8.(2025·南京模拟)已知$4-\sqrt{15}$是关于$x$的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$($a,b,c$是有理数，$a≠0$)的一个根，则该方程的另外两个根分别是，。

8. $2\quad4+\sqrt{15}$

【分析】
首先观察方程结构，方程已被分解为一次因式$(x-2)$与二次因式$(ax^2+bx+c)$的乘积为0的形式，根据“几个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，可得$x-2=0$的解$x=2$必然是原方程的一个根；剩余两个根是二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，已知其中一个根为$4-\sqrt{15}$，又因为$a,b,c$均为有理数，有理系数一元二次方程的无理根是成对出现的，互为共轭的两个无理数都是方程的根，据此即可求出第三个根。
【解析】
解：$\because$ 方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$
$\therefore$ 令$x-2=0$，解得$x=2$，即2是原方程的一个根。
剩余两个根为一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根，已知其中一个根为$4-\sqrt{15}$，且$a,b,c$均为有理数，
根据有理系数一元二次方程的无理根性质：若$p-\sqrt{q}$（$p,q$为有理数，$\sqrt{q}$为无理数）是有理系数一元二次方程的根，则$p+\sqrt{q}$也为该方程的根，
$\therefore$ 二次方程$ax^2+bx+c=0$的另一个根为$4+\sqrt{15}$。
综上，原方程除$4-\sqrt{15}$外的另外两个根为2和$4+\sqrt{15}$。
【答案】
$2$；$4+\sqrt{15}$
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 有理系数方程根的性质
【点评】
本题考查因式分解法求解高次方程的思路，以及有理系数一元二次方程无理根成对出现的特点，熟练掌握相关性质即可快速得出答案，计算量较小。
【难度系数】
0.7

9.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - m = 1$的一个根为$x=2$，则方程的另一个根为。

9.$x=1$

【分析】
解题可从两个思路入手：思路1：根据一元二次方程根的定义，将已知根x=2代入原方程，先求出参数m的值，再将m代回原方程求解即可得到另一个根，该方法易理解，适合多数学生掌握；思路2：先将方程整理为标准形式，利用根与系数的关系（韦达定理）直接计算另一个根，计算更快捷。
【解析】
步骤1：代入已知根求参数m
将$x=2$代入方程$x^2 + mx - m = 1$中，得：
$2^2 + 2m - m = 1$
化简得：$4 + m = 1$
解得：$m = -3$
步骤2：代回m值解方程
把$m=-3$代入原方程，得：
$x^2 - 3x - (-3) = 1$
整理为一元二次方程标准形式：$x^2 - 3x + 2 = 0$
因式分解得：$(x-2)(x-1) = 0$
解得方程的根为$x_1=2$，$x_2=1$
因此方程的另一个根为$x=1$。
【答案】
$x=1$
【知识点】
一元二次方程根的定义、因式分解法解方程、根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题，核心考查对根的定义的理解，两种解题方法都要求熟练掌握，能帮助大家灵活应对同类题型。
【难度系数】
0.8

10.(2025·上海期末)关于x的一元二次方程$3x^2 - 7x + m + 2 = 0$根的判别式的值是6，则此方程的解为。

10.$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$

【分析】
本题是已知一元二次方程根的判别式的值求方程解的基础题，解题思路如下：第一步，先对照一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，确定题目中方程对应的$a、b$的取值；第二步，回忆一元二次方程求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，题目已经直接给出判别式$\Delta=6$，不需要额外求解参数$m$，直接将$a、b、\Delta$的值代入公式计算即可得到方程的解。
【解析】
对于一元二次方程$3x^2 -7x +m+2=0$，可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-7$，
由题可知根的判别式$\Delta=6$，
根据一元二次方程求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入对应数值计算：
$x=\frac{-(-7)±\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7±\sqrt{6}}{6}$
即方程的两个解为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6}$，$x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式；2.一元二次方程求根公式
【点评】
本题侧重基础应用，不需要求解未知参数即可直接计算方程的根，解题时注意记准求根公式的结构，避免符号出错即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

