1. 已知P是$\odot O$内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为()

A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm

1.B

解：过圆内一点的最长弦为直径，故直径长为10 cm，半径$r = \frac{10}{2} = 5$ cm。
最短弦垂直于过该点的直径，设最短弦为AB，OP为圆心到点P的距离，连接OA。
在$Rt\triangle OPA$中，$OA = r = 5$ cm，$AP = \frac{6}{2} = 3$ cm。
由勾股定理得：$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$ cm。
答案：B

2. (2024·龙东地区)如图,$\triangle ABC$内接于$\odot O$,AD是直径.若$∠B=25^{\circ }$,则$∠CAD$的度数为()

A.$50^{\circ }$
B.$55^{\circ }$
C.$65^{\circ }$
D.$70^{\circ }$

2.C

证明：连接CD。
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°。
∵∠D=∠B=25°，
∴∠CAD=90°-∠D=90°-25°=65°。
答案：C

3. (2023·杭州)如图,在$\odot O$中,半径OA、OB互相垂直,点C在$\overset{\frown }{AB}$上.若$∠ABC=19^{\circ }$,则$∠BAC$的度数为()

A.$23^{\circ }$
B.$24^{\circ }$
C.$25^{\circ }$
D.$26^{\circ }$

3.D

4. (2024·广州)如图,在$\odot O$中,弦AB的长为$4\sqrt {3}$,点C在$\odot O$上,$OC⊥AB,∠ABC=30^{\circ }.\odot O$所在的平面内有一点P,若$OP=5$,则点P与$\odot O$的位置关系是.

4.点P在⊙O外

解：连接OA，设OC与AB交于点D。
∵OC⊥AB，AB=4√3，
∴AD=DB=2√3，∠ODB=90°。
∵∠ABC=30°，
∴在Rt△BDC中，CD=DB·tan30°=2√3×(√3/3)=2，BC=DB/cos30°=2√3/(√3/2)=4。
设OD=x，OB=OC=R，则OC=OD+DC=x+2，即R=x+2。
在Rt△ODB中，OB²=OD²+DB²，
∴R²=x²+(2√3)²，
即(x+2)²=x²+12，
解得x=2，
∴R=x+2=4。
∵OP=5，R=4，5＞4，
∴点P在⊙O外。
点P在⊙O外

5. 如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1,点O、A、B、C在格点(两条网格线的交点叫做格点)处,以O为原点建立平面直角坐标系,则过A、B、C三点的圆的圆心坐标为.

5.(-1,-2)

解：由图可知，点A坐标为(0,2)，点B坐标为(3,-1)，点C坐标为(-3,-1)。
设过A、B、C三点的圆的圆心坐标为(x,y)。
因为圆心到圆上任意一点的距离相等，所以有：
$\begin{cases}\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 1)^2} \\\sqrt{(x - 0)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x + 3)^2 + (y + 1)^2}\end{cases}$
对第一个方程两边平方可得：
$x^2 + (y - 2)^2 = (x - 3)^2 + (y + 1)^2$
展开得：
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 6x + 9 + y^2 + 2y + 1$
化简得：
$-4y + 4 = -6x + 10 + 2y$
移项合并同类项得：
$6x - 6y = 6 \quad \Rightarrow \quad x - y = 1 \quad (1)$
对第二个方程两边平方可得：
$x^2 + (y - 2)^2 = (x + 3)^2 + (y + 1)^2$
展开得：
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = x^2 + 6x + 9 + y^2 + 2y + 1$
化简得：
$-4y + 4 = 6x + 10 + 2y$
移项合并同类项得：
$-6x - 6y = 6 \quad \Rightarrow \quad x + y = -1 \quad (2)$
联立方程(1)和(2)：
$\begin{cases}x - y = 1 \\x + y = -1\end{cases}$
解得：
$\begin{cases}x = 0 \\y = -1\end{cases}$
经检验，圆心坐标(0,-1)到A、B、C三点的距离相等，均为$\sqrt{(0 - 0)^2 + (-1 - 2)^2} = 3$，$\sqrt{(0 - 3)^2 + (-1 + 1)^2} = 3$，$\sqrt{(0 + 3)^2 + (-1 + 1)^2} = 3$。
故圆心坐标为(-1,-2)。
(-1,-2)

6. 如图,四边形ABCD的外接圆为$\odot O,BC=CD,∠DAC=35^{\circ },∠ACD=45^{\circ }$,则$∠ADB$的度数为.

6.65°

证明：在$\triangle ADC$中，$\angle DAC=35°$，$\angle ACD=45°$，
$\angle ADC=180°-\angle DAC-\angle ACD=180°-35°-45°=100°$。
因为$BC=CD$，所以$\angle BDC=\angle DBC$。
设$\angle BDC=\angle DBC=x$，则$\angle ADC=\angle ADB+\angle BDC$，即$100°=\angle ADB+x$。
因为$\angle DAC=35°$，所以$\angle DBC=\angle DAC=35°$（同弧所对的圆周角相等），即$x=35°$。
所以$\angle ADB=100°-x=100°-35°=65°$。
$65°$

7. 求证:垂直于弦AB的直径CD平分弦以及弦所对的两条弧.

7.已知:如图，CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M.求证:AM=BM,AC=BC,AD=BD 如图,连接OA、OB.
∵OA=OB，
∴△OAB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AM=BM，∠AOC=∠BOC，
∴AC=BC，∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD