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1.(2025·宿迁泗洪县期中)下列方程是一元二次方程的是 （
A.$x - 3 = 2x + 1$
B.$2xy + 1 = 0$
C.$x^2 - \frac{1}{x} - 3 = 0$
D.$x^2 - 4x - 1 = 0$
D
）A.$x - 3 = 2x + 1$
B.$2xy + 1 = 0$
C.$x^2 - \frac{1}{x} - 3 = 0$
D.$x^2 - 4x - 1 = 0$
答案
D
解析
【分析】
解答本题需先明确一元二次方程的判定标准：需同时满足4个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时先回忆上述判定条件，再逐一验证每个选项是否符合所有条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程$x - 3 = 2x + 1$整理后为$x+4=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程定义；
选项B：方程$2xy + 1 = 0$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义；
选项C：方程$x^2 - \frac{1}{x} - 3 = 0$中$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义；
选项D：方程$x^2 - 4x - 1 = 0$只含有$x$一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的核心是准确把握一元二次方程的各项判定条件，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要忽略对未知数个数、最高次数的校验。
【难度系数】
0.8
解答本题需先明确一元二次方程的判定标准：需同时满足4个条件：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2；④二次项系数不为0。解题时先回忆上述判定条件，再逐一验证每个选项是否符合所有条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们对各选项逐一分析：
选项A：方程$x - 3 = 2x + 1$整理后为$x+4=0$，未知数最高次数为1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程定义；
选项B：方程$2xy + 1 = 0$含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合一元二次方程定义；
选项C：方程$x^2 - \frac{1}{x} - 3 = 0$中$\frac{1}{x}$是分式，该方程属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程定义；
选项D：方程$x^2 - 4x - 1 = 0$只含有$x$一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 整式方程的判定
【点评】
本题是基础概念考察题，解题的核心是准确把握一元二次方程的各项判定条件，尤其要注意区分整式方程和分式方程，不要忽略对未知数个数、最高次数的校验。
【难度系数】
0.8
2.方程$(x+1)^2=4$的解是 （
A.$x_1=-3,x_2=3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-1,x_2=1$
D.$x_1=1,x_2=3$
B
）A.$x_1=-3,x_2=3$
B.$x_1=-3,x_2=1$
C.$x_1=-1,x_2=1$
D.$x_1=1,x_2=3$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程左边是完全平方式，右边是正数，适合用直接开平方法解题。解题思路是根据平方根的定义，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，先对等式两边开平方，将原二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解得到方程的解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对等式$(x+1)^2=4$两边直接开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况计算：
①当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
②当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-3$，$x_2=1$。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，直接开平方法适用于左边为完全平方式、右边为非负数的一元二次方程，解题时需注意开平方后有正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
这道题考查一元二次方程的求解，观察方程左边是完全平方式，右边是正数，适合用直接开平方法解题。解题思路是根据平方根的定义，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，先对等式两边开平方，将原二次方程转化为两个一元一次方程，再分别求解得到方程的解，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
解：对等式$(x+1)^2=4$两边直接开平方，可得：
$x+1=\pm\sqrt{4}=\pm2$
分两种情况计算：
①当$x+1=2$时，解得$x=2-1=1$；
②当$x+1=-2$时，解得$x=-2-1=-3$。
因此原方程的解为$x_1=-3$，$x_2=1$。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，直接开平方法适用于左边为完全平方式、右边为非负数的一元二次方程，解题时需注意开平方后有正负两种结果，避免漏解。
【难度系数】
0.9
3. $x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2 +4×3×1}}{2×3}$是下列哪个一元二次方程的根 （
A.$3x^2 +5x +1=0$
B.$3x^2 -5x +1=0$
C.$3x^2 -5x -1=0$
D.$3x^2 +5x -1=0$
D
）A.$3x^2 +5x +1=0$
B.$3x^2 -5x +1=0$
C.$3x^2 -5x -1=0$
D.$3x^2 +5x -1=0$
答案
D
解析
【分析】
