8. (1)(巴中中考改编)如图①,AB是$\odot O$的弦,且$AB=6$,点C是劣弧AB的中点,点D是优弧AB上的一点,$∠ADC=30°$,则圆心O到弦AB的距离等于________.

(2)如图②,$△ABC$是$\odot O$的内接三角形,$∠A=30°,BC=\sqrt{2}$,把$△ABC$绕点O按逆时针方向旋转$90°$得到$△BED$,则对应点C、D之间的距离为________.

$\sqrt{3}$ ; 2

9. 如图,点 A、B、C、D 在$\odot O$上,$AB=BC=DA$,AD、BC 的延长线交于点 P,且$∠P=40°$,则$\overset{\frown}{CD}$的度数为______.

30

10. (2024·信阳期中)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,点E在对角线AC上,$EC=BC=DC$.
(1)若$∠CBD=39°$,求$∠BAD$的度数;
(2)求证:$∠1=∠2$.

解​$：(1) $​因为​$BC = DC，$​所以​$∠CBD=∠CDB = 39°。$​因为​$∠BAC=∠CDB = 39°，$​​$∠CAD=∠CBD = 39°，$​所以​$∠BAD=∠BAC+∠CAD$​​$=39°+39°=78°。$​​$ (2) $​因为​$EC = BC，$​所以​$∠CEB=∠CBE。$​又因为​$∠CEB=∠2+∠BAE，$​​$∠CBE=∠1+∠CBD，$​且​$∠BAE=∠BDC=∠CBD，$​所以​$∠1=∠2。$​

11. (2025·绍兴月考)如图,已知AB是$\odot O$的直径,点C为圆上一点.将$\overset{\frown}{BC}$沿弦BC翻折,交AB于点D,把$\overset{\frown}{BD}$沿直径AB翻折,交BC于点E,作$DF ⊥ BC$,若点E恰好是翻折后的$\overset{\frown}{BD}$的中点,则$\frac{CF}{BF}$的值为________.

$\sqrt{2}-1$

12. 已知$△ ABC$内接于$\odot O$.
(1) 如图①,过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$N$,交$\odot O$于点$D$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,交$BD$于点$M$,试探究$AM$与$AD$的数量关系,并说明理由;
(2) 如图②,在(1)的条件下,过点$O$作$OH ⊥ BC$于点$H$,试证明:$AM=2OH$;
(3) 如图③,作$∠ BAC$的平分线$AD$交$\odot O$于点$D$,若点$P$为劣弧$BC$上一动点,连接$PB$、$PC$,过点$D$作$DH ⊥ PC$于点$H$,试猜想$\frac{PB+PC}{CH}$的值是否是定值,如果是,请求出定值,如果不是,请说明理由.

解​$：(1)AM = AD。$​理由：因为​$BD\perp AC，$​​$AE\perp BC，$​所以​$∠AND=∠BEM = 90°。$​因为​$\overset {\frown }{CD}=\overset {\frown }{CD}，$​所以​$∠CAD=∠CBD，$​所以​$∠D = 90°-∠CAD=90°-∠CBD=∠BME。$​又因为​$∠AMD=∠BME，$​所以​$∠AMD=∠D，$​所以​$AM = AD。$​​$ (2) $​如图​$①，$​过点​$O$​作​$OP\perp AD$​于点​$P，$​连接​$OD、$​​$OC，$​由垂径定理和圆周角定理可得​$∠BAC=∠HOC，$​​$∠ABD=∠POD。$​因为​$BD\perp AC，$​所以​$∠BAC+∠ABD=∠HOC+∠POD = 90°。$​因为​$∠HOC+∠HCO = 90°，$​所以​$∠POD=∠HCO。$​因为​$∠OPD=∠CHO = 90°，$​​$OD = CO，$​所以​$\triangle ODP\cong \triangle COH(\mathrm {AAS})，$​所以​$OH = PD。$​因为​$PD=\frac {1}{2}AD，$​​$AD = AM，$​所以​$AM = 2OH。$​​$ (3)\frac {PB + PC}{CH}$​的值是定值，定值为​$2。$​在​$CH$​上截取​$CN = PB，$​连接​$DB、$​​$DC、$​​$DP、$​​$DN，$​如图②，因为​$\overset {\frown }{PD}=\overset {\frown }{PD}，$​所以​$∠PBD=∠NCD。$​因为​$AD$​是​$∠BAC$​的平分线，所以​$\overset {\frown }{BD}=\overset {\frown }{CD}，$​所以​$BD = CD，$​所以​$\triangle PBD\cong \triangle NCD(\mathrm {SAS})，$​所以​$DP = DN。$​因为​$DH\perp PC，$​所以​$PH = NH，$​所以​$PB + PC=PN + CN+NC = 2HN + 2CN = 2CH，$​所以​$\frac {PB + PC}{CH}=2。$
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