登录
1. 由整体求部分 如图，AD是$△ ABC$的中线，E是AD的中点，连接BE，CE。若$△ ABC$的面积是8，则阴影部分的面积为（
A.4
B.2
C.6
D.8
第1题图 第2题图
A
）A.4
B.2
C.6
D.8
第1题图 第2题图
答案
1 A 因为 AD 是△ABC 的中线, 所以 $S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$(三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相等的两部分). 因为 E 是 AD 的中点, 所以 $S_{△ ABE} = S_{△ BDE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}$,$S_{△ EDC} = S_{△ CAE} = \frac{1}{2}S_{△ ACD}$,所以 $S_{△ ABE} = \frac{1}{4}S_{△ ABC}$,$S_{△ CDE} = \frac{1}{4}S_{△ ABC}$, 所以 $S_{阴影} = S_{△ ABE} + S_{△ CDE} = \frac{1}{4}S_{△ ABC} + \frac{1}{4}S_{△ ABC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 8 = 4$.
解析
【分析】
解题时利用三角形中线的性质：三角形的任意一条中线可将三角形分成两个面积相等的部分。首先由AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD的面积均为△ABC面积的一半；再根据E是AD中点，可知BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，进而推出△ABE的面积是△ABD的一半，△CDE的面积是△ACD的一半，最后将两个阴影部分的面积相加，就能得到阴影总面积。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，三角形中线可将三角形分为面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×8=4$
又
∵E是AD的中点
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4=2$
阴影部分面积为两个阴影三角形的面积和：
$S_{阴影}=S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=2+2=4$
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形中线等分面积
2. 面积和差计算
【点评】
本题是典型的与三角形中线相关的面积计算问题，核心考点是三角形中线等分三角形面积的性质，多次运用该性质结合面积和差关系即可求解，解题时只需理清各三角形之间的面积关系，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时利用三角形中线的性质：三角形的任意一条中线可将三角形分成两个面积相等的部分。首先由AD是△ABC的中线，可得△ABD和△ACD的面积均为△ABC面积的一半；再根据E是AD中点，可知BE、CE分别是△ABD、△ACD的中线，进而推出△ABE的面积是△ABD的一半，△CDE的面积是△ACD的一半，最后将两个阴影部分的面积相加，就能得到阴影总面积。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，三角形中线可将三角形分为面积相等的两部分
∴$S_{△ ABD} = S_{△ ACD} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$
已知$S_{△ ABC}=8$，代入得$S_{△ ABD}=S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×8=4$
又
∵E是AD的中点
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线
∴$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×4=2$，$S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×4=2$
阴影部分面积为两个阴影三角形的面积和：
$S_{阴影}=S_{△ ABE}+S_{△ CDE}=2+2=4$
【答案】
A
【知识点】
1. 三角形中线等分面积
2. 面积和差计算
【点评】
本题是典型的与三角形中线相关的面积计算问题，核心考点是三角形中线等分三角形面积的性质，多次运用该性质结合面积和差关系即可求解，解题时只需理清各三角形之间的面积关系，就能快速得到结果。
【难度系数】
0.8
2. ▶由部分求整体 如图,在$△ ABC$中,$D,E$分别是$BC,AD$的中点,点$F$在$BE$上,且$EF=2BF$,连接$CF,CE$.若$S_{△ BCF}=2$,则$S_{△ ABC}=$(
A.3
B.6
C.8
D.12
3. ▶利用倍分关系 [2026 天津南开区期中]如图是一块面
D
)A.3
B.6
C.8
D.12
3. ▶利用倍分关系 [2026 天津南开区期中]如图是一块面
答案
2 D 因为 $EF=2BF$,$S_{△ BCF}=2$,所以 $S_{△ BEC}=3S_{△ BCF}=3 × 2 = 6$. 因为 D 是 BC 的中点, 所以 $S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$,$S_{△ BDE} = S_{△ CDE} = \frac{1}{2}S_{△ BEC} = 3$. 因为 E 是 AD 的中点, 所以 $S_{△ ACD} = S_{△ ABD} = 2S_{△ BDE} = 6$,所以 $S_{△ ABC} = 2S_{△ ABD} = 12$.