我们可以利用一元二次方程求根公式的结构来反向推导对应方程：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，只需要将题目给出的根的表达式和求根公式的各部分一一对应，确定$a、b、c$的取值，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2 +4×3×1}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母为$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 分子的一次项部分为$-b=-5$，可得$b=5$；
3. 根号内的判别式部分为$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，将$a=3、b=5$代入，得$25-12c=25+12$，解得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2+5x-1=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆向运用，解题核心是熟练掌握求根公式的结构特征，准确对应各项系数，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
我们可以利用一元二次方程求根公式的结构来反向推导对应方程：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，只需要将题目给出的根的表达式和求根公式的各部分一一对应，确定$a、b、c$的取值，就能得到对应的一元二次方程，再匹配选项即可。
【解析】
解：一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的根的表达式$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{5^2 +4×3×1}}{2×3}$与求根公式对比：
1. 分母为$2a=2×3$，可得$a=3$；
2. 分子的一次项部分为$-b=-5$，可得$b=5$；
3. 根号内的判别式部分为$b^2-4ac=5^2+4×3×1$，将$a=3、b=5$代入，得$25-12c=25+12$，解得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$3x^2+5x-1=0$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程求根公式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程求根公式的逆向运用，解题核心是熟练掌握求根公式的结构特征，准确对应各项系数，属于基础题型，熟练掌握公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如果a是一元二次方程$2x^2=6x-4$的根，那么代数式$a^2-3a+2026$的值为（
A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
B
）A.2023
B.2024
C.2025
D.2026
答案
B
解析
【分析】
首先根据一元二次方程根的定义，若a是方程的根，则将x=a代入原方程等式成立。观察所求代数式$a^2-3a+2026$的结构，可先对原方程进行变形，整体求出$a^2-3a$的值，再代入代数式计算，无需解出a的具体值，简化运算。
【解析】
第一步：整理原一元二次方程
将方程$2x^2=6x-4$移项得：$2x^2 - 6x = -4$，
等式两边同时除以2，化简得：$x^2 - 3x = -2$。
第二步：利用方程根的性质求$a^2-3a$的值
因为a是方程$2x^2=6x-4$的根，将x=a代入化简后的方程得：$a^2 - 3a = -2$。
第三步：代入代数式计算
将$a^2 - 3a = -2$代入$a^2-3a+2026$得：
原式$= -2 + 2026 = 2024$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题巧妙运用整体代入思想，通过对原方程变形直接得到所求代数式中含字母部分的取值，避免了求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值类问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
首先根据一元二次方程根的定义，若a是方程的根，则将x=a代入原方程等式成立。观察所求代数式$a^2-3a+2026$的结构，可先对原方程进行变形，整体求出$a^2-3a$的值，再代入代数式计算，无需解出a的具体值，简化运算。
【解析】
第一步：整理原一元二次方程
将方程$2x^2=6x-4$移项得：$2x^2 - 6x = -4$，
等式两边同时除以2，化简得：$x^2 - 3x = -2$。
第二步：利用方程根的性质求$a^2-3a$的值
因为a是方程$2x^2=6x-4$的根，将x=a代入化简后的方程得：$a^2 - 3a = -2$。
第三步：代入代数式计算
将$a^2 - 3a = -2$代入$a^2-3a+2026$得：
原式$= -2 + 2026 = 2024$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题巧妙运用整体代入思想，通过对原方程变形直接得到所求代数式中含字母部分的取值，避免了求解一元二次方程的复杂运算，是代数式求值类问题的常用解题技巧。
【难度系数】
0.8
5.(2025·连云港期末)设$M=2a^2 -5a +1$，$N=a^2 -6$，其中a为实数，则M与N的大小关系是
（
A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M≠N$
D.不能确定
（
A
）A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M≠N$
D.不能确定
答案
A
解析
【分析】要比较两个代数式M和N的大小，常用作差法：计算M-N的值，通过判断差的符号确定大小关系：差为正则被减数大，差为负则减数大，差为0则两者相等。得到差后可通过配方法将其变形为“平方+正数”的形式，再利用平方的非负性判断差的符号即可。
【解析】
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -6)\\&=2a^2 -5a +1 -a^2 +6\\&=a^2 -5a +7\end{aligned}$
对上述代数式配方：
$\begin{aligned}a^2 -5a +7&=a^2 -5a + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 +7\\&=(a-\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4}\\&=(a-\frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
