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8. 如图，$AC⊥ BC$，$BD⊥ AD$，$AD$与$BC$交于点$O$，$AD=BC$，求证：$OD=OC$.
答案
证明：因为$AD\perp BD，$$AC\perp BC，$所以$\angle D = \angle C = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle BAD$中，$\begin{cases}AB = BA \\BC = AD\end{cases}，$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD(HL)，$所以$AC = BD。$ 因为$\angle C = \angle D = 90^{\circ}，$$\angle AOC = \angle BOD，$
所以$\triangle AOC\cong \triangle BOD(AAS)，$所以$OC = OD。$
所以$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle BAD(HL)，$所以$AC = BD。$ 因为$\angle C = \angle D = 90^{\circ}，$$\angle AOC = \angle BOD，$
所以$\triangle AOC\cong \triangle BOD(AAS)，$所以$OC = OD。$
9. 如图，$DE ⊥ AB$ 于点 $E$，$DF ⊥ AC$ 于点 $F$，$BD=CD$，$BE=CF$。
(1)求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$。
(2)已知 $AC=20$，$BE=4$，求 $AB$ 的长。
(1)求证：$AD$ 平分 $∠ BAC$。
(2)已知 $AC=20$，$BE=4$，求 $AB$ 的长。
答案
(1)证明：因为$DE\perp AB，$$DF\perp AC，$所以$\angle E = \angle DFC = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle BED$和$Rt\triangle CFD$中，$\begin{cases}BD = CD \\BE = CF\end{cases}，$
所以$Rt\triangle BED\cong Rt\triangle CFD(HL)，$所以$DE = DF。$ 同理可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL)，$
所以$\angle EAD = \angle FAD，$所以$AD$平分$\angle BAC。$ (2)由
(1)，得$Rt\triangle BED\cong Rt\triangle CFD，$
所以$CF = BE = 4，$所以$AF = AC - CF = 20 - 4 = 16。$ 因为$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF，$
所以$AE = AF = 16，$
所以$AB = AE - BE = 16 - 4 = 12。$
所以$Rt\triangle BED\cong Rt\triangle CFD(HL)，$所以$DE = DF。$ 同理可得$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF(HL)，$
所以$\angle EAD = \angle FAD，$所以$AD$平分$\angle BAC。$ (2)由
(1)，得$Rt\triangle BED\cong Rt\triangle CFD，$
所以$CF = BE = 4，$所以$AF = AC - CF = 20 - 4 = 16。$ 因为$Rt\triangle ADE\cong Rt\triangle ADF，$
所以$AE = AF = 16，$
所以$AB = AE - BE = 16 - 4 = 12。$
10. 如图，$CA⊥ AB$，垂足为$A$，$AB=12\ \mathrm{m}$，$AC=6\ \mathrm{m}$，射线$BM⊥ AB$，垂足为$B$，动点$E$从点$A$出发以$2\ \mathrm{m/s}$的速度沿射线$AN$运动.$D$为射线$BM$上的一动点，随着点$E$运动而运动，且始终保持$ED=CB$.问：经过多长时间，由点$D$、$E$、$B$组成的三角形与$△ BCA$全等？
答案
①当点$E$在线段$AB$上，$AC = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BED。$因为$AC = 6\ m，$
所以$BE = 6\ m，$所以$AE = AB - BE = 12 - 6 = 6(m)，$
所以运动时间为$6\div2 = 3(s)；$ ②当点$E$在射线$BN$上，$AC = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BED，$
此时$AE = AB + BE = 12 + 6 = 18(m)，$
运动时间为$18\div2 = 9(s)；$ ③当点$E$在线段$AB$上，$AB = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BDE，$
此时点$E$在点$A$处未动，因此运动时间为$0\ s；$ ④当点$E$在射线$BN$上，$AB = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BDE，$
