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一、填一填。
1. 【跨学科】有一排声母按一定的规律排列：bpmfdtnbpmfdtn……
（1）第24个声母是（
（2）在前24个声母中，“p”出现了（
1. 【跨学科】有一排声母按一定的规律排列：bpmfdtnbpmfdtn……
（1）第24个声母是（
m
）。（2）在前24个声母中，“p”出现了（
4
）次。答案
1.(1)m (2)4
解析
【分析】
首先观察这排声母的排列特点，找到重复出现的部分：“bpmfdtn”共7个声母为一组循环排列。解决问题时，先通过有余数的除法计算24个声母包含几组完整的循环、余下几个，再根据余数确定第24个声母；计算“p”的出现次数时，先算整组里“p”的次数，再看余数部分有没有“p”，相加即可得到总次数。
【解析】
观察排列可知，声母按“b、p、m、f、d、t、n”7个为一组不断重复排列。
（1）计算24个声母包含的完整组数和余数：
$24 ÷ 7 = 3$（组）$\dots\dots3$（个）
即24个声母里有3组完整的循环，还剩3个声母，按顺序数余下的第3个声母是m，所以第24个声母是m。
（2）每组循环里有1个“p”，3组完整循环里“p”的次数：$3×1=3$（次）
余下的3个声母里还有1个“p”，总次数为：$3+1=4$（次）
【答案】
(1)m (2)4
【知识点】
周期规律，有余数除法的应用
【点评】
本题结合拼音知识考查规律探究能力，需要先找到重复的排列组，再借助有余数的除法求解，能有效锻炼观察能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
首先观察这排声母的排列特点，找到重复出现的部分：“bpmfdtn”共7个声母为一组循环排列。解决问题时，先通过有余数的除法计算24个声母包含几组完整的循环、余下几个，再根据余数确定第24个声母；计算“p”的出现次数时，先算整组里“p”的次数，再看余数部分有没有“p”，相加即可得到总次数。
【解析】
观察排列可知，声母按“b、p、m、f、d、t、n”7个为一组不断重复排列。
（1）计算24个声母包含的完整组数和余数：
$24 ÷ 7 = 3$（组）$\dots\dots3$（个）
即24个声母里有3组完整的循环，还剩3个声母，按顺序数余下的第3个声母是m，所以第24个声母是m。
（2）每组循环里有1个“p”，3组完整循环里“p”的次数：$3×1=3$（次）
余下的3个声母里还有1个“p”，总次数为：$3+1=4$（次）
【答案】
(1)m (2)4
【知识点】
周期规律，有余数除法的应用
【点评】
本题结合拼音知识考查规律探究能力，需要先找到重复的排列组，再借助有余数的除法求解，能有效锻炼观察能力和知识迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
2. ★÷6=3……▲，余数最大是(
5
)，当余数最大时，被除数是(23
)。答案
5 23
解析
【分析】
解这道题可以分两步思考：第一步先确定最大余数，要用到有余数除法的核心规则：余数必须比除数小。本题除数是6，所以余数要小于6，比6小的正整数里最大的数就是最大余数。第二步计算余数最大时的被除数，我们学过有余数除法中被除数的计算方法：被除数=商×除数+余数，把已知的商、除数和求出的最大余数代入公式就能算出结果。
【解析】
1. 求最大余数
在有余数的除法中，余数一定小于除数。本题除数是6，所以余数最大为：$6-1=5$
2. 求余数最大时的被除数
根据有余数除法各部分的关系：$\mathrm{被除数}=\mathrm{商}×\mathrm{除数}+\mathrm{余数}$，代入商=3，除数=6，余数=5可得：
$3×6+5=18+5=23$
【答案】
5 23
【知识点】
1. 余数与除数的关系
2. 有余数除法各部分关系
【点评】
本题是有余数除法的基础常考题，主要考查对余数性质的理解和被除数计算方法的掌握，牢记相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解这道题可以分两步思考：第一步先确定最大余数，要用到有余数除法的核心规则：余数必须比除数小。本题除数是6，所以余数要小于6，比6小的正整数里最大的数就是最大余数。第二步计算余数最大时的被除数，我们学过有余数除法中被除数的计算方法：被除数=商×除数+余数，把已知的商、除数和求出的最大余数代入公式就能算出结果。
【解析】
1. 求最大余数
在有余数的除法中，余数一定小于除数。本题除数是6，所以余数最大为：$6-1=5$
2. 求余数最大时的被除数
根据有余数除法各部分的关系：$\mathrm{被除数}=\mathrm{商}×\mathrm{除数}+\mathrm{余数}$，代入商=3，除数=6，余数=5可得：
$3×6+5=18+5=23$
【答案】
5 23
【知识点】
1. 余数与除数的关系
2. 有余数除法各部分关系
【点评】
本题是有余数除法的基础常考题，主要考查对余数性质的理解和被除数计算方法的掌握，牢记相关规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
二、看图填空。
1.
