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1.(2025·湖南)某校开展了五类社团活动:舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧,现从中随机抽取一类社团活动进行展示,则抽中戏剧类社团活动的概率是 (
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
D
)A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{5}$
答案
1.D
解析
【分析】
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题思路如下：首先明确随机抽取时每一类社团被抽中的可能性相等，第一步先统计所有可能的抽取结果总数量，第二步统计“抽中戏剧类社团”这一事件包含的结果数量，最后代入概率公式：随机事件概率=事件包含的结果数÷所有等可能结果总数，即可算出结果。
【解析】
已知共有舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧共5类社团，随机抽取一类时，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团的结果只有1种。
根据概率公式可得，抽中戏剧类社团的概率为$\frac{1}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，贴近生活场景，只要掌握简单随机事件的概率计算方法，准确计数总结果数和目标事件的结果数即可快速作答。
【难度系数】
0.9
这是一道简单的等可能事件概率计算题，解题思路如下：首先明确随机抽取时每一类社团被抽中的可能性相等，第一步先统计所有可能的抽取结果总数量，第二步统计“抽中戏剧类社团”这一事件包含的结果数量，最后代入概率公式：随机事件概率=事件包含的结果数÷所有等可能结果总数，即可算出结果。
【解析】
已知共有舞蹈、篮球、口风琴、摄影、戏剧共5类社团，随机抽取一类时，共有5种等可能的结果，其中抽中戏剧类社团的结果只有1种。
根据概率公式可得，抽中戏剧类社团的概率为$\frac{1}{5}$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题型，贴近生活场景，只要掌握简单随机事件的概率计算方法，准确计数总结果数和目标事件的结果数即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2.(2025·苏州一模)抛一枚质地均匀的六面体骰子,连续抛10次,落地时有4次6点朝上,如果第11次抛掷这枚骰子,那么6点朝上的概率为 (
A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{2}{5}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
这道题考查等可能事件的概率和随机试验的独立性，解题时要注意避免被题干中的干扰条件误导。首先明确：质地均匀的六面体骰子属于等可能试验，每次抛掷时1-6点朝上的可能性完全相等；其次，每次抛掷骰子都是独立的随机事件，前面的抛掷结果不会对后续抛掷结果产生影响，题干中“连续抛10次有4次6点朝上”只是之前的试验频率，不能用来代替概率，我们只需要计算单次抛掷时6点朝上的概率即可。
【解析】
解：
∵抛掷一枚质地均匀的六面体骰子时，共有6种等可能的结果，其中6点朝上的结果仅有1种，
∴单次抛掷骰子时，6点朝上的概率为$\frac{1}{6}$。
又
∵每次抛掷骰子是相互独立的随机事件，前10次的抛掷结果不会影响第11次的结果，
∴第11次抛掷这枚骰子时，6点朝上的概率仍为$\frac{1}{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率的意义
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是常见易错题，易错点是混淆频率和概率的概念，误将前10次的试验频率当成概率计算。要注意：对于独立的等可能随机试验，每次试验的概率是固定的，不受之前试验结果的影响。
【难度系数】
0.7
这道题考查等可能事件的概率和随机试验的独立性，解题时要注意避免被题干中的干扰条件误导。首先明确：质地均匀的六面体骰子属于等可能试验，每次抛掷时1-6点朝上的可能性完全相等；其次，每次抛掷骰子都是独立的随机事件，前面的抛掷结果不会对后续抛掷结果产生影响，题干中“连续抛10次有4次6点朝上”只是之前的试验频率，不能用来代替概率，我们只需要计算单次抛掷时6点朝上的概率即可。
【解析】
解：
∵抛掷一枚质地均匀的六面体骰子时，共有6种等可能的结果，其中6点朝上的结果仅有1种，
∴单次抛掷骰子时，6点朝上的概率为$\frac{1}{6}$。
又
∵每次抛掷骰子是相互独立的随机事件，前10次的抛掷结果不会影响第11次的结果，
∴第11次抛掷这枚骰子时，6点朝上的概率仍为$\frac{1}{6}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 概率的意义
2. 等可能事件概率计算
【点评】
本题是常见易错题，易错点是混淆频率和概率的概念，误将前10次的试验频率当成概率计算。要注意：对于独立的等可能随机试验，每次试验的概率是固定的，不受之前试验结果的影响。
【难度系数】
0.7
3.(2025·宿迁泗阳县期末)抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率为 (
A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{3}$
B
)A.0
B.$\frac{1}{2}$
C.1
D.$\frac{1}{3}$
答案
3.B
解析
【分析】
