86),(80,75),(90,67)(100,60)$的坐标一一代入$y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$,验证:$\dfrac{6\ 000}{70}\approx86$,$\dfrac{6\ 000}{80}=75$,$\dfrac{6\ 000}{90}\approx67$,$\dfrac{6\ 000}{100}=60$,可得$y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$,说明它能较好地反映了函数关系式.
(2)$\because y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$,$\therefore$当$y=80$时,$x=75$;当$y=90$时,$x=66\dfrac{2}{3}$,$\therefore x$的取值范围为$66\dfrac{2}{3}＜x＜75$.
解析
【分析】
(1) 要确定y与x的函数关系，首先观察表格中x、y的变化规律：x逐次减小10时y逐次增大，计算每组x与y的乘积，发现乘积近似为定值6000，符合反比例函数的特征，因此可猜想为反比例函数；接下来用待定系数法设解析式，代入点坐标求出k值，再验证其余点是否符合解析式即可确认函数关系。
(2) 已知y的取值范围求x的范围，先将y的两个边界值代入已求得的反比例函数解析式，计算出对应的x值，再结合反比例函数在x＞0区间的增减性，即可确定x的取值范围。
【解析】
(1) 观察表格数据，计算每组x和y的乘积，发现乘积近似等于6000，因此猜想y与x满足反比例函数关系。
设函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将点$(60,100)$代入得：
$k=60×100=6000$，初步得到解析式为$y=\dfrac{6000}{x}$。
将其余点代入验证：
当x=70时，$y=\dfrac{6000}{70}\approx86$，与表格数据一致；
当x=80时，$y=\dfrac{6000}{80}=75$，与表格数据一致；
当x=90时，$y=\dfrac{6000}{90}\approx67$，与表格数据一致；
当x=100时，$y=\dfrac{6000}{100}=60$，与表格数据一致；
因此变量y关于x的函数关系式为$y=\dfrac{6000}{x}(x＞0)$，对应函数图像如下：
(2) 对于$y=\dfrac{6000}{x}(x＞0)$：
当$y=80$时，代入得$80=\dfrac{6000}{x}$，解得$x=\dfrac{6000}{80}=75$；
当$y=90$时，代入得$90=\dfrac{6000}{x}$，解得$x=\dfrac{6000}{90}=66\dfrac{2}{3}$；
因为反比例函数$y=\dfrac{6000}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此当$80＜y＜90$时，x的取值范围是$66\dfrac{2}{3}＜x＜75$。
【答案】
(1) 变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数关系式为$y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$，理由见解析，对应图像：
(2) $x$的取值范围为$66\dfrac{2}{3}＜x＜75$。
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题以实验数据为背景考查反比例函数的实际应用，需要考生具备数据分析能力，先通过数据特征判断函数类型，再通过验证确认解析式，最后利用函数性质求解范围，贴合实际应用场景，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定y与x的函数关系，首先观察表格中x、y的变化规律：x逐次减小10时y逐次增大，计算每组x与y的乘积，发现乘积近似为定值6000，符合反比例函数的特征，因此可猜想为反比例函数；接下来用待定系数法设解析式，代入点坐标求出k值，再验证其余点是否符合解析式即可确认函数关系。
(2) 已知y的取值范围求x的范围，先将y的两个边界值代入已求得的反比例函数解析式，计算出对应的x值，再结合反比例函数在x＞0区间的增减性，即可确定x的取值范围。
【解析】
(1) 观察表格数据，计算每组x和y的乘积，发现乘积近似等于6000，因此猜想y与x满足反比例函数关系。
设函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}(k≠0,x＞0)$，将点$(60,100)$代入得：
$k=60×100=6000$，初步得到解析式为$y=\dfrac{6000}{x}$。
将其余点代入验证：
当x=70时，$y=\dfrac{6000}{70}\approx86$，与表格数据一致；
当x=80时，$y=\dfrac{6000}{80}=75$，与表格数据一致；
当x=90时，$y=\dfrac{6000}{90}\approx67$，与表格数据一致；
当x=100时，$y=\dfrac{6000}{100}=60$，与表格数据一致；
因此变量y关于x的函数关系式为$y=\dfrac{6000}{x}(x＞0)$，对应函数图像如下：
(2) 对于$y=\dfrac{6000}{x}(x＞0)$：
