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1.如图,有一块四边形草坪,$∠B=∠D=90°,AB=24 \mathrm{~m},BC=7 \mathrm{~m},CD=15 \mathrm{~m}$,试求草坪面积.
答案
连接AC，由题意得$AC^2=AB^2+BC^2$，$\therefore AC^2=625$，$\therefore AC=25\ \mathrm{m}$，又$\because AD^2+DC^2=AC^2$，$\therefore AD=20\ \mathrm{m}$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB· BC+\frac{1}{2}AD· DC=234\ \mathrm{m^2}$
解析
【分析】
要求这个不规则四边形的面积，可通过分割法将其转化为熟悉的直角三角形求解。观察图形可知∠B和∠D均为直角，因此连接AC，可把四边形分成两个直角三角形△ABC和△ADC。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理算出AD的长度，最后分别计算两个直角三角形的面积，相加就能得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=24\mathrm{~m}$，$BC=7\mathrm{~m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=24^2+7^2=576+49=625$，
$\therefore AC=25\mathrm{~m}$（边长为正数，舍去负根）。
在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=15\mathrm{~m}$，$AC=25\mathrm{~m}$，
由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
$\therefore AD^2=AC^2-CD^2=25^2-15^2=625-225=400$，
$\therefore AD=20\mathrm{~m}$（边长为正数，舍去负根）。
$\therefore$ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AD·CD$
$=\frac{1}{2}×24×7+\frac{1}{2}×20×15=84+150=234\mathrm{~m^2}$。
【答案】
$234\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；分割法求面积；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题关键是合理添加辅助线，将不规则四边形转化为两个直角三角形，再结合勾股定理求未知边长、计算面积，很好地考查了图形转化能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
要求这个不规则四边形的面积，可通过分割法将其转化为熟悉的直角三角形求解。观察图形可知∠B和∠D均为直角，因此连接AC，可把四边形分成两个直角三角形△ABC和△ADC。首先在Rt△ABC中用勾股定理算出AC的长度，再在Rt△ADC中用勾股定理算出AD的长度，最后分别计算两个直角三角形的面积，相加就能得到四边形的总面积。
【解析】
解：连接AC，
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=24\mathrm{~m}$，$BC=7\mathrm{~m}$，
由勾股定理得：$AC^2=AB^2+BC^2=24^2+7^2=576+49=625$，
$\therefore AC=25\mathrm{~m}$（边长为正数，舍去负根）。
在$Rt△ ADC$中，$∠ D=90°$，$CD=15\mathrm{~m}$，$AC=25\mathrm{~m}$，
由勾股定理得：$AD^2+CD^2=AC^2$，
$\therefore AD^2=AC^2-CD^2=25^2-15^2=625-225=400$，
$\therefore AD=20\mathrm{~m}$（边长为正数，舍去负根）。
$\therefore$ 四边形ABCD的面积为两个直角三角形面积之和：
$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AD·CD$
$=\frac{1}{2}×24×7+\frac{1}{2}×20×15=84+150=234\mathrm{~m^2}$。
【答案】
$234\ \mathrm{m^2}$
【知识点】
勾股定理；分割法求面积；直角三角形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类题目，解题关键是合理添加辅助线，将不规则四边形转化为两个直角三角形，再结合勾股定理求未知边长、计算面积，很好地考查了图形转化能力和公式运用能力。
【难度系数】
0.7
2.如图,在等腰直角三角形 ABC 的斜边上取异于 B,C 的两点 E,F,使∠EAF=45°,求证:以EF,BE,CF 为边的三角形是直角三角形.