解析
【分析】
本题需结合三角形面积的相关性质逐步推导：首先利用“等高的三角形面积比等于对应底的比”，结合已知△BCF的面积和EF与BF的倍数关系，求出△BEC的面积；再根据“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”，依次利用D是BC中点、E是AD中点的条件，逐步推导得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 因为△BCF和△CEF等高，且$EF=2BF$，所以$S_{△ CEF}=2S_{△ BCF}$，因此$S_{△ BEC}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}=3S_{△ BCF}$。代入$S_{△ BCF}=2$，得$S_{△ BEC}=3×2=6$。
2. 因为D是BC的中点，所以$BD=DC$，△BDE和△CDE等高，因此$S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因为E是AD的中点，所以$AE=ED$，△ABE和△BDE等高，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}=3$，即$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=6$。
4. 又因为D是BC中点，△ABD和△ACD等高，所以$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}=6$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=6+6=12$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线面积性质 2. 等高三角形面积规律
【点评】
本题是三角形面积计算的常见题型，核心是灵活运用等高三角形的面积倍分关系和中线的面积性质，从已知面积的小三角形出发逐层推导，能够很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
本题需结合三角形面积的相关性质逐步推导：首先利用“等高的三角形面积比等于对应底的比”，结合已知△BCF的面积和EF与BF的倍数关系，求出△BEC的面积；再根据“三角形中线将三角形分为面积相等的两部分”，依次利用D是BC中点、E是AD中点的条件，逐步推导得到△ABC的总面积。
【解析】
1. 因为△BCF和△CEF等高，且$EF=2BF$，所以$S_{△ CEF}=2S_{△ BCF}$，因此$S_{△ BEC}=S_{△ BCF}+S_{△ CEF}=3S_{△ BCF}$。代入$S_{△ BCF}=2$，得$S_{△ BEC}=3×2=6$。
2. 因为D是BC的中点，所以$BD=DC$，△BDE和△CDE等高，因此$S_{△ BDE}=S_{△ CDE}=\frac{1}{2}S_{△ BEC}=\frac{1}{2}×6=3$。
3. 因为E是AD的中点，所以$AE=ED$，△ABE和△BDE等高，因此$S_{△ ABE}=S_{△ BDE}=3$，即$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ BDE}=6$。
4. 又因为D是BC中点，△ABD和△ACD等高，所以$S_{△ ACD}=S_{△ ABD}=6$，因此$S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}=6+6=12$。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形中线面积性质 2. 等高三角形面积规律
【点评】
本题是三角形面积计算的常见题型，核心是灵活运用等高三角形的面积倍分关系和中线的面积性质，从已知面积的小三角形出发逐层推导，能够很好地考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
积为14的三角形纸板，D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，则阴影部分的面积为
2
。答案
3 2 如图,连接 AE,BF,CD. $\because D,E,F$ 分别是线段 AF,BD,CE 的中点, $\therefore S_{△ ADC} = S_{△ CDF}$,$S_{△ AED} = S_{△ ABE}$,$S_{△ EBF} = S_{△ BFC}$,$S_{△ EDF} = S_{△ CDF} = S_{△ AED} = S_{△ EBF}$,$\therefore S_{阴影} = \frac{1}{7}S_{△ ABC} = 14 × \frac{1}{7} = 2$,即阴影部分的面积为2.