此时$AE = AB + BE = 12 + 12 = 24(m)，$
运动时间为$24\div2 = 12(s)。$ 综上所述，经过$0\ s$或$3\ s$或$9\ s$或$12\ s$时，由点$D$、$E$、$B$组成的三角形与$\triangle BCA$全等。
所以$BE = 6\ m，$所以$AE = AB - BE = 12 - 6 = 6(m)，$
所以运动时间为$6\div2 = 3(s)；$ ②当点$E$在射线$BN$上，$AC = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BED，$
此时$AE = AB + BE = 12 + 6 = 18(m)，$
运动时间为$18\div2 = 9(s)；$ ③当点$E$在线段$AB$上，$AB = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BDE，$
此时点$E$在点$A$处未动，因此运动时间为$0\ s；$ ④当点$E$在射线$BN$上，$AB = BE$时，$\triangle ACB\cong \triangle BDE，$
此时$AE = AB + BE = 12 + 12 = 24(m)，$
运动时间为$24\div2 = 12(s)。$ 综上所述，经过$0\ s$或$3\ s$或$9\ s$或$12\ s$时，由点$D$、$E$、$B$组成的三角形与$\triangle BCA$全等。
11. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$DE$是过点$A$的直线,$BD⊥ DE$于点$D$,$CE⊥ DE$于点$E$.
(1)若点$B$、$C$在直线$DE$的同侧(如图 1),且$AD=CE$.
①求证:$AB⊥ AC$;
②求证:$DE=CE+BD$.
(2)若点$B$、$C$在直线$DE$的两侧(如图 2),且$AD=CE$,其他条件不变,$AB$与$AC$垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
(1)若点$B$、$C$在直线$DE$的同侧(如图 1),且$AD=CE$.
①求证:$AB⊥ AC$;
②求证:$DE=CE+BD$.
(2)若点$B$、$C$在直线$DE$的两侧(如图 2),且$AD=CE$,其他条件不变,$AB$与$AC$垂直吗?若垂直,请给出证明;若不垂直,请说明理由.
答案
(1)证明：①因为$BD\perp DE，$$CE\perp DE，$所以$\angle ADB = \angle AEC = 90^{\circ}。$ 在$Rt\triangle ABD$和$Rt\triangle CAE$中，$\begin{cases}AB = CA \\AD = CE\end{cases}，$
所以$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE(HL)，$
所以$\angle ABD = \angle CAE，$$AE = BD。$ 因为$\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}，$
所以$\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}，$
所以$\angle BAC = 180^{\circ}-(\angle BAD + \angle CAE)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}，$所以$AB\perp AC。$ ②因为$AD = CE，$$AE = BD，$
所以$DE = AD + AE = CE + BD。$ (2)$AB\perp AC。$证明如下：同理 (1)可得，$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE，$
所以$\angle DAB = \angle ECA。$ 因为$CE\perp DE，$所以$\angle CAE + \angle ECA = 90^{\circ}，$
所以$\angle CAE + \angle DAB = 90^{\circ}，$
即$\angle BAC = 90^{\circ}，$所以$AB\perp AC。$
所以$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE(HL)，$
所以$\angle ABD = \angle CAE，$$AE = BD。$ 因为$\angle BAD + \angle ABD = 90^{\circ}，$
所以$\angle BAD + \angle CAE = 90^{\circ}，$
所以$\angle BAC = 180^{\circ}-(\angle BAD + \angle CAE)=180^{\circ}- 90^{\circ}=90^{\circ}，$所以$AB\perp AC。$ ②因为$AD = CE，$$AE = BD，$
所以$DE = AD + AE = CE + BD。$ (2)$AB\perp AC。$证明如下：同理 (1)可得，$Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle CAE，$
所以$\angle DAB = \angle ECA。$ 因为$CE\perp DE，$所以$\angle CAE + \angle ECA = 90^{\circ}，$
所以$\angle CAE + \angle DAB = 90^{\circ}，$
即$\angle BAC = 90^{\circ}，$所以$AB\perp AC。$