答案
把$△ ACF$绕点A顺时针旋转$90°$，得到$△ ABG$。连接EG。则$△ ACF ≌ △ ABG$。$\therefore AG=AF$，$BG=CF$，$∠ ABG=∠ ACF=45°$。$\therefore ∠ GBE=90°$。$\because ∠ BAC=90°$，$∠ GAF=90°$，$\therefore ∠ GAE=∠ EAF=45°$。在$△ AEG$和$△ AEF$中，
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠ GAE=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF (\mathrm{SAS})$，$\therefore EG=EF$，又$\because ∠ GBE=90°$，$\therefore BE^2+BG^2=EG^2$，即$BE^2+CF^2=EF^2$，$\therefore$ 以EF,BE,CF为边的三角形是直角三角形
解析
【分析】
要证明EF、BE、CF为边的三角形是直角三角形，需根据勾股定理的逆定理，证明三条线段满足两条线段的平方和等于第三条线段的平方。由于三条线段分散在不同三角形中，结合等腰直角△ABC中AB=AC、∠BAC=90°的特点，可通过旋转将分散的线段集中到同一个三角形中：将△ACF绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，即可将CF转化为BG，再证明EF与EG相等，同时证明△GBE是直角三角形，即可得出结论。
【解析】
证明：将$△ ACF$绕点A顺时针旋转$90°$，使AC与AB重合，得到$△ ABG$，连接EG。
由旋转的性质可得$△ ACF ≌ △ ABG$，
$\therefore AG=AF$，$BG=CF$，$∠ ABG=∠ ACF=45°$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACF=45°$，
$\therefore ∠ GBE=∠ ABG+∠ ABC=45°+45°=90°$。
$\because$ 旋转角$∠ GAF=90°$，$∠ EAF=45°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ GAF-∠ EAF=90°-45°=45°$，即$∠ GAE=∠ EAF$。
在$△ AEG$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AG=AF, \\∠ GAE=∠ EAF, \\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ GBE$中，由勾股定理得$BE^2+BG^2=EG^2$，
将$BG=CF$、$EG=EF$代入得：$BE^2+CF^2=EF^2$。
根据勾股定理的逆定理，以EF、BE、CF为边的三角形是直角三角形。
【答案】
把$△ ACF$绕点A顺时针旋转$90°$，得到$△ ABG$。连接EG。则$△ ACF ≌ △ ABG$。$\therefore AG=AF$，$BG=CF$，$∠ ABG=∠ ACF=45°$。$\therefore ∠ GBE=90°$。$\because ∠ BAC=90°$，$∠ GAF=90°$，$\therefore ∠ GAE=∠ EAF=45°$。在$△ AEG$和$△ AEF$中，
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠ GAE=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF (\mathrm{SAS})$，$\therefore EG=EF$，又$\because ∠ GBE=90°$，$\therefore BE^2+BG^2=EG^2$，即$BE^2+CF^2=EF^2$，$\therefore$ 以EF,BE,CF为边的三角形是直角三角形
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理应用的典型题型，核心是通过旋转变换将原本分散的三条待证线段转化到同一个直角三角形中，既考查了图形变换的性质，也考查了全等三角形的证明和勾股相关知识，解题的关键是结合等腰直角三角形的特征合理选择旋转辅助线，构造出可证明的全等三角形和直角三角形。
【难度系数】
0.5
要证明EF、BE、CF为边的三角形是直角三角形，需根据勾股定理的逆定理，证明三条线段满足两条线段的平方和等于第三条线段的平方。由于三条线段分散在不同三角形中，结合等腰直角△ABC中AB=AC、∠BAC=90°的特点，可通过旋转将分散的线段集中到同一个三角形中：将△ACF绕点A顺时针旋转90°，使AC与AB重合，即可将CF转化为BG，再证明EF与EG相等，同时证明△GBE是直角三角形，即可得出结论。
【解析】
证明：将$△ ACF$绕点A顺时针旋转$90°$，使AC与AB重合，得到$△ ABG$，连接EG。
由旋转的性质可得$△ ACF ≌ △ ABG$，
$\therefore AG=AF$，$BG=CF$，$∠ ABG=∠ ACF=45°$。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ BAC=90°$，
$\therefore ∠ ABC=∠ ACF=45°$，
$\therefore ∠ GBE=∠ ABG+∠ ABC=45°+45°=90°$。
$\because$ 旋转角$∠ GAF=90°$，$∠ EAF=45°$，
$\therefore ∠ GAE=∠ GAF-∠ EAF=90°-45°=45°$，即$∠ GAE=∠ EAF$。
在$△ AEG$和$△ AEF$中：
$\begin{cases}AG=AF, \\∠ GAE=∠ EAF, \\AE=AE,\end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF (\mathrm{SAS})$，
$\therefore EG=EF$。
在$\mathrm{Rt}△ GBE$中，由勾股定理得$BE^2+BG^2=EG^2$，
