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8.(2025·南京模拟)已知$4-\sqrt{15}$是关于$x$的方程$(x-2)(ax^2+bx+c)=0$($a,b,c$是有理数，$a≠0$)的一个根，则该方程的另外两个根分别是
$2$
，$4+\sqrt{15}$
。答案
8. $2\quad4+\sqrt{15}$
9.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx - m = 1$的一个根为$x=2$，则方程的另一个根为
$x=1$
。答案
9.$x=1$
10.(2025·上海期末)关于x的一元二次方程$3x^2 - 7x + m + 2 = 0$根的判别式的值是6，则此方程的解为
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
。答案
10.$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
11. 用公式法解下列方程：
(1) $5x^2 - 10x - 40 = 0$；
(2) $-\dfrac{1}{3}x^2 - 3x = 2$；
(3) $x^2 + 2 = 2\sqrt{2}x$；
(4) $3x^2 + 2x = (x + 2)^2$；
(1) $5x^2 - 10x - 40 = 0$；
(2) $-\dfrac{1}{3}x^2 - 3x = 2$；
(3) $x^2 + 2 = 2\sqrt{2}x$；
(4) $3x^2 + 2x = (x + 2)^2$；
答案
11.(1)$x_1=4,x_2=-2$
(2)$x_1=\frac{-9+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$
(3)$x_1=x_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-1$
(2)$x_1=\frac{-9+\sqrt{57}}{2},x_2=\frac{-9-\sqrt{57}}{2}$
(3)$x_1=x_2=\sqrt{2}$
(4)$x_1=2,x_2=-1$
12.对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值,如$\max\{1,3\}=3$.按照这个规定,解方程$\max\{1,x\}=x^2 - 6$.
答案
12.解:当$x＞1$时,方程为$x^2-6=x$,即$x^2-x-6=0$,
解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=3$,$\therefore$此时$x=3$;
当$x＜1$时,方程为$x^2-6=1$,
解得$x_1=\sqrt{7}$(舍去),$x_2=-\sqrt{7}$,$\therefore$此时$x=-\sqrt{7}$.
综上,方程$\max\{1,x\}=x^2-6$的解为$x=3$或$x=-\sqrt{7}$.
解得$x_1=-2$(舍去),$x_2=3$,$\therefore$此时$x=3$;
当$x＜1$时,方程为$x^2-6=1$,
解得$x_1=\sqrt{7}$(舍去),$x_2=-\sqrt{7}$,$\therefore$此时$x=-\sqrt{7}$.
综上,方程$\max\{1,x\}=x^2-6$的解为$x=3$或$x=-\sqrt{7}$.
13.已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2ax +a+1=0$.
(1)求该方程的根；
(2)当$a$为何整数时，该方程的两个根都是正整数？
(1)求该方程的根；
(2)当$a$为何整数时，该方程的两个根都是正整数？
答案
13.解:(1)由已知得$a-1≠0$,即$a≠1$,
$\therefore$判别式为$(-2a)^2-4(a-1)(a+1)=4＞0$,
$\therefore x=\frac{2a\pm2}{2(a-1)}=\frac{a\pm1}{a-1}$,$\therefore x_1=\frac{a+1}{a-1},x_2=1$.
(2)由(1)知$x_1=\frac{a+1}{a-1}=1+\frac{2}{a-1},x_2=1$,
$\because a$为整数,且该方程的两个根都是正整数,
$\therefore a-1=1$或$a-1=2$,$\therefore a=2$或$a=3$时,该方程的两个根都为正整数.
$\therefore$判别式为$(-2a)^2-4(a-1)(a+1)=4＞0$,
$\therefore x=\frac{2a\pm2}{2(a-1)}=\frac{a\pm1}{a-1}$,$\therefore x_1=\frac{a+1}{a-1},x_2=1$.
(2)由(1)知$x_1=\frac{a+1}{a-1}=1+\frac{2}{a-1},x_2=1$,
$\because a$为整数,且该方程的两个根都是正整数,
$\therefore a-1=1$或$a-1=2$,$\therefore a=2$或$a=3$时,该方程的两个根都为正整数.
