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16. 小鑫、小童两人同时解方程组$\begin{cases}\frac{1}{2}ax - by = 1,①\\ax - y = 17②\end{cases}$时，小鑫看错了方程②中的$a$，解得$\begin{cases}x=4,\\y=1,\end{cases}$小童看错了方程①中的$b$，解得$\begin{cases}x=5,\\y=-7.\end{cases}$
(1)求正确的$a,b$的值；
(2)求原方程组正确的解。
(1)求正确的$a,b$的值；
(2)求原方程组正确的解。
答案
16. (1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
解析
【分析】
解本题的关键是明确：看错某个方程中的未知数系数时，求出的解仍然满足另一个没有看错的方程。小鑫看错了方程②的a，因此他的解适合方程①；小童看错了方程①的b，因此他的解适合方程②。将两组解分别代入对应的未看错的方程，即可得到关于a、b的关系式，求出a、b的值后，再代入原方程组求解即可。
【解析】
(1) 因为小鑫看错了方程②中的$a$，所以$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$是方程①的解，将其代入①得：
$\frac{1}{2}a×4 - b×1 = 1$，化简得$2a - b = 1$ ③；
因为小童看错了方程①中的$b$，所以$\begin{cases}x=5\\y=-7\end{cases}$是方程②的解，将其代入②得：
$a×5 - (-7) = 17$，即$5a + 7 = 17$，解得$a=2$；
将$a=2$代入③得：$2×2 - b = 1$，解得$b=3$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}×2x - 3y = 1\\2x - y = 17\end{cases}$，化简为$\begin{cases}x - 3y = 1 ④\\2x - y = 17 ⑤\end{cases}$；
由④得$x = 3y + 1$，代入⑤得：$2(3y+1) - y = 17$，
展开计算得$6y + 2 - y = 17$，即$5y = 15$，解得$y=3$；
将$y=3$代入$x = 3y +1$得$x = 3×3 +1 = 10$。
【答案】
(1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组解的定义的典型应用，解题核心是找准可代入的正确方程，后续按常规解二元一次方程组的方法计算即可，重点考查对概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
解本题的关键是明确：看错某个方程中的未知数系数时，求出的解仍然满足另一个没有看错的方程。小鑫看错了方程②的a，因此他的解适合方程①；小童看错了方程①的b，因此他的解适合方程②。将两组解分别代入对应的未看错的方程，即可得到关于a、b的关系式，求出a、b的值后，再代入原方程组求解即可。
【解析】
(1) 因为小鑫看错了方程②中的$a$，所以$\begin{cases}x=4\\y=1\end{cases}$是方程①的解，将其代入①得：
$\frac{1}{2}a×4 - b×1 = 1$，化简得$2a - b = 1$ ③；
因为小童看错了方程①中的$b$，所以$\begin{cases}x=5\\y=-7\end{cases}$是方程②的解，将其代入②得：
$a×5 - (-7) = 17$，即$5a + 7 = 17$，解得$a=2$；
将$a=2$代入③得：$2×2 - b = 1$，解得$b=3$。
(2) 将$a=2$，$b=3$代入原方程组，得：
$\begin{cases}\frac{1}{2}×2x - 3y = 1\\2x - y = 17\end{cases}$，化简为$\begin{cases}x - 3y = 1 ④\\2x - y = 17 ⑤\end{cases}$；
由④得$x = 3y + 1$，代入⑤得：$2(3y+1) - y = 17$，
展开计算得$6y + 2 - y = 17$，即$5y = 15$，解得$y=3$；
将$y=3$代入$x = 3y +1$得$x = 3×3 +1 = 10$。
【答案】
(1)$\begin{cases}a=2, \\ b=3.\end{cases}$
(2)$\begin{cases}x=10, \\ y=3.\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组的解，代入消元法解二元一次方程组
【点评】
本题是二元一次方程组解的定义的典型应用，解题核心是找准可代入的正确方程，后续按常规解二元一次方程组的方法计算即可，重点考查对概念的理解和基础计算能力。
【难度系数】
0.7
17.某服装厂加工A,B两种款式的服装共100件,加工A种服装的成本为每件80元,加工B种服装的成本为每件100元,加工两种服装的成本共9200元.
(1)A,B两种服装各加工了多少件?