□○4=□……□
4○□○□=□
2.
1.
□○4=□……□
4○□○□=□
2.
答案
1. 14 ÷ 4 = 3……2
4 × 3 + 2 = 14
4 × 3 + 2 = 14
解析
【分析】
首先观察第一个算式的形式是有余数的除法，运算符号为除号，我们先确定要分的总数量为14，把14按每4个为一份来分，计算能分几份、剩余几个，注意余数要比除数小。再看第二个算式，是有余数除法的验算式，根据“除数×商+余数=被除数”的关系，就能填出对应的运算符号和数字。
【解析】
1. 第一个算式：属于有余数除法，总数量是14，运算符号填÷，14除以4，商是3，剩下的2是余数，且2＜4符合余数的要求，所以得到$14÷4=3······2$。
2. 第二个算式：根据有余数除法各部分的关系，用除数乘商再加余数就能得到被除数，所以先填乘号、商3，再填加号、余数2，计算可得$4×3+2=14$。
【答案】
1. $14 ÷ 4 = 3······2$
$4 × 3 + 2 = 14$
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算、除法验算
【点评】
本题考察有余数除法的基础应用，既需要理解有余数除法的含义，也要掌握其验算方法，属于该章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
首先观察第一个算式的形式是有余数的除法，运算符号为除号，我们先确定要分的总数量为14，把14按每4个为一份来分，计算能分几份、剩余几个，注意余数要比除数小。再看第二个算式，是有余数除法的验算式，根据“除数×商+余数=被除数”的关系，就能填出对应的运算符号和数字。
【解析】
1. 第一个算式：属于有余数除法，总数量是14，运算符号填÷，14除以4，商是3，剩下的2是余数，且2＜4符合余数的要求，所以得到$14÷4=3······2$。
2. 第二个算式：根据有余数除法各部分的关系，用除数乘商再加余数就能得到被除数，所以先填乘号、商3，再填加号、余数2，计算可得$4×3+2=14$。
【答案】
1. $14 ÷ 4 = 3······2$
$4 × 3 + 2 = 14$
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算、除法验算
【点评】
本题考察有余数除法的基础应用，既需要理解有余数除法的含义，也要掌握其验算方法，属于该章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
2.
□○□=□……□
□○□○□=□
□○□=□……□
□○□○□=□
答案
2. 28 ÷ 5 = 5……3
5 × 5 + 3 = 28
5 × 5 + 3 = 28
解析
【分析】
这道题包含两类算式，第一类是有余数的除法算式，解题时要牢记有余数除法的核心规则：余数必须小于除数；第二类是有余数除法的验算算式，我们可以利用有余数除法各部分的关系：商×除数+余数=被除数，来写出对应的乘加算式，先完成有余数除法的计算，再用乘加方法验算即可。
【解析】
1. 列有余数除法算式：取被除数为28，除数为5，计算时想5的乘法口诀，5×5=25，28减25得3，余数3小于除数5，符合有余数除法要求，因此算式为$28÷5=5······3$。
2. 列验算乘加算式：根据有余数除法各部分关系，用商乘除数再加余数可得到被除数，代入数值计算：$5×5+3=25+3=28$。
【答案】
$28÷5=5······3$
$5×5+3=28$
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算、除法验算
【点评】
本题考查有余数除法的基本规则和各部分之间的关系，解题时注意余数要小于除数，熟练掌握有余数除法的验算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
这道题包含两类算式，第一类是有余数的除法算式，解题时要牢记有余数除法的核心规则：余数必须小于除数；第二类是有余数除法的验算算式，我们可以利用有余数除法各部分的关系：商×除数+余数=被除数，来写出对应的乘加算式，先完成有余数除法的计算，再用乘加方法验算即可。
【解析】
1. 列有余数除法算式：取被除数为28，除数为5，计算时想5的乘法口诀，5×5=25，28减25得3，余数3小于除数5，符合有余数除法要求，因此算式为$28÷5=5······3$。
2. 列验算乘加算式：根据有余数除法各部分关系，用商乘除数再加余数可得到被除数，代入数值计算：$5×5+3=25+3=28$。
【答案】