将$BG=CF$、$EG=EF$代入得：$BE^2+CF^2=EF^2$。
根据勾股定理的逆定理，以EF、BE、CF为边的三角形是直角三角形。
【答案】
把$△ ACF$绕点A顺时针旋转$90°$，得到$△ ABG$。连接EG。则$△ ACF ≌ △ ABG$。$\therefore AG=AF$，$BG=CF$，$∠ ABG=∠ ACF=45°$。$\therefore ∠ GBE=90°$。$\because ∠ BAC=90°$，$∠ GAF=90°$，$\therefore ∠ GAE=∠ EAF=45°$。在$△ AEG$和$△ AEF$中，
$\begin{cases} AG=AF, \\ ∠ GAE=∠ EAF, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ AEG ≌ △ AEF (\mathrm{SAS})$，$\therefore EG=EF$，又$\because ∠ GBE=90°$，$\therefore BE^2+BG^2=EG^2$，即$BE^2+CF^2=EF^2$，$\therefore$ 以EF,BE,CF为边的三角形是直角三角形
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理应用的典型题型，核心是通过旋转变换将原本分散的三条待证线段转化到同一个直角三角形中，既考查了图形变换的性质，也考查了全等三角形的证明和勾股相关知识，解题的关键是结合等腰直角三角形的特征合理选择旋转辅助线，构造出可证明的全等三角形和直角三角形。
【难度系数】
0.5
3.如图,在梯形纸片ABCD中,AD//BC,∠A=90°,∠C=30°,折叠纸片使BC经过点D,点C落在点E处,BF是折痕,且BF=CF=8.求AB的长.
答案
$\because BF=CF=8$，$∠ C=30°$，$\therefore ∠ FBC=∠ C=30°$。$\therefore ∠ DFB=60°$。由题意易知BE与BC关于直线BF对称，$\therefore ∠ DBF=∠ FBC=30°$。$\therefore ∠ BDC=90°$。$\therefore DF=\frac{1}{2}BF=4$。
$\therefore BD=\sqrt{BF^2-DF^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$。$\because ∠ A=90°$，$AD// BC$，$\therefore ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ ABD=30°$。
$\therefore AD=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{3}$。$\therefore AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{48-12}=6$
$\therefore BD=\sqrt{BF^2-DF^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$。$\because ∠ A=90°$，$AD// BC$，$\therefore ∠ ABC=90°$，$\therefore ∠ ABD=30°$。
$\therefore AD=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{3}$。$\therefore AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{48-12}=6$
解析
【分析】
解题时先从已知的BF=CF、∠C=30°入手，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠FBC的度数；再结合折叠的对称性质，得到∠DBF=∠FBC，进而推导△BDF的内角度数，找到直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出DF的长度，再用勾股定理算出BD的长度；最后结合梯形AD//BC、∠A=90°的条件，推导Rt△ABD中∠ABD的度数，再次利用直角三角形特殊角性质和勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
∵ BF=CF=8，∠C=30°，
∴ ∠FBC=∠C=30°，
∴ ∠DFB=∠FBC+∠C=60°。
由折叠的性质可知，BE与BC关于直线BF对称，
∴ ∠DBF=∠FBC=30°，
∴ 在△BDF中，∠BDF=180°-∠DBF-∠DFB=180°-30°-60°=90°，
∴ DF=$\frac{1}{2}$BF=4，
由勾股定理得，$BD=\sqrt{BF^2-DF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$。
∵ AD//BC，∠A=90°，
∴ ∠ABC=180°-∠A=90°，
∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBF-∠FBC=90°-30°-30°=30°，
∴ 在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$BD=$2\sqrt{3}$，
再由勾股定理得，$AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
AB的长为6
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查多个基础几何性质，解题的核心是通过角度推导找到图中的直角三角形，结合特殊角的性质逐步计算线段长度，能够锻炼学生的逻辑推导和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的BF=CF、∠C=30°入手，利用等腰三角形等边对等角的性质求出∠FBC的度数；再结合折叠的对称性质，得到∠DBF=∠FBC，进而推导△BDF的内角度数，找到直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质求出DF的长度，再用勾股定理算出BD的长度；最后结合梯形AD//BC、∠A=90°的条件，推导Rt△ABD中∠ABD的度数，再次利用直角三角形特殊角性质和勾股定理即可求出AB的长度。