本题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确题目中的试验是抛掷质地均匀的硬币，属于等可能试验，符合等可能事件的概率计算条件；接着确定该试验的所有等可能结果总数，再找出“正面朝上”这一事件对应的结果数；最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现2种等可能的结果：正面朝上、反面朝上，
其中“正面朝上”的结果有1种，
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，
可得正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、概率的基本概念
【点评】
本题属于概率部分的基础考题，考查核心是简单等可能事件的概率计算方法，是概率知识的入门级题型，抛硬币、掷骰子等都是概率计算中常见的背景模型，需熟练掌握其计算逻辑。
【难度系数】
0.9
本题考查简单等可能事件的概率计算，解题思路如下：首先明确题目中的试验是抛掷质地均匀的硬币，属于等可能试验，符合等可能事件的概率计算条件；接着确定该试验的所有等可能结果总数，再找出“正面朝上”这一事件对应的结果数；最后代入等可能事件的概率公式计算即可得到答案。
【解析】
抛掷一枚质地均匀的硬币时，会出现2种等可能的结果：正面朝上、反面朝上，
其中“正面朝上”的结果有1种，
根据等可能事件的概率公式：$P(A)=\frac{\mathrm{事件}A\mathrm{包含的等可能结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果总数}}$，
可得正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$，因此选B。
【答案】
B
【知识点】
等可能事件概率计算、概率的基本概念
【点评】
本题属于概率部分的基础考题，考查核心是简单等可能事件的概率计算方法，是概率知识的入门级题型，抛硬币、掷骰子等都是概率计算中常见的背景模型，需熟练掌握其计算逻辑。
【难度系数】
0.9
4.(2025·南京秦淮区一模)已知一个正六边形ABCDEF,甲同学在A,B,C三个顶点中任选两个顶点,乙同学在D,E,F三个顶点中任选一个顶点,顺次连接这三个顶点,得到一个三角形,则三角形是直角三角形的概率是（
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{9}$
A
）A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{4}{9}$
答案
4.A
解析
【分析】
这是一道结合几何性质的古典概型计算题，解题思路分三步：第一步先计算所有等可能的选点组合总数：先算甲从A、B、C中选2个顶点的选法数，再算乙从D、E、F中选1个顶点的选法数，两者相乘就是总情况数；第二步利用几何性质判断构成直角三角形的条件：正六边形所有顶点共外接圆，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此只要选出的三个点中包含一组对径点（正六边形中A与D、B与E、C与F分别为对径点，连线为外接圆直径），就能构成直角三角形；第三步逐一计数符合条件的组合数，最后用符合条件的组合数除以总组合数得到概率。
【解析】
首先计算总等可能情况数：
甲从A、B、C三个顶点中任选2个，共有$\mathrm{C}_3^2=3$种选法，分别为AB、AC、BC；
乙从D、E、F三个顶点中任选1个，共有3种选法，因此总共有$3×3=9$种等可能的选点组合。
再计算能构成直角三角形的组合数：
正六边形中A与D、B与E、C与F的连线为外接圆直径，只要三个点包含任意一组对径点，就能构成直角三角形：
①若甲选AB：乙选D（含对径点A、D）或E（含对径点B、E），共2种符合；
②若甲选AC：乙选D（含对径点A、D）或F（含对径点C、F），共2种符合；
③若甲选BC：乙选E（含对径点B、E）或F（含对径点C、F），共2种符合。
综上，符合条件的组合共有$2+2+2=6$种，因此所求概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算；正六边形性质；圆周角定理
【点评】
本题将概率计数与几何性质结合考查，解题的核心是通过直径所对圆周角为直角的性质，快速明确直角三角形的构成条件，计数时要注意不重不漏，熟练掌握常见几何图形的性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何性质的古典概型计算题，解题思路分三步：第一步先计算所有等可能的选点组合总数：先算甲从A、B、C中选2个顶点的选法数，再算乙从D、E、F中选1个顶点的选法数，两者相乘就是总情况数；第二步利用几何性质判断构成直角三角形的条件：正六边形所有顶点共外接圆，根据圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，因此只要选出的三个点中包含一组对径点（正六边形中A与D、B与E、C与F分别为对径点，连线为外接圆直径），就能构成直角三角形；第三步逐一计数符合条件的组合数，最后用符合条件的组合数除以总组合数得到概率。
【解析】
首先计算总等可能情况数：
甲从A、B、C三个顶点中任选2个，共有$\mathrm{C}_3^2=3$种选法，分别为AB、AC、BC；
乙从D、E、F三个顶点中任选1个，共有3种选法，因此总共有$3×3=9$种等可能的选点组合。
再计算能构成直角三角形的组合数：
正六边形中A与D、B与E、C与F的连线为外接圆直径，只要三个点包含任意一组对径点，就能构成直角三角形：
①若甲选AB：乙选D（含对径点A、D）或E（含对径点B、E），共2种符合；
②若甲选AC：乙选D（含对径点A、D）或F（含对径点C、F），共2种符合；
③若甲选BC：乙选E（含对径点B、E）或F（含对径点C、F），共2种符合。
综上，符合条件的组合共有$2+2+2=6$种，因此所求概率$P=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
古典概型计算；正六边形性质；圆周角定理
【点评】