(2)将这100件服装送到商场销售,A种服装的售价为每件200元,B种服装的售价为每件220元.销售过程中发现A种服装的销量不好,A种服装卖出一定数量后,该服装厂决定将余下的部分按原价的七折出售,两种服装全部卖出后,共获利9840元,则A种服装卖出多少件后打折销售?
(1)A,B两种服装各加工了多少件?
(2)将这100件服装送到商场销售,A种服装的售价为每件200元,B种服装的售价为每件220元.销售过程中发现A种服装的销量不好,A种服装卖出一定数量后,该服装厂决定将余下的部分按原价的七折出售,两种服装全部卖出后,共获利9840元,则A种服装卖出多少件后打折销售?
答案
17. (1)加工了 40 件 A 种服装,60 件 B 种服装.
(2)A 种服装卖出 4 件后打折销售.
(2)A 种服装卖出 4 件后打折销售.
解析
【分析】
(1) 本题可通过设未知数列一元一次方程求解，先设A种服装的加工数量为未知数，用总数量表示B种服装的数量，再根据“两种服装加工总成本为9200元”的等量关系列方程，解方程即可得到两种服装的加工数量。
(2) 第二问属于销售利润类问题，核心等量关系为“总利润=总售价-总成本”。已知总成本和总利润，先计算B种服装的总售价，再设A种服装按原价卖出的数量为未知数，分别表示出A种服装原价销售、打折销售的总售价，结合总售价的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设加工A种服装x件，则加工B种服装$(100-x)$件。
根据总成本列方程：
$80x + 100(100-x) = 9200$
展开得：$80x + 10000 - 100x = 9200$
移项合并同类项得：$-20x = -800$
解得：$x = 40$
则B种服装的加工数量为$100-40=60$（件）
(2) 设A种服装卖出m件后打折销售。
总售价 = 总成本 + 总利润 = $9200+9840=19040$元
B种服装全部按原价销售，总售价为：$60×220=13200$元
A种服装总售价为原价销售部分加打折销售部分，列总售价方程：
$200m + 200×0.7×(40-m) + 13200 = 19040$
化简计算：
$200m + 5600 - 140m = 19040 - 13200$
$60m = 240$
解得：$m=4$
【答案】
(1) 加工了40件A种服装，60件B种服装；
(2) A种服装卖出4件后打折销售。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润计算，打折销售问题
【点评】
本题结合生产销售的实际场景，考查方程的实际应用能力，解题核心是找准等量关系，合理设未知数，注意折扣换算的准确性，整体逻辑清晰，解题步骤常规，梳理清数量关系即可正确解答。
【难度系数】
0.7
(1) 本题可通过设未知数列一元一次方程求解，先设A种服装的加工数量为未知数，用总数量表示B种服装的数量，再根据“两种服装加工总成本为9200元”的等量关系列方程，解方程即可得到两种服装的加工数量。
(2) 第二问属于销售利润类问题，核心等量关系为“总利润=总售价-总成本”。已知总成本和总利润，先计算B种服装的总售价，再设A种服装按原价卖出的数量为未知数，分别表示出A种服装原价销售、打折销售的总售价，结合总售价的等量关系列方程求解即可。
【解析】
(1) 设加工A种服装x件，则加工B种服装$(100-x)$件。
根据总成本列方程：
$80x + 100(100-x) = 9200$
展开得：$80x + 10000 - 100x = 9200$
移项合并同类项得：$-20x = -800$
解得：$x = 40$
则B种服装的加工数量为$100-40=60$（件）
(2) 设A种服装卖出m件后打折销售。
总售价 = 总成本 + 总利润 = $9200+9840=19040$元
B种服装全部按原价销售，总售价为：$60×220=13200$元
A种服装总售价为原价销售部分加打折销售部分，列总售价方程：
$200m + 200×0.7×(40-m) + 13200 = 19040$
化简计算：
$200m + 5600 - 140m = 19040 - 13200$
$60m = 240$
解得：$m=4$
【答案】
(1) 加工了40件A种服装，60件B种服装；
(2) A种服装卖出4件后打折销售。
【知识点】
一元一次方程的应用，销售利润计算，打折销售问题
【点评】
本题结合生产销售的实际场景，考查方程的实际应用能力，解题核心是找准等量关系，合理设未知数，注意折扣换算的准确性，整体逻辑清晰，解题步骤常规，梳理清数量关系即可正确解答。
【难度系数】
0.7
