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1. (教材习题变式)如图,已知点 C、E、B、F 在同一条直线上,$AB⊥CF$于点 B,$DE⊥CF$于点 E,$AC=DF,AB=DE$.
(1)求证:$AC// DF$.
(2)求证:$CE=BF$.
(1)求证:$AC// DF$.
(2)求证:$CE=BF$.
答案
证明：
(1)因为$AB\perp CF，$$DE\perp CF，$所以$\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}，$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF(HL)，$
所以$\angle C = \angle F，$所以$AC// DF。$ (2)由
(1)得，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF，$
所以$BC = EF，$所以$BC - BE = EF - BE，$即$CE = BF。$
(1)因为$AB\perp CF，$$DE\perp CF，$所以$\angle ABC = \angle DEF = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\begin{cases}AC = DF \\AB = DE\end{cases}，$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF(HL)，$
所以$\angle C = \angle F，$所以$AC// DF。$ (2)由
(1)得，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF，$
所以$BC = EF，$所以$BC - BE = EF - BE，$即$CE = BF。$
2. 如图,已知$∠ C=∠ D=90°$,添加一个条件,可使用“HL”判定$\mathrm{Rt}△ ABC$和$\mathrm{Rt}△ ABD$全等.下列给出的条件符合要求的是 （ ）
A. $∠ ABC=∠ ABD$
B. $AC=AD$
C. $∠ BAC=∠ BAD$
D. $AC=BC$
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第5题）
A. $∠ ABC=∠ ABD$
B. $AC=AD$
C. $∠ BAC=∠ BAD$
D. $AC=BC$
（第2题）
（第3题）
（第4题）
（第5题）
答案
B
3. 如图，$AB ⊥ BD$，$CD ⊥ BD$，$AD = BC$，则能直接判定 $\mathrm{Rt}△ ABD ≌ \mathrm{Rt}△ CDB$ 的理由是（ ）
A. HL
B. ASA
C. SAS
D. SSS
A. HL
B. ASA
C. SAS
D. SSS
答案
A
4. 如图,已知$△ ABC$的两条高$AD$、$BE$交于点$F$,$AE=BE$,要证明$△ AEF ≌ △ BEC$.
(1)若要运用“HL”,还需添加条件:______.
(2)若要运用“SAS”,还需添加条件:______.
(1)若要运用“HL”,还需添加条件:______.
(2)若要运用“SAS”,还需添加条件:______.
答案
$AF = BC$ ; $EF = EC$
5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,点$D$在$BC$上,且$CD=CA$,$DE⊥ BC$.若$AB=5\ \mathrm{cm}$,$DE=2\ \mathrm{cm}$,则$BE=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
3
6. 如图，P 是∠BAC 内一点，且点 P 到 AB、AC 的距离相等，则$\mathrm{Rt}△ PEA ≌ \mathrm{Rt}△ PFA$的理由是 （ ）
A. HL
B. AAS
C. SSS
D. ASA
A. HL
B. AAS
C. SSS
D. ASA
答案
A
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=90°$,$AE$是过点$A$的一条直线,且点$B$、$C$在$AE$的两侧,$BD ⊥ AE$于点$D$,$CE ⊥ AE$于点$E$,$DE=4\ \mathrm{cm}$,$CE=2\ \mathrm{cm}$,则$BD=\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}$.
答案
6