【解析】
∵ BF=CF=8，∠C=30°，
∴ ∠FBC=∠C=30°，
∴ ∠DFB=∠FBC+∠C=60°。
由折叠的性质可知，BE与BC关于直线BF对称，
∴ ∠DBF=∠FBC=30°，
∴ 在△BDF中，∠BDF=180°-∠DBF-∠DFB=180°-30°-60°=90°，
∴ DF=$\frac{1}{2}$BF=4，
由勾股定理得，$BD=\sqrt{BF^2-DF^2}=\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{64-16}=4\sqrt{3}$。
∵ AD//BC，∠A=90°，
∴ ∠ABC=180°-∠A=90°，
∴ ∠ABD=∠ABC-∠DBF-∠FBC=90°-30°-30°=30°，
∴ 在Rt△ABD中，AD=$\frac{1}{2}$BD=$2\sqrt{3}$，
再由勾股定理得，$AB=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=\sqrt{48-12}=\sqrt{36}=6$。
【答案】
AB的长为6
【知识点】
等腰三角形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题综合考查多个基础几何性质，解题的核心是通过角度推导找到图中的直角三角形，结合特殊角的性质逐步计算线段长度，能够锻炼学生的逻辑推导和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.6
4.长方形纸片ABCD中，AD=4 cm，AB=10 cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长.
答案
设$DE=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=DE=x$，$AE=AB-BE=10-x$，在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$DE^2=AE^2+AD^2$，即$x^2=(10-x)^2+16$。$\therefore x=\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
解决这道题首先要利用折叠的性质：折叠前后对应边相等，本题中折叠后点B与点D重合，因此可得DE=BE。再结合长方形的性质，∠A是直角，因此△ADE是直角三角形，我们可以设DE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出AE的长度，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$BE=DE$，
设$DE=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=x\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$AE=AB-BE=(10-x)\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ A=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，
已知$AD=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4^2 + (10-x)^2 = x^2$
展开计算：$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
移项化简得：$20x = 116$
解得：$x=\frac{29}{5}$
【答案】
$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应线段相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理构造方程求解，这类问题是勾股定理应用的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解决这道题首先要利用折叠的性质：折叠前后对应边相等，本题中折叠后点B与点D重合，因此可得DE=BE。再结合长方形的性质，∠A是直角，因此△ADE是直角三角形，我们可以设DE的长度为未知数，用含未知数的式子表示出AE的长度，最后在Rt△ADE中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
解：由折叠的性质可得，$BE=DE$，
设$DE=x\ \mathrm{cm}$，则$BE=x\ \mathrm{cm}$，
∵$AB=10\ \mathrm{cm}$，
∴$AE=AB-BE=(10-x)\ \mathrm{cm}$，
∵四边形ABCD是长方形，
∴$∠ A=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，由勾股定理得：$AD^2 + AE^2 = DE^2$，
已知$AD=4\ \mathrm{cm}$，代入得：
$4^2 + (10-x)^2 = x^2$
展开计算：$16 + 100 - 20x + x^2 = x^2$
移项化简得：$20x = 116$
解得：$x=\frac{29}{5}$
【答案】
$\frac{29}{5}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型题型，解题核心是抓住折叠前后对应线段相等的性质，将未知线段和已知线段转化到同一个直角三角形中，结合勾股定理构造方程求解，这类问题是勾股定理应用的常见考法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