当$y=80$时，代入得$80=\dfrac{6000}{x}$，解得$x=\dfrac{6000}{80}=75$；
当$y=90$时，代入得$90=\dfrac{6000}{x}$，解得$x=\dfrac{6000}{90}=66\dfrac{2}{3}$；
因为反比例函数$y=\dfrac{6000}{x}$在$x＞0$时，y随x的增大而减小，因此当$80＜y＜90$时，x的取值范围是$66\dfrac{2}{3}＜x＜75$。
【答案】
(1) 变量$y(y＞0)$关于变量$x(x＞0)$的函数关系式为$y=\dfrac{6\ 000}{x}(x＞0)$，理由见解析，对应图像：
(2) $x$的取值范围为$66\dfrac{2}{3}＜x＜75$。
【知识点】
反比例函数的判定；待定系数法求解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题以实验数据为背景考查反比例函数的实际应用，需要考生具备数据分析能力，先通过数据特征判断函数类型，再通过验证确认解析式，最后利用函数性质求解范围，贴合实际应用场景，能有效考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
3. 某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出.据市场调查，若按每个玩具280元销售，每月可销售300个.若销售单价每降低1元，每月可多售出2个.据统计，每个玩具的固定成本Q(单位：元)与月产销量y(单位：个)满足如下关系：
(1) 写出月产销量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)之间的函数解析式；
(2) 求每个玩具的固定成本Q(单位：元)与月产销量y(单位：个)之间的函数解析式；
(3) 若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4) 若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
(1) 写出月产销量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)之间的函数解析式；
(2) 求每个玩具的固定成本Q(单位：元)与月产销量y(单位：个)之间的函数解析式；
(3) 若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？
(4) 若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？
答案
(1) $y=-2x+860$
(2) $Q=\dfrac{9\ 600}{y}$
(3) 把$Q=30$代入$Q=\dfrac{9\ 600}{y}$,得$30=\dfrac{9\ 600}{y}$,解得$y=320$.把$y=320$代入$y=-2x+860$,得$320=-2x+860$,解得$x=270$,$\because 30÷270=\dfrac{1}{9}$,$\therefore$若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的$\dfrac{1}{9}$.
(4) 对于$Q=\dfrac{9\ 600}{y}(y＞0)$,$\because 9\ 600＞0$,$\therefore Q$随$y$的增大而减小.$\because y≤400$,$\therefore$当$y=400$时,$Q_{\mathrm{最小值}}=\dfrac{9\ 600}{400}=24$.即这种玩具的月产销量不超过400个时,每个玩具的固定成本至少为24元.对于$y=-2x+860$,$\because -2＜0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\therefore$当$y=400$,即$400=-2x+860$时,$x_{\mathrm{最小值}}=230$,即这种玩具的月产销量不超过400个时,销售单价最低为230元.
(2) $Q=\dfrac{9\ 600}{y}$
(3) 把$Q=30$代入$Q=\dfrac{9\ 600}{y}$,得$30=\dfrac{9\ 600}{y}$,解得$y=320$.把$y=320$代入$y=-2x+860$,得$320=-2x+860$,解得$x=270$,$\because 30÷270=\dfrac{1}{9}$,$\therefore$若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的$\dfrac{1}{9}$.
(4) 对于$Q=\dfrac{9\ 600}{y}(y＞0)$,$\because 9\ 600＞0$,$\therefore Q$随$y$的增大而减小.$\because y≤400$,$\therefore$当$y=400$时,$Q_{\mathrm{最小值}}=\dfrac{9\ 600}{400}=24$.即这种玩具的月产销量不超过400个时,每个玩具的固定成本至少为24元.对于$y=-2x+860$,$\because -2＜0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小.$\therefore$当$y=400$,即$400=-2x+860$时,$x_{\mathrm{最小值}}=230$,即这种玩具的月产销量不超过400个时,销售单价最低为230元.