解析
【分析】
本题是和三角形中线相关的面积计算问题，解题的核心是利用“三角形的中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形”这一性质。遇到这类含多个中点、求面积比例的问题，首先考虑通过连接辅助线构造中线对应的等面积三角形，再逐步推导各小三角形的面积等量关系，找到阴影部分面积和大三角形面积的占比，最后代入大三角形的总面积计算即可。
【解析】
解：如图，连接AE、BF、CD。
∵D是线段AF的中点，
∴CD是△ACF的中线，可得$S_{△ ADC}=S_{△ CDF}$；
∵E是线段BD的中点，
∴AE是△ABD的中线，可得$S_{△ AED}=S_{△ ABE}$，同时可推得$S_{△ EBF}=S_{△ EFD}$；
∵F是线段CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，可得$S_{△ BFC}=S_{△ EBF}$，同时DF是△CDE的中线，可得$S_{△ CDF}=S_{△ EFD}$。
综上可推得：$S_{△ ABE}=S_{△ AED}=S_{△ CDF}=S_{△ ADC}=S_{△ EBF}=S_{△ BFC}=S_{△ EFD}$，即大三角形ABC被平均分成7个面积相等的小三角形，阴影部分为其中1份。
因此$S_{阴影}=\frac{1}{7}S_{△ ABC}=14×\frac{1}{7}=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的面积性质，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积类的典型题型，解题的关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，通过添加辅助线将大三角形拆分为多个等面积的小三角形，进而得到阴影部分与整体的面积关系，解题时要注意有条理地梳理各部分的面积等量关系，避免漏算或错算份数。
【难度系数】
0.6
本题是和三角形中线相关的面积计算问题，解题的核心是利用“三角形的中线可将三角形分为两个等底同高、面积相等的小三角形”这一性质。遇到这类含多个中点、求面积比例的问题，首先考虑通过连接辅助线构造中线对应的等面积三角形，再逐步推导各小三角形的面积等量关系，找到阴影部分面积和大三角形面积的占比，最后代入大三角形的总面积计算即可。
【解析】
解：如图，连接AE、BF、CD。
∵D是线段AF的中点，
∴CD是△ACF的中线，可得$S_{△ ADC}=S_{△ CDF}$；
∵E是线段BD的中点，
∴AE是△ABD的中线，可得$S_{△ AED}=S_{△ ABE}$，同时可推得$S_{△ EBF}=S_{△ EFD}$；
∵F是线段CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，可得$S_{△ BFC}=S_{△ EBF}$，同时DF是△CDE的中线，可得$S_{△ CDF}=S_{△ EFD}$。
综上可推得：$S_{△ ABE}=S_{△ AED}=S_{△ CDF}=S_{△ ADC}=S_{△ EBF}=S_{△ BFC}=S_{△ EFD}$，即大三角形ABC被平均分成7个面积相等的小三角形，阴影部分为其中1份。
因此$S_{阴影}=\frac{1}{7}S_{△ ABC}=14×\frac{1}{7}=2$。
【答案】
2
【知识点】
三角形中线的面积性质，等积变换，三角形面积计算
【点评】
本题是三角形面积类的典型题型，解题的关键是熟练掌握三角形中线平分三角形面积的性质，通过添加辅助线将大三角形拆分为多个等面积的小三角形，进而得到阴影部分与整体的面积关系，解题时要注意有条理地梳理各部分的面积等量关系，避免漏算或错算份数。
【难度系数】
0.6
4. 利用和差关系 [2026 徐州沛县期中] 如图,在$△ ABC$中,CE是AB边上的中线,$BC = 4DC$,$AD$与$CE$交于点$F$,若$△ ABC$的面积等于16. 设$△ AEF$的面积为$m$,$△ DFC$的面积为$n$,则$m + n =$
$\boldsymbol{\frac{28}{5}}$
.答案
4 $\boldsymbol{\frac{28}{5}}$ 如图,连接 BF. 由题意,知 $S_{△ BEF} = S_{△ AEF} = m$,$S_{△ ACE} = S_{△ BCE}$,$S_{△ BDF} = 3S_{△ CDF} = 3n$,从而 $S_{△ ACF} = S_{△ BCF} = 4n$. $\because S_{△ ABC} = 16$, $BC = 4DC$, $\therefore \begin{cases} 2m + 3n = 16 × \frac{3}{4} = 12, \\ 2m + 8n = 16, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} m = \frac{24}{5}, \\ n = \frac{4}{5}, \end{cases}$ $\therefore m + n = \frac{24}{5} + \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$.