由平方的非负性可知$(a-\frac{5}{2})^2≥0$，因此$(a-\frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；配方法的应用；非负数的性质
【点评】作差法是代数式大小比较的基础常用方法，本题结合配方法和平方的非负性即可快速判断差的符号，解题时需注意配方过程的计算准确性。
【难度系数】0.8
【解析】
计算$M-N$：
$\begin{aligned}M-N&=(2a^2 -5a +1)-(a^2 -6)\\&=2a^2 -5a +1 -a^2 +6\\&=a^2 -5a +7\end{aligned}$
对上述代数式配方：
$\begin{aligned}a^2 -5a +7&=a^2 -5a + (\frac{5}{2})^2 - (\frac{5}{2})^2 +7\\&=(a-\frac{5}{2})^2 - \frac{25}{4} + \frac{28}{4}\\&=(a-\frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}\end{aligned}$
由平方的非负性可知$(a-\frac{5}{2})^2≥0$，因此$(a-\frac{5}{2})^2 + \frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】A
【知识点】作差法比较大小；配方法的应用；非负数的性质
【点评】作差法是代数式大小比较的基础常用方法，本题结合配方法和平方的非负性即可快速判断差的符号，解题时需注意配方过程的计算准确性。
【难度系数】0.8
6.(2025·青海)若$x=1$是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，则$c$的值为
3
。答案
3
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求参数c，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们只需将根x=1代入原方程，就能得到一个只含有未知数c的一元一次方程，解这个方程即可求出c的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 4×1 + c = 0$
计算得：$1 - 4 + c = 0$
整理得：$c - 3 = 0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，直接代入已知根求解参数即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根求参数c，解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。我们只需将根x=1代入原方程，就能得到一个只含有未知数c的一元一次方程，解这个方程即可求出c的值。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$x^2 - 4x + c = 0$的一个根，
∴将x=1代入方程，等式成立，即：
$1^2 - 4×1 + c = 0$
计算得：$1 - 4 + c = 0$
整理得：$c - 3 = 0$
解得：$c=3$
【答案】
3
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义，直接代入已知根求解参数即可，计算量小，易得分。
【难度系数】
0.9
7.(2025·宿迁泗阳县期中)若m是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个实数根，则代数式$2m^2 - 4m + 2023 =$
2025
答案
2025
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入已知方程，得到关于m的关系式；再观察待求代数式的结构，发现其前两项可提取公因式变形为与所得关系式相关的形式，最后采用整体代入法计算即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - 2m = 1$。
对代数式变形得：
$2m^2 - 4m + 2023 = 2(m^2 - 2m) + 2023$，
将$m^2 - 2m = 1$代入上式得：
原式$= 2×1 + 2023 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，避免了求解一元二次方程的繁琐计算，只要掌握方程根的定义和整体变形的技巧就能快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义，将x=m代入已知方程，得到关于m的关系式；再观察待求代数式的结构，发现其前两项可提取公因式变形为与所得关系式相关的形式，最后采用整体代入法计算即可，无需解出m的具体值，能简化运算。
【解析】
∵m是一元二次方程$x^2 - 2x - 1 = 0$的一个实数根，
∴将x=m代入方程得：$m^2 - 2m - 1 = 0$，
整理可得：$m^2 - 2m = 1$。
对代数式变形得：
$2m^2 - 4m + 2023 = 2(m^2 - 2m) + 2023$，
将$m^2 - 2m = 1$代入上式得：
原式$= 2×1 + 2023 = 2025$。
【答案】
2025
【知识点】
一元二次方程的根的定义；整体代入求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，核心考查整体思想的应用，避免了求解一元二次方程的繁琐计算，只要掌握方程根的定义和整体变形的技巧就能快速解答。
【难度系数】
0.8
8.(2025·宜兴期中)多项式$2x^2+6x+10$的最小值为
$\dfrac{11}{2}$
.答案
$\dfrac{11}{2}$
解析
【分析】
要求多项式$2x^2+6x+10$的最小值，由于二次项系数为正，该多项式存在最小值，可通过配方法将其变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方式的非负性求解。具体步骤为：先提取二次项系数，将含$x$的项统一放在括号内，再给括号内加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，同时减去相应的数保证式子的值不变，最后化简后分析平方项为0时的取值即可得到最小值。
【解析】
解：对多项式进行配方：
$\begin{aligned}2x^2+6x+10&=2(x^2+3x)+10\\&=2[x^2+3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2]+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4}+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}\end{aligned}$