解析
【分析】
(1) 求解月产销量y与销售单价x的函数关系：已知销售单价为280元时月销量300个，单价每降1元月销量增加2个，当单价为x元时，单价降低了$(280-x)$元，因此多售出$2(280-x)$个，用基础销量加额外销量即可得到y与x的关系式，化简后即为所求一次函数解析式。
(2) 求解固定成本Q与月产销量y的函数关系：观察表格中y和Q的对应值，可发现二者乘积为定值，因此Q是y的反比例函数，设反比例函数解析式为$Q=\dfrac{k}{y}$，代入任意一组表格数据即可求出常数k，得到函数解析式。
(3) 求固定成本占销售单价的比例：先将$Q=30$代入反比例函数解析式求出对应的y值，再将y值代入一次函数解析式求出对应销售单价x，最后用固定成本除以销售单价即可得到占比。
(4) 求解固定成本最小值和最低销售单价：首先根据月产销量不超过400个得到$y≤400$；结合反比例函数$Q=\dfrac{9600}{y}$的增减性（$k＞0$时，Q随y的增大而减小），可知y取最大值400时Q取得最小值；再结合一次函数$y=-2x+860$的增减性（$k＜0$时，y随x的增大而减小），可知y取最大值400时，对应的x即为最低销售单价。
【解析】
(1) 由题意得：
$y=300+2(280-x)$
化简得：$y=-2x+860$
(2) 观察表格数据，$160×60=9600$，$200×48=9600$，$240×40=9600$，可知y与Q的乘积为定值9600，因此设$Q=\dfrac{k}{y}$，将$y=160,Q=60$代入得$k=160×60=9600$，因此$Q=\dfrac{9600}{y}$。
(3) 把$Q=30$代入$Q=\dfrac{9600}{y}$，得$30=\dfrac{9600}{y}$，解得$y=320$。
把$y=320$代入$y=-2x+860$，得$320=-2x+860$，解得$x=270$。
则固定成本占销售单价的比例为$30÷270=\dfrac{1}{9}$。
(4) 对于$Q=\dfrac{9600}{y}(y＞0)$，$\because9600＞0$，$\therefore Q$随$y$的增大而减小，已知$y≤400$，因此当$y=400$时，Q取得最小值：
$Q_{\mathrm{最小值}}=\dfrac{9600}{400}=24$，即固定成本至少为24元。
对于$y=-2x+860$，$\because-2＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，当$y=400$时，x取得最小值：
$400=-2x+860$，解得$x=230$，即销售单价最低为230元。
【答案】
(1) $y=-2x+860$
(2) $Q=\dfrac{9600}{y}$
(3) $\dfrac{1}{9}$
(4) 每个玩具的固定成本至少为24元，销售单价最低为230元
【知识点】
一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，反比例函数的性质
【点评】
本题以生产销售的实际场景为载体，综合考查一次函数与反比例函数的应用，解题核心是先根据题意求出对应函数解析式，再结合函数增减性解决最值问题，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解月产销量y与销售单价x的函数关系：已知销售单价为280元时月销量300个，单价每降1元月销量增加2个，当单价为x元时，单价降低了$(280-x)$元，因此多售出$2(280-x)$个，用基础销量加额外销量即可得到y与x的关系式，化简后即为所求一次函数解析式。
(2) 求解固定成本Q与月产销量y的函数关系：观察表格中y和Q的对应值，可发现二者乘积为定值，因此Q是y的反比例函数，设反比例函数解析式为$Q=\dfrac{k}{y}$，代入任意一组表格数据即可求出常数k，得到函数解析式。
(3) 求固定成本占销售单价的比例：先将$Q=30$代入反比例函数解析式求出对应的y值，再将y值代入一次函数解析式求出对应销售单价x，最后用固定成本除以销售单价即可得到占比。
(4) 求解固定成本最小值和最低销售单价：首先根据月产销量不超过400个得到$y≤400$；结合反比例函数$Q=\dfrac{9600}{y}$的增减性（$k＞0$时，Q随y的增大而减小），可知y取最大值400时Q取得最小值；再结合一次函数$y=-2x+860$的增减性（$k＜0$时，y随x的增大而减小），可知y取最大值400时，对应的x即为最低销售单价。
【解析】
(1) 由题意得：
$y=300+2(280-x)$
化简得：$y=-2x+860$
(2) 观察表格数据，$160×60=9600$，$200×48=9600$，$240×40=9600$，可知y与Q的乘积为定值9600，因此设$Q=\dfrac{k}{y}$，将$y=160,Q=60$代入得$k=160×60=9600$，因此$Q=\dfrac{9600}{y}$。
(3) 把$Q=30$代入$Q=\dfrac{9600}{y}$，得$30=\dfrac{9600}{y}$，解得$y=320$。
把$y=320$代入$y=-2x+860$，得$320=-2x+860$，解得$x=270$。
则固定成本占销售单价的比例为$30÷270=\dfrac{1}{9}$。
(4) 对于$Q=\dfrac{9600}{y}(y＞0)$，$\because9600＞0$，$\therefore Q$随$y$的增大而减小，已知$y≤400$，因此当$y=400$时，Q取得最小值：