解析
【分析】
本题是与三角形面积计算相关的问题，解题思路如下：1. 回忆相关性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比；2. 题目要求$m+n$的值，有两个未知量，需找到两个等量关系列方程组求解，直接通过已知条件无法关联$m$和$n$，因此考虑作辅助线连接$BF$，将其他小三角形的面积用$m$、$n$表示；3. 结合$△ ABC$的总面积以及$BD$与$DC$的比例关系列方程组，求解得到$m$、$n$的值后计算和即可。
【解析】
解：如图，连接$BF$。
1. 由$CE$是$AB$边上的中线，可知$E$是$AB$的中点，$△ AEF$和$△ BEF$等底同高，$△ ACE$和$△ BCE$等底同高，因此：
$S_{△ BEF} = S_{△ AEF} = m$，$S_{△ ACE} = S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 16 = 8$。
2. 由$BC = 4DC$，可得$BD = 3DC$，$△ BDF$和$△ CDF$同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BDF} = 3S_{△ CDF} = 3n$，则$S_{△ BCF} = S_{△ BDF} + S_{△ CDF} = 3n + n = 4n$。
3. 由$S_{△ ACE} = S_{△ BCE}$，即$S_{△ AEF} + S_{△ AFC} = S_{△ BEF} + S_{△ BCF}$，两边减去相等的$S_{△ AEF}$和$S_{△ BEF}$，可得$S_{△ ACF} = S_{△ BCF} = 4n$。
4. 结合总面积与面积比例列方程组：
因为$BC=4DC$，所以$S_{△ ABD} = \frac{3}{4}S_{△ ABC} = \frac{3}{4} × 16 = 12$，而$S_{△ ABD} = S_{△ AEF} + S_{△ BEF} + S_{△ BDF} = 2m + 3n$，即$2m + 3n = 12$；
又因为$S_{△ ABC} = S_{△ AEF} + S_{△ BEF} + S_{△ BDF} + S_{△ DFC} + S_{△ AFC} = 2m + 3n + n + 4n = 2m + 8n$，即$2m + 8n = 16$。
联立得方程组：$\begin{cases} 2m + 3n = 12 \\ 2m + 8n = 16 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5n = 4$，解得$n = \frac{4}{5}$，
将$n = \frac{4}{5}$代入$2m + 3n = 12$，解得$m = \frac{24}{5}$。
因此$m + n = \frac{24}{5} + \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$。
【答案】
$\frac{28}{5}$
【知识点】
三角形中线性质；同高三角形面积比；二元一次方程组应用
【点评】
本题重点考查三角形面积的计算，解题的关键是合理添加辅助线，借助中线和线段比例关系用未知量表示各小三角形面积，再结合总面积建立方程求解，有效考查了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
本题是与三角形面积计算相关的问题，解题思路如下：1. 回忆相关性质：三角形的中线可将三角形分为面积相等的两部分，高相等的两个三角形的面积比等于对应底的比；2. 题目要求$m+n$的值，有两个未知量，需找到两个等量关系列方程组求解，直接通过已知条件无法关联$m$和$n$，因此考虑作辅助线连接$BF$，将其他小三角形的面积用$m$、$n$表示；3. 结合$△ ABC$的总面积以及$BD$与$DC$的比例关系列方程组，求解得到$m$、$n$的值后计算和即可。
【解析】
解：如图，连接$BF$。
1. 由$CE$是$AB$边上的中线，可知$E$是$AB$的中点，$△ AEF$和$△ BEF$等底同高，$△ ACE$和$△ BCE$等底同高，因此：
$S_{△ BEF} = S_{△ AEF} = m$，$S_{△ ACE} = S_{△ BCE} = \frac{1}{2}S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 16 = 8$。
2. 由$BC = 4DC$，可得$BD = 3DC$，$△ BDF$和$△ CDF$同高，面积比等于底的比，因此：
$S_{△ BDF} = 3S_{△ CDF} = 3n$，则$S_{△ BCF} = S_{△ BDF} + S_{△ CDF} = 3n + n = 4n$。
3. 由$S_{△ ACE} = S_{△ BCE}$，即$S_{△ AEF} + S_{△ AFC} = S_{△ BEF} + S_{△ BCF}$，两边减去相等的$S_{△ AEF}$和$S_{△ BEF}$，可得$S_{△ ACF} = S_{△ BCF} = 4n$。
4. 结合总面积与面积比例列方程组：
因为$BC=4DC$，所以$S_{△ ABD} = \frac{3}{4}S_{△ ABC} = \frac{3}{4} × 16 = 12$，而$S_{△ ABD} = S_{△ AEF} + S_{△ BEF} + S_{△ BDF} = 2m + 3n$，即$2m + 3n = 12$；
又因为$S_{△ ABC} = S_{△ AEF} + S_{△ BEF} + S_{△ BDF} + S_{△ DFC} + S_{△ AFC} = 2m + 3n + n + 4n = 2m + 8n$，即$2m + 8n = 16$。