本题将概率计数与几何性质结合考查，解题的核心是通过直径所对圆周角为直角的性质，快速明确直角三角形的构成条件，计数时要注意不重不漏，熟练掌握常见几何图形的性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5.(2025·河南)甲骨文是我国已发现最早的成熟文字,代表了早期中华文明的辉煌成就.正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示,它们除正面外完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀,从中随机抽取两张,则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是 (
A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
第5题图 第9题图 第10题图
B
)A.$\frac{1}{12}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
第5题图 第9题图 第10题图
答案
5.B
解析
【分析】
本题考查随机事件的概率计算，解题思路是先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出符合“抽到‘丽’和‘山’”的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。首先可以给四张卡片做标记简化列举过程，列举抽取两张的结果时注意不考虑抽取顺序，避免重复计数。
【解析】
设印有“美”“丽”“山”“河”的四张卡片分别记为A、B、C、D。
从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确、不重不漏地列举出所有等可能的结果，再代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
本题考查随机事件的概率计算，解题思路是先明确所有等可能的抽取结果总数，再找出符合“抽到‘丽’和‘山’”的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$计算即可。首先可以给四张卡片做标记简化列举过程，列举抽取两张的结果时注意不考虑抽取顺序，避免重复计数。
【解析】
设印有“美”“丽”“山”“河”的四张卡片分别记为A、B、C、D。
从四张卡片中随机抽取两张，所有等可能的结果为：(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种。
其中两张卡片正面恰好是“丽”和“山”的结果只有(B,C)这1种。
根据概率公式可得，所求概率$P=\frac{1}{6}$。
【答案】
B
【知识点】
列举法求概率，概率公式
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确、不重不漏地列举出所有等可能的结果，再代入公式计算即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
6.(2025·宿迁宿城区期中)在一个不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球$n$个，搅匀后随机摸出一个球恰好是黄球的概率是$\frac{1}{3}$，则$n=$
5
.答案
6.5
解析
【分析】
本题考查简单概率的计算，解题时先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率=对应事件的情况数÷所有等可能的总情况数。我们首先表示出黄球的个数和口袋中球的总个数，再结合已知的摸出黄球的概率，列出关于n的方程，解方程即可求出n的值，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
口袋中球的总个数为：$6+4+n=10+n$
根据概率公式，摸出黄球的概率为黄球个数除以总球数，可列方程：
$\frac{n}{10+n}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3n=10+n$
移项合并同类项得：$2n=10$
解得：$n=5$
检验：当$n=5$时，总球数$10+5=15≠0$，符合实际意义，故$n=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
简单概率计算；分式方程应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，根据题意正确列出方程求解即可，需要注意解分式方程后要检验解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
本题考查简单概率的计算，解题时先回忆概率的计算公式：随机事件发生的概率=对应事件的情况数÷所有等可能的总情况数。我们首先表示出黄球的个数和口袋中球的总个数，再结合已知的摸出黄球的概率，列出关于n的方程，解方程即可求出n的值，最后注意检验分式方程的解是否符合实际意义。
【解析】
口袋中球的总个数为：$6+4+n=10+n$
根据概率公式，摸出黄球的概率为黄球个数除以总球数，可列方程：
$\frac{n}{10+n}=\frac{1}{3}$
交叉相乘得：$3n=10+n$
移项合并同类项得：$2n=10$
解得：$n=5$
检验：当$n=5$时，总球数$10+5=15≠0$，符合实际意义，故$n=5$是原方程的解。
【答案】
5
【知识点】
简单概率计算；分式方程应用
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是熟练掌握概率的计算公式，根据题意正确列出方程求解即可，需要注意解分式方程后要检验解是否符合实际情境。
【难度系数】
0.8
7.从甲、乙、丙、丁四人中用抓阄的办法任选一人参加演讲，选中甲的可能性与选不中甲的可能性中，较大的是
选不中甲
.答案
7.选不中甲
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要先分别计算选中甲和选不中甲的可能性大小，再进行比较。首先抓阄属于等可能事件，总共有4种等可能的选择结果，我们分别找到两个事件对应的情况数，结合等可能事件的概率公式计算概率，最后比较概率大小就能得出结论。