11. 用公式法解下列方程：
(1) $5x^2 - 10x - 40 = 0$；
(2) $-\dfrac{1}{3}x^2 - 3x = 2$；
(3) $x^2 + 2 = 2\sqrt{2}x$；
(4) $3x^2 + 2x = (x + 2)^2$；

11.(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=\frac{-9+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$
(3)$x_1=x_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-1$

【分析】
用公式法解一元二次方程的核心步骤为：①将原方程变形为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；②准确确定系数$a$、$b$、$c$的值，注意要带上系数的符号；③计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断方程根的情况：若$\Delta＜0$，方程无实数根；若$\Delta≥0$，将$a$、$b$、$\Delta$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算得到方程的根。解题时可先对原方程化简，减小计算量。
【解析】
(1) 方程$5x^2 - 10x - 40 = 0$已是一般形式，其中$a=5$，$b=-10$，$c=-40$，
计算判别式：$\Delta = (-10)^2 - 4×5×(-40) = 100 + 800 = 900＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-10)\pm\sqrt{900}}{2×5}=\frac{10\pm30}{10}$，
即$x_1=\frac{10+30}{10}=4$，$x_2=\frac{10-30}{10}=-2$。
(2) 先将方程$-\dfrac{1}{3}x^2 - 3x = 2$化为一般形式：移项得$-\dfrac{1}{3}x^2 - 3x - 2 = 0$，两边同乘$-3$化简得$x^2 + 9x + 6 = 0$，
其中$a=1$，$b=9$，$c=6$，
计算判别式：$\Delta = 9^2 - 4×1×6 = 81 - 24 = 57＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-9\pm\sqrt{57}}{2×1}$，
即$x_1=\frac{-9+\sqrt{57}}{2}$，$x_2=\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$。
(3) 先将方程$x^2 + 2 = 2\sqrt{2}x$化为一般形式：移项得$x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=2$，
计算判别式：$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×1×2 = 8 - 8 = 0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{2})\pm\sqrt{0}}{2×1}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，
即$x_1=x_2=\sqrt{2}$。
(4) 先将方程$3x^2 + 2x = (x + 2)^2$化为一般形式：展开右边得$x^2 + 4x + 4$，移项合并同类项得$2x^2 - 2x - 4 = 0$，两边同除以2化简得$x^2 - x - 2 = 0$，
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-2$，
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(-2) = 1 + 8 = 9＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{9}}{2×1}=\frac{1\pm3}{2}$，
即$x_1=\frac{1+3}{2}=2$，$x_2=\frac{1-3}{2}=-1$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=\frac{-9+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$
(3)$x_1=x_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-1$
【知识点】
一元二次方程一般形式，根的判别式，公式法解方程
【点评】
本题是运用公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的关键是熟练掌握公式法解方程的步骤，特别注意将方程化为一般形式时系数的符号，计算判别式和求根时要仔细，避免因符号错误或计算失误丢分。
【难度系数】
0.75

12.对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如$\max\{1,3\}=3$.按照这个规定,解方程$\max\{1,x\}=x^2 - 6$.

12.解:当$x＞1$时,方程为$x^2-6=x$,即$x^2-x-6=0$,
解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=3$,$\therefore$此时$x=3$;
当$x＜1$时,方程为$x^2-6=1$,
解得$x_1=\sqrt{7}$(舍去),$x_2=-\sqrt{7}$,$\therefore$此时$x=-\sqrt{7}$.
综上,方程$\max\{1,x\}=x^2-6$的解为$x=3$或$x=-\sqrt{7}$.