$\because (x+\frac{3}{2})^2≥0$，且$2＞0$，
$\therefore 2(x+\frac{3}{2})^2≥0$，当且仅当$x=-\frac{3}{2}$时，$2(x+\frac{3}{2})^2=0$，
此时多项式取得最小值，最小值为$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\dfrac{11}{2}$
【知识点】
配方法的应用；完全平方式的非负性；二次多项式最值求解
【点评】
本题是二次式最值的基础常考题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，利用完全平方的非负性确定最值，计算时要注意提取二次项系数后，配方加减的项要乘回系数，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
要求多项式$2x^2+6x+10$的最小值，由于二次项系数为正，该多项式存在最小值，可通过配方法将其变形为“完全平方式+常数”的形式，再结合完全平方式的非负性求解。具体步骤为：先提取二次项系数，将含$x$的项统一放在括号内，再给括号内加上一次项系数一半的平方凑成完全平方式，同时减去相应的数保证式子的值不变，最后化简后分析平方项为0时的取值即可得到最小值。
【解析】
解：对多项式进行配方：
$\begin{aligned}2x^2+6x+10&=2(x^2+3x)+10\\&=2[x^2+3x+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2]+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 - 2×\frac{9}{4}+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}+10\\&=2(x+\frac{3}{2})^2 + \frac{11}{2}\end{aligned}$
$\because (x+\frac{3}{2})^2≥0$，且$2＞0$，
$\therefore 2(x+\frac{3}{2})^2≥0$，当且仅当$x=-\frac{3}{2}$时，$2(x+\frac{3}{2})^2=0$，
此时多项式取得最小值，最小值为$\frac{11}{2}$。
【答案】
$\dfrac{11}{2}$
【知识点】
配方法的应用；完全平方式的非负性；二次多项式最值求解
【点评】
本题是二次式最值的基础常考题，解题核心是熟练掌握配方法的操作步骤，利用完全平方的非负性确定最值，计算时要注意提取二次项系数后，配方加减的项要乘回系数，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.7
9.(2025·无锡惠山区期末)已知$(x^2 + y^2 + 1)(x^2 + y^2 + 2)=7$，则$x^2 + y^2$的值为
$\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}$
。答案
$\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}$
解析
【分析】
观察等式可知$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化计算：先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可得$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，代入原方程得：
$(t+1)(t+2)=7$
展开左边并整理为一元二次方程标准形式：
$t^2 + 3t + 2 = 7 \t^2 + 3t - 5 = 0$
其中$a=1,b=3,c=-5$，代入一元二次方程求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-5)=29 \t=\frac{-3\pm\sqrt{29}}{2}$
因为$t≥0$，故$t=\frac{-3-\sqrt{29}}{2}＜0$不符合要求，舍去，因此：
$t=\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$
【答案】
$\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题的关键是找到重复出现的整体进行换元，同时要注意挖掘$x^2+y^2≥0$的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
观察等式可知$x^2+y^2$重复出现，可采用换元法简化计算：先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可得$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围舍去不符合要求的解，即可得到最终结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可知$t≥0$，代入原方程得：
$(t+1)(t+2)=7$
展开左边并整理为一元二次方程标准形式：
$t^2 + 3t + 2 = 7 \t^2 + 3t - 5 = 0$
其中$a=1,b=3,c=-5$，代入一元二次方程求根公式$t=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$\Delta = 3^2 - 4×1×(-5)=29 \t=\frac{-3\pm\sqrt{29}}{2}$
因为$t≥0$，故$t=\frac{-3-\sqrt{29}}{2}＜0$不符合要求，舍去，因此：
$t=\frac{-3+\sqrt{29}}{2}$
【答案】
$\dfrac{-3+\sqrt{29}}{2}$
【知识点】
换元法，一元二次方程解法，非负数的性质
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题的关键是找到重复出现的整体进行换元，同时要注意挖掘$x^2+y^2≥0$的隐含条件，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共60分)
10.(30分)用合适的方法解下列方程：
(1)$2x^2 -1=7$；
(2)$(x+3)^2 -25=0$；
(3)$x^2 -4x=9996$；
(4)$x(x-6)=6$；
(5)$2x^2 +3x -1=0$；
(6)$3x^2 -1=2\sqrt{3}x$。
10.(30分)用合适的方法解下列方程：
(1)$2x^2 -1=7$；
(2)$(x+3)^2 -25=0$；
(3)$x^2 -4x=9996$；
(4)$x(x-6)=6$；
(5)$2x^2 +3x -1=0$；
(6)$3x^2 -1=2\sqrt{3}x$。
答案
(1)$x_1=2,x_2=-2$
(2)$x_1=2,x_2=-8$
(3)$x_1=102,x_2=-98$