联立得方程组：$\begin{cases} 2m + 3n = 12 \\ 2m + 8n = 16 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程得：$5n = 4$，解得$n = \frac{4}{5}$，
将$n = \frac{4}{5}$代入$2m + 3n = 12$，解得$m = \frac{24}{5}$。
因此$m + n = \frac{24}{5} + \frac{4}{5} = \frac{28}{5}$。
【答案】
$\frac{28}{5}$
【知识点】
三角形中线性质；同高三角形面积比；二元一次方程组应用
【点评】
本题重点考查三角形面积的计算，解题的关键是合理添加辅助线，借助中线和线段比例关系用未知量表示各小三角形面积，再结合总面积建立方程求解，有效考查了转化思想和方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
∠BAC.若∠B=60°,∠C=40°,则∠DAE的度数为
$\boldsymbol{10°}$
.答案
1 $10°$ $\because ∠ BAC + ∠ B + ∠ C = 180°$,$∠ B = 60°$,$∠ C = 40°$, $\therefore ∠ BAC = 80°$. $\because AE$ 平分 $∠ BAC$, $\therefore ∠ BAE = ∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 40°$,$\therefore ∠ AEC = ∠ B + ∠ BAE = 100°$. $\because AD ⊥ BC$, $\therefore ∠ ADE = 90°$,$\therefore ∠ DAE = ∠ AEC - ∠ ADE = 10°$.
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出AE平分∠BAC得到的∠BAE的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数；最后结合AD⊥BC得到∠ADE=90°，根据三角形外角与内角的关系即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 60° + 40° = 100°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADE = 90°。
∵∠AEC是△ADE的外角，
∴∠AEC = ∠ADE + ∠DAE，
∴∠DAE = ∠AEC - ∠ADE = 100° - 90° = 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、高线的性质，以及三角形内角和、外角的相关定理，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求∠DAE的度数，可按以下思路推导：首先利用三角形内角和定理，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数；再根据角平分线的定义，求出AE平分∠BAC得到的∠BAE的度数；接着利用三角形外角的性质求出∠AEC的度数；最后结合AD⊥BC得到∠ADE=90°，根据三角形外角与内角的关系即可求出∠DAE的度数。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠BAC + ∠B + ∠C = 180°，∠B=60°，∠C=40°，
∴∠BAC = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×80° = 40°。
∵∠AEC是△ABE的外角，
∴∠AEC = ∠B + ∠BAE = 60° + 40° = 100°。
∵AD⊥BC，
∴∠ADE = 90°。
∵∠AEC是△ADE的外角，
∴∠AEC = ∠ADE + ∠DAE，
∴∠DAE = ∠AEC - ∠ADE = 100° - 90° = 10°。
【答案】
10°
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线、高线的性质，以及三角形内角和、外角的相关定理，理清各角之间的数量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. ▶变为垂线在三角形的外部 如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,AE平分∠BAC.已知∠B=38°,∠CAD=20°,则∠EAD=
第2题图 第3题图
36
°.第2题图 第3题图
答案
2 36 $\because AD$ 是 BC 边上的高, $\therefore ∠ D = 90°$. 又 $\because ∠ B = 38°$, $\therefore ∠ BAD = 180° - ∠ B - ∠ D = 180° - 38° - 90° = 52°$. $\because ∠ CAD = 20°$,$\therefore ∠ BAC = ∠ BAD - ∠ CAD = 52° - 20° = 32°$. $\because AE$ 平分 $∠ BAC$, $\therefore ∠ EAC = \frac{1}{2}∠ BAC = 16°$,$\therefore ∠ EAD = ∠ EAC + ∠ CAD = 16° + 20° = 36°$.