$Q_{\mathrm{最小值}}=\dfrac{9600}{400}=24$，即固定成本至少为24元。
对于$y=-2x+860$，$\because-2＜0$，$\therefore y$随$x$的增大而减小，当$y=400$时，x取得最小值：
$400=-2x+860$，解得$x=230$，即销售单价最低为230元。
【答案】
(1) $y=-2x+860$
(2) $Q=\dfrac{9600}{y}$
(3) $\dfrac{1}{9}$
(4) 每个玩具的固定成本至少为24元，销售单价最低为230元
【知识点】
一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用，反比例函数的性质
【点评】
本题以生产销售的实际场景为载体，综合考查一次函数与反比例函数的应用，解题核心是先根据题意求出对应函数解析式，再结合函数增减性解决最值问题，能够有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
1. 将油箱注满k L油后，轿车可行驶的总路程s(单位：km)与平均耗油量a(单位：L/km)之间满足反比例函数$s=\frac{k}{a}$（k是常数，k≠0）。已知某轿车油箱注满油后，当平均耗油量为0.1 L/km时，可行驶700 km。
（1）求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
（2）当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
（1）求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
（2）当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶多少千米？
答案
(1) 把$a=0.1,s=700$代入$s=\dfrac{k}{a}$,得$700=\dfrac{k}{0.1}$,解得$k=70$,$\therefore s=\dfrac{70}{a}$.
(2) 把$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$,得$s=875$.$\therefore$当平均耗油量为0.08 L/km时,该轿车可以行驶875 km.
(2) 把$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$,得$s=875$.$\therefore$当平均耗油量为0.08 L/km时,该轿车可以行驶875 km.
解析
【分析】
解决第（1）问时，题目已明确给出s与a的反比例函数关系为$s=\frac{k}{a}$，仅需求出常数k即可得到完整解析式，我们可以将已知的a=0.1、s=700这组对应值代入函数式，解方程求出k的值。第（2）问已经得到了s与a的函数解析式，仅需将自变量a=0.08代入解析式，计算即可得到对应的可行驶路程s。
【解析】
（1）把$a=0.1$，$s=700$代入$s=\dfrac{k}{a}$，得：
$700=\dfrac{k}{0.1}$
解得$k=700×0.1=70$
$\therefore$ s与a之间的函数解析式为$s=\dfrac{70}{a}$。
（2）把$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$，得：
$s=\dfrac{70}{0.08}=875$
$\therefore$ 当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶875 km。
【答案】
（1）$s=\dfrac{70}{a}$；（2）875 km
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用；代入法求函数值
【点评】
本题结合车辆油耗的生活场景考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求解析式、已知自变量求函数值的基本方法，贴合生活实际，侧重基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
解决第（1）问时，题目已明确给出s与a的反比例函数关系为$s=\frac{k}{a}$，仅需求出常数k即可得到完整解析式，我们可以将已知的a=0.1、s=700这组对应值代入函数式，解方程求出k的值。第（2）问已经得到了s与a的函数解析式，仅需将自变量a=0.08代入解析式，计算即可得到对应的可行驶路程s。
【解析】
（1）把$a=0.1$，$s=700$代入$s=\dfrac{k}{a}$，得：
$700=\dfrac{k}{0.1}$
解得$k=700×0.1=70$
$\therefore$ s与a之间的函数解析式为$s=\dfrac{70}{a}$。
（2）把$a=0.08$代入$s=\dfrac{70}{a}$，得：
$s=\dfrac{70}{0.08}=875$
$\therefore$ 当平均耗油量为0.08 L/km时，该轿车可以行驶875 km。
【答案】
（1）$s=\dfrac{70}{a}$；（2）875 km
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数实际应用；代入法求函数值
【点评】
本题结合车辆油耗的生活场景考查反比例函数的基础应用，核心是掌握待定系数法求解析式、已知自变量求函数值的基本方法，贴合生活实际，侧重基础知识的考察。
【难度系数】
0.8