(4)$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$
(5)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$
(2)$x_1=2,x_2=-8$
(3)$x_1=102,x_2=-98$
(4)$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$
(5)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$
解析
【分析】
解一元二次方程常用方法有直接开平方法、配方法、公式法，解题时需根据方程结构特征选择最优解法：①方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式时，优先选直接开平方法；②一次项系数为偶数且常数项绝对值较大时，优先选配方法；③不易用直接开平、配方法求解的方程，选用通用的公式法即可。逐个分析每个方程特征选择对应方法就能顺利求解。
【解析】
(1) 移项得：$2x^2=7+1$，即$2x^2=8$，
系数化为1得：$x^2=4$，
直接开平方得：$x=\pm2$，
$\therefore x_1=2,x_2=-2$；
(2) 移项得：$(x+3)^2=25$，
直接开平方得：$x+3=\pm5$，
当$x+3=5$时，$x=2$；当$x+3=-5$时，$x=-8$，
$\therefore x_1=2,x_2=-8$；
(3) 配方，方程两边同时加4得：$x^2-4x+4=9996+4$，
即$(x-2)^2=10000$，
直接开平方得：$x-2=\pm100$，
当$x-2=100$时，$x=102$；当$x-2=-100$时，$x=-98$，
$\therefore x_1=102,x_2=-98$；
(4) 整理原方程得：$x^2-6x=6$，
配方，两边同时加9得：$x^2-6x+9=6+9$，
即$(x-3)^2=15$，
直接开平方得：$x-3=\pm\sqrt{15}$，
$\therefore x=3\pm\sqrt{15}$，即$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$；
(5) 对于方程$2x^2+3x-1=0$，取$a=2,b=3,c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(6) 移项整理为一般式：$3x^2-2\sqrt{3}x-1=0$，
取$a=3,b=-2\sqrt{3},c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×3×(-1)=24＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$
(2)$x_1=2,x_2=-8$
(3)$x_1=102,x_2=-98$
(4)$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$
(5)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法；配方法；公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，核心是根据方程结构灵活选择简便解法，计算时要注意符号问题，开平方时不要漏解，用公式法前可先判断判别式正负，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程常用方法有直接开平方法、配方法、公式法，解题时需根据方程结构特征选择最优解法：①方程可变形为$(ax+b)^2=c$（$c≥0$）的形式时，优先选直接开平方法；②一次项系数为偶数且常数项绝对值较大时，优先选配方法；③不易用直接开平、配方法求解的方程，选用通用的公式法即可。逐个分析每个方程特征选择对应方法就能顺利求解。
【解析】
(1) 移项得：$2x^2=7+1$，即$2x^2=8$，
系数化为1得：$x^2=4$，
直接开平方得：$x=\pm2$，
$\therefore x_1=2,x_2=-2$；
(2) 移项得：$(x+3)^2=25$，
直接开平方得：$x+3=\pm5$，
当$x+3=5$时，$x=2$；当$x+3=-5$时，$x=-8$，
$\therefore x_1=2,x_2=-8$；
(3) 配方，方程两边同时加4得：$x^2-4x+4=9996+4$，
即$(x-2)^2=10000$，
直接开平方得：$x-2=\pm100$，
当$x-2=100$时，$x=102$；当$x-2=-100$时，$x=-98$，
$\therefore x_1=102,x_2=-98$；
(4) 整理原方程得：$x^2-6x=6$，
配方，两边同时加9得：$x^2-6x+9=6+9$，
即$(x-3)^2=15$，
直接开平方得：$x-3=\pm\sqrt{15}$，
$\therefore x=3\pm\sqrt{15}$，即$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$；
(5) 对于方程$2x^2+3x-1=0$，取$a=2,b=3,c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$，
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$；
(6) 移项整理为一般式：$3x^2-2\sqrt{3}x-1=0$，
取$a=3,b=-2\sqrt{3},c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×3×(-1)=24＞0$，
代入求根公式得：
$x=\frac{2\sqrt{3}\pm\sqrt{24}}{6}=\frac{\sqrt{3}\pm\sqrt{6}}{3}$，
$\therefore x_1=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$
(2)$x_1=2,x_2=-8$
(3)$x_1=102,x_2=-98$
(4)$x_1=3+\sqrt{15},x_2=3-\sqrt{15}$
(5)$x_1=\dfrac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\dfrac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\dfrac{\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3},x_2=\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
一元二次方程的解法；配方法；公式法
【点评】
本题考查一元二次方程的求解，核心是根据方程结构灵活选择简便解法，计算时要注意符号问题，开平方时不要漏解，用公式法前可先判断判别式正负，避免无效计算。
【难度系数】
0.8