解析
【分析】
要解决该角度计算问题，可按以下思路推导：首先根据AD是BC边上的高，得到直角∠D=90°，结合△ABD的内角和为180°与已知∠B的度数，先算出∠BAD的大小；再结合∠CAD的度数，求出∠BAC的度数；之后利用AE是∠BAC的角平分线的性质，算出∠EAC的度数；最后通过∠EAC与∠CAD的和，即可得到∠EAD的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°可得：
∠BAD = 180° - ∠B - ∠D = 180° - 38° - 90° = 52°
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 52° - 20° = 32°
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×32°=16°$
∴∠EAD = ∠EAC + ∠CAD = 16° + 20° = 36°
【答案】
36
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，核心考查对三角形高、角平分线相关性质的运用，解题的关键是理清各角之间的和差关系，避免因混淆角的位置出现计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决该角度计算问题，可按以下思路推导：首先根据AD是BC边上的高，得到直角∠D=90°，结合△ABD的内角和为180°与已知∠B的度数，先算出∠BAD的大小；再结合∠CAD的度数，求出∠BAC的度数；之后利用AE是∠BAC的角平分线的性质，算出∠EAC的度数；最后通过∠EAC与∠CAD的和，即可得到∠EAD的度数。
【解析】
∵AD是BC边上的高，
∴∠D=90°。
在△ABD中，由三角形内角和为180°可得：
∠BAD = 180° - ∠B - ∠D = 180° - 38° - 90° = 52°
∵∠CAD=20°，
∴∠BAC = ∠BAD - ∠CAD = 52° - 20° = 32°
∵AE平分∠BAC，
∴$∠ EAC=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×32°=16°$
∴∠EAD = ∠EAC + ∠CAD = 16° + 20° = 36°
【答案】
36
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础常考题，核心考查对三角形高、角平分线相关性质的运用，解题的关键是理清各角之间的和差关系，避免因混淆角的位置出现计算错误。
【难度系数】
0.7
3. 变为过三角形角平分线的延长线上一点作一边的垂线 如图，D为$△ ABC$的角平分线AE的延长线上的一点，过点D作$DF ⊥ BC$于点F.若$∠ B=80°$，$∠ C=50°$，则$∠ D$的度数为
$\boldsymbol{15°}$
.答案
3 $15°$ 在$△ ABC$中,$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 50° = 50°$. $\because AD$ 是 $∠ BAC$ 的平分线, $\therefore ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = 25°$. 在 $△ ABE$ 中, $∠ AEB = 180° - ∠ B - ∠ BAE = 75°$,$\therefore ∠ DEF = ∠ AEB = 75°$(对顶角相等). $\because DF ⊥ BC$,$\therefore ∠ DFE = 90°$,$\therefore$ 在 $△ DEF$ 中, $∠ D = 180° - ∠ DFE - ∠ DEF = 180° - 90° - 75° = 15°$.