$28÷5=5······3$
$5×5+3=28$
【知识点】
有余数的除法、乘加混合运算、除法验算
【点评】
本题考查有余数除法的基本规则和各部分之间的关系，解题时注意余数要小于除数，熟练掌握有余数除法的验算方法即可正确解答。
【难度系数】
0.8
三、列竖式计算。
43÷7=
26÷3=
19÷2=
60÷8=
46÷9=
61÷7=
43÷7=
26÷3=
19÷2=
60÷8=
46÷9=
61÷7=
答案
竖式略 6……1 8……2
9……1 7……4 5……1
8……5
9……1 7……4 5……1
8……5
解析
【分析】
这是有余数的除法计算题，解题时按照“试商→计算积→求余数→检验余数”的步骤思考：1. 试商：想除数对应的乘法口诀，找和除数相乘最接近被除数、且比被除数小的数，这个数就是商，商要写在被除数的个位上方；2. 计算商和除数的乘积，写在被除数的下面；3. 用被除数减去乘积得到余数；4. 检验：余数必须比除数小，如果余数大于等于除数，说明商小了，要调大再算。
【解析】
有余数除法列竖式步骤：先写除号，将被除数写在除号里面，除数写在除号左侧，再按下面方法计算每道题：
1. $43÷7$：想7的乘法口诀，“六七四十二”，42最接近43且小于43，商是6；$6×7=42$，$43-42=1$，余数1＜7，结果为6……1
2. $26÷3$：想3的乘法口诀，“三八二十四”，24最接近26且小于26，商是8；$8×3=24$，$26-24=2$，余数2＜3，结果为8……2
3. $19÷2$：想2的乘法口诀，“二九十八”，18最接近19且小于19，商是9；$9×2=18$，$19-18=1$，余数1＜2，结果为9……1
4. $60÷8$：想8的乘法口诀，“七八五十六”，56最接近60且小于60，商是7；$7×8=56$，$60-56=4$，余数4＜8，结果为7……4
5. $46÷9$：想9的乘法口诀，“五九四十五”，45最接近46且小于46，商是5；$5×9=45$，$46-45=1$，余数1＜9，结果为5……1
6. $61÷7$：想7的乘法口诀，“七八五十六”，56最接近61且小于61，商是8；$8×7=56$，$61-56=5$，余数5＜7，结果为8……5
（竖式按照上述步骤书写即可）
【答案】
竖式略 6……1 8……2
9……1 7……4 5……1
8……5
【知识点】
有余数的除法；除法竖式计算；余数小于除数
【点评】
本题是基础的除法计算类题目，核心是熟练运用乘法口诀试商，同时要牢记余数必须小于除数的规则，有助于巩固除法竖式的书写规范，提升有余数除法的计算准确率。
【难度系数】
0.8
这是有余数的除法计算题，解题时按照“试商→计算积→求余数→检验余数”的步骤思考：1. 试商：想除数对应的乘法口诀，找和除数相乘最接近被除数、且比被除数小的数，这个数就是商，商要写在被除数的个位上方；2. 计算商和除数的乘积，写在被除数的下面；3. 用被除数减去乘积得到余数；4. 检验：余数必须比除数小，如果余数大于等于除数，说明商小了，要调大再算。
【解析】
有余数除法列竖式步骤：先写除号，将被除数写在除号里面，除数写在除号左侧，再按下面方法计算每道题：
1. $43÷7$：想7的乘法口诀，“六七四十二”，42最接近43且小于43，商是6；$6×7=42$，$43-42=1$，余数1＜7，结果为6……1
2. $26÷3$：想3的乘法口诀，“三八二十四”，24最接近26且小于26，商是8；$8×3=24$，$26-24=2$，余数2＜3，结果为8……2
3. $19÷2$：想2的乘法口诀，“二九十八”，18最接近19且小于19，商是9；$9×2=18$，$19-18=1$，余数1＜2，结果为9……1
4. $60÷8$：想8的乘法口诀，“七八五十六”，56最接近60且小于60，商是7；$7×8=56$，$60-56=4$，余数4＜8，结果为7……4
5. $46÷9$：想9的乘法口诀，“五九四十五”，45最接近46且小于46，商是5；$5×9=45$，$46-45=1$，余数1＜9，结果为5……1
6. $61÷7$：想7的乘法口诀，“七八五十六”，56最接近61且小于61，商是8；$8×7=56$，$61-56=5$，余数5＜7，结果为8……5
（竖式按照上述步骤书写即可）
【答案】
竖式略 6……1 8……2
9……1 7……4 5……1
8……5
【知识点】
有余数的除法；除法竖式计算；余数小于除数
【点评】
本题是基础的除法计算类题目，核心是熟练运用乘法口诀试商，同时要牢记余数必须小于除数的规则，有助于巩固除法竖式的书写规范，提升有余数除法的计算准确率。
【难度系数】
0.8