【分析】
首先要明确新定义符号$\max\{a,b\}$的含义：取两个不相等实数中的较大值。求解$\max\{1,x\}=x^2 - 6$需分两类讨论：第一类当$x＞1$时，$\max\{1,x\}=x$，代入方程求解后要验证解是否满足$x＞1$的前提；第二类当$x＜1$时，$\max\{1,x\}=1$，代入方程求解后同样要验证解是否满足$x＜1$的前提，最后汇总所有符合条件的解即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$x＞1$时，$\max\{1,x\}=x$，原方程转化为：
$x^2 - 6 = x$
整理得$x^2 - x - 6 = 0$
因式分解得$(x-3)(x+2)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-2$
结合前提$x＞1$，$x=-2$不符合条件，舍去，得此时解为$x=3$；
2. 当$x＜1$时，$\max\{1,x\}=1$，原方程转化为：
$x^2 - 6 = 1$
整理得$x^2=7$
解得$x_1=\sqrt{7}$，$x_2=-\sqrt{7}$
结合前提$x＜1$，$\sqrt{7}\approx2.65＞1$不符合条件，舍去，得此时解为$x=-\sqrt{7}$。
综上，原方程的解为$x=3$或$x=-\sqrt{7}$。
【答案】
$x=3$或$x=-\sqrt{7}$
【知识点】
新定义运算，解一元二次方程，分类讨论
【点评】
本题结合新定义考查方程求解能力，解题核心是准确理解新定义规则，合理划分分类区间，求解后需结合分类的前提条件检验解的有效性，避免产生增解。
【难度系数】
0.7

13.已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2ax +a+1=0$.
(1)求该方程的根；
(2)当$a$为何整数时，该方程的两个根都是正整数？

13.解:(1)由已知得$a-1≠0$,即$a≠1$,
$\therefore$判别式为$(-2a)^2-4(a-1)(a+1)=4＞0$,
$\therefore x=\frac{2a\pm2}{2(a-1)}=\frac{a\pm1}{a-1}$,$\therefore x_1=\frac{a+1}{a-1},x_2=1$.
(2)由(1)知$x_1=\frac{a+1}{a-1}=1+\frac{2}{a-1},x_2=1$,
$\because a$为整数,且该方程的两个根都是正整数,
$\therefore a-1=1$或$a-1=2$,$\therefore a=2$或$a=3$时,该方程的两个根都为正整数.

【分析】
（1）求解一元二次方程首先要保证二次项系数不为0，即$a≠1$，再用求根公式求解：先计算判别式判断根的情况，再代入求根公式化简得到两根。
（2）由（1）得到的两根中，$x_2=1$已经是正整数，因此只需保证$x_1$为正整数即可。将$x_1$的分式表达式分离常数，结合$a$是整数的条件，分析$a-1$的正约数取值，即可求出符合要求的$a$的值。
【解析】
(1) 已知方程是一元二次方程，因此二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$。
计算判别式：$\Delta=(-2a)^2-4(a-1)(a+1)=4a^2-4(a^2-1)=4＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{2a\pm\sqrt{4}}{2(a-1)}=\frac{2a\pm2}{2(a-1)}=\frac{a\pm1}{a-1}$，
因此$x_1=\frac{a+1}{a-1}$，$x_2=\frac{a-1}{a-1}=1$。
(2) 由(1)得$x_1=\frac{a+1}{a-1}=\frac{(a-1)+2}{a-1}=1+\frac{2}{a-1}$，$x_2=1$。
因为$a$为整数，且方程两个根都是正整数，$x_2=1$已是正整数，因此只需$x_1$为正整数，即$\frac{2}{a-1}$为正整数。
因此$a-1$是2的正整数约数，即$a-1=1$或$a-1=2$，解得$a=2$或$a=3$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{a+1}{a-1}$，$x_2=1$（$a≠1$）；
(2) $a=2$或$a=3$
【知识点】
一元二次方程定义，公式法解方程，分式整数判定
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，第一问考查一元二次方程的常规求解步骤，第二问结合分式性质考查整数根的判定方法，是一元二次方程整数根类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7