解析
【分析】
要求∠D的度数，观察可知∠D在Rt△DFE中，已知DF⊥BC即∠DFE=90°，因此只需先求出∠DEF的度数即可；∠DEF与∠AEB是对顶角，二者相等，因此可先求△ABE中∠AEB的度数；要求∠AEB，需要先得到∠BAE的度数，而AE是△ABC的角平分线，因此先利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAE，逐步推导即可求出∠D。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 50° = 50°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×50° = 25°$。
在△ABE中，$∠ AEB = 180° - ∠ B - ∠ BAE = 180° - 80° - 25° = 75°$，
$\therefore ∠ DEF = ∠ AEB = 75°$（对顶角相等）。
$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DFE = 90°$，
在△DEF中，$∠ D = 180° - ∠ DFE - ∠ DEF = 180° - 90° - 75° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；对顶角相等
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是通过角平分线、对顶角的性质将未知角转化到已知条件更多的三角形中求解，侧重考查基础推导能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要求∠D的度数，观察可知∠D在Rt△DFE中，已知DF⊥BC即∠DFE=90°，因此只需先求出∠DEF的度数即可；∠DEF与∠AEB是对顶角，二者相等，因此可先求△ABE中∠AEB的度数；要求∠AEB，需要先得到∠BAE的度数，而AE是△ABC的角平分线，因此先利用三角形内角和定理算出∠BAC的度数，再根据角平分线的定义得到∠BAE，逐步推导即可求出∠D。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理，$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 180° - 80° - 50° = 50°$。
$\because AD$是$∠ BAC$的平分线，
$\therefore ∠ BAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×50° = 25°$。
在△ABE中，$∠ AEB = 180° - ∠ B - ∠ BAE = 180° - 80° - 25° = 75°$，
$\therefore ∠ DEF = ∠ AEB = 75°$（对顶角相等）。
$\because DF ⊥ BC$，
$\therefore ∠ DFE = 90°$，
在△DEF中，$∠ D = 180° - ∠ DFE - ∠ DEF = 180° - 90° - 75° = 15°$。
【答案】
$15°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；对顶角相等
【点评】
本题是三角形基础性质的综合应用题，解题核心是通过角平分线、对顶角的性质将未知角转化到已知条件更多的三角形中求解，侧重考查基础推导能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
4. 变为过三角形角平分线的反向延长线上一点作一边的垂线 如图，AD平分∠BAC，点F在DA的延长线上，FE⊥BC于点E。若∠B=40°，∠C=70°，则∠DFE=
15
°。答案
4 15 $\because ∠ B = 40°$,$∠ C = 70°$,$\therefore ∠ BAC = 180° - 40° - 70° = 70°$. $\because AD$ 平分 $∠ BAC$,$\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = 35°$,$\therefore ∠ ADE = ∠ B + ∠ BAD = 40° + 35° = 75°$. $\because FE ⊥ BC$,$\therefore ∠ FEB = 90°$,$\therefore ∠ DFE = 180° - ∠ ADE - ∠ FEB = 180° - 75° - 90° = 15°$.
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，利用角平分线的定义，算出∠BAD的度数；第三步，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），求出∠ADE的度数；第四步，已知FE垂直BC，即∠FED为90°，最后在△FDE中利用三角形内角和定理即可求出∠DFE的度数。
【解析】
在△ABC中，已知∠B=40°，∠C=70°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质：
∠ADE = ∠B + ∠BAD = 40° + 35° = 75°
又
∵FE⊥BC，
∴∠FED = 90°
在△FDE中，根据三角形内角和为180°：
∠DFE = 180° - ∠FED - ∠ADE = 180° - 90° - 75° = 15°
【答案】
15
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，将多个基础知识点结合考查，解题的核心是梳理清楚各角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时可按以下思路推导：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠B和∠C的度数，先求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，利用角平分线的定义，算出∠BAD的度数；第三步，根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），求出∠ADE的度数；第四步，已知FE垂直BC，即∠FED为90°，最后在△FDE中利用三角形内角和定理即可求出∠DFE的度数。
【解析】
在△ABC中，已知∠B=40°，∠C=70°，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 40° - 70° = 70°
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC = $\frac{1}{2}$×70° = 35°
∵∠ADE是△ABD的外角，根据三角形外角性质：
∠ADE = ∠B + ∠BAD = 40° + 35° = 75°
又
∵FE⊥BC，
∴∠FED = 90°
在△FDE中，根据三角形内角和为180°：
∠DFE = 180° - ∠FED - ∠ADE = 180° - 90° - 75° = 15°
【答案】
15
【知识点】
三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题型，将多个基础知识点结合考查，解题的核心是梳理清楚各角之间的数量关系，逐步推导即可得到结果。
【难度系数】
0.7
5. 变为两条角平分线和一条垂线 如图,在$△ ABC$中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是$∠ BAC$和$∠ ABC$的平分线,它们相交于点O.若$∠ AOB=130°$,则$∠ CAD$的度数为
$\boldsymbol{10°}$
.答案
5 $10°$ $\because ∠ AOB = 130°$,$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = 180° - 130° = 50°$. $\because AE,BF$ 分别是 $∠ BAC$ 和 $∠ ABC$ 的平分线,$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 2(∠ OAB + ∠ OBA) = 100°$,$\therefore ∠ C = 180° - 100° = 80°$(三角形的内角和等于 $180°$). $\because AD$ 是 BC 边上的高,$\therefore ∠ ADC = 90°$,$\therefore ∠ CAD = 180° - 90° - 80° = 10°$.
解析
【分析】
解题时先从已知的∠AOB入手，利用三角形内角和先求出△AOB中两个锐角的和；再结合AE、BF是角平分线的条件，推出∠BAC与∠ABC的和，再次用三角形内角和求出∠C的度数；最后根据AD是BC边上的高，可得∠ADC为直角，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：在△AOB中，∠AOB=130°，根据三角形内角和为180°，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = 180° - 130° = 50°$。
∵AE、BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ OAB$，$∠ ABC = 2∠ OBA$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 2(∠ OAB + ∠ OBA) = 2×50° = 100°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\therefore ∠ C = 180° - (∠ BAC + ∠ ABC) = 180° - 100° = 80°$。
∵AD是BC边上的高，
$\therefore ∠ ADC = 90°$，
在Rt△ADC中，$∠ CAD + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ CAD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，解题的突破口是利用角平分线的性质将△AOB的内角和与△ABC的内角和建立关联，求出∠C的度数后即可快速求解，是三角形角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的∠AOB入手，利用三角形内角和先求出△AOB中两个锐角的和；再结合AE、BF是角平分线的条件，推出∠BAC与∠ABC的和，再次用三角形内角和求出∠C的度数；最后根据AD是BC边上的高，可得∠ADC为直角，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CAD的度数。
【解析】
解：在△AOB中，∠AOB=130°，根据三角形内角和为180°，
$\therefore ∠ OAB + ∠ OBA = 180° - 130° = 50°$。
∵AE、BF分别是∠BAC和∠ABC的平分线，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ OAB$，$∠ ABC = 2∠ OBA$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ ABC = 2(∠ OAB + ∠ OBA) = 2×50° = 100°$。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\therefore ∠ C = 180° - (∠ BAC + ∠ ABC) = 180° - 100° = 80°$。
∵AD是BC边上的高，
$\therefore ∠ ADC = 90°$，
在Rt△ADC中，$∠ CAD + ∠ C = 90°$，
$\therefore ∠ CAD = 90° - 80° = 10°$。
【答案】
$10°$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形相关性质的基础综合题，解题的突破口是利用角平分线的性质将△AOB的内角和与△ABC的内角和建立关联，求出∠C的度数后即可快速求解，是三角形角度计算的常见题型。
【难度系数】
0.7