【解析】
解：从甲、乙、丙、丁四人中任选1人参加演讲，所有等可能的结果共有4种。
选中甲的结果只有1种，因此选中甲的概率为：
$P(\mathrm{选中甲})=\frac{\mathrm{选中甲的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{4}$
选不中甲的结果有$4-1=3$种，因此选不中甲的概率为：
$P(\mathrm{选不中甲})=\frac{\mathrm{选不中甲的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{4}$
因为$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，所以较大的是选不中甲。
【答案】
选不中甲
【知识点】
等可能事件概率计算，可能性大小比较
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的关键是明确总情况数和对应事件的符合情况数，结合概率公式计算后比较大小即可，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们需要先分别计算选中甲和选不中甲的可能性大小，再进行比较。首先抓阄属于等可能事件，总共有4种等可能的选择结果，我们分别找到两个事件对应的情况数，结合等可能事件的概率公式计算概率，最后比较概率大小就能得出结论。
【解析】
解：从甲、乙、丙、丁四人中任选1人参加演讲，所有等可能的结果共有4种。
选中甲的结果只有1种，因此选中甲的概率为：
$P(\mathrm{选中甲})=\frac{\mathrm{选中甲的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{4}$
选不中甲的结果有$4-1=3$种，因此选不中甲的概率为：
$P(\mathrm{选不中甲})=\frac{\mathrm{选不中甲的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{3}{4}$
因为$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，所以较大的是选不中甲。
【答案】
选不中甲
【知识点】
等可能事件概率计算，可能性大小比较
【点评】
本题属于概率基础题型，解题的关键是明确总情况数和对应事件的符合情况数，结合概率公式计算后比较大小即可，解题思路清晰简单。
【难度系数】
0.9
8.用3，4，5这三个数字组成一个三位数，组成的数是偶数的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
8.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，需按照概率的计算逻辑分步思考：第一步，先明确用3、4、5三个数字能组成的所有不重复的三位数的总个数，所有结果都是等可能的；第二步，根据偶数的特征（个位为偶数），筛选出其中是偶数的结果数；第三步，代入概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
首先，列举用3、4、5三个数字组成的所有不重复三位数，共有以下6种等可能的结果：345、354、435、453、534、543。
其次，偶数的个位必须是偶数，3、4、5中只有4是偶数，因此符合条件的偶数为个位是4的数：354、534，共2种结果。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{组成的数是偶数})=\frac{\mathrm{偶数的个数}}{\mathrm{总三位数个数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；偶数的特征；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确列举所有可能的三位数，同时熟练掌握偶数的判定规则，计算时注意结果约分即可，整体逻辑清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需按照概率的计算逻辑分步思考：第一步，先明确用3、4、5三个数字能组成的所有不重复的三位数的总个数，所有结果都是等可能的；第二步，根据偶数的特征（个位为偶数），筛选出其中是偶数的结果数；第三步，代入概率公式“事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算即可。
【解析】
首先，列举用3、4、5三个数字组成的所有不重复三位数，共有以下6种等可能的结果：345、354、435、453、534、543。
其次，偶数的个位必须是偶数，3、4、5中只有4是偶数，因此符合条件的偶数为个位是4的数：354、534，共2种结果。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{组成的数是偶数})=\frac{\mathrm{偶数的个数}}{\mathrm{总三位数个数}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率公式；偶数的特征；列举法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，解题核心是准确列举所有可能的三位数，同时熟练掌握偶数的判定规则，计算时注意结果约分即可，整体逻辑清晰，不易出错。
【难度系数】
0.8
9.(2025·黑龙江)如图，随机闭合开关$\mathrm{K}_1,\mathrm{K}_2,\mathrm{K}_3$中的两个，能让两盏灯泡$\mathrm{L}_1,\mathrm{L}_2$同时发光的概率为________.
答案
9.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是结合电路知识的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，确定所有等可能的结果总数，由于是从3个开关中随机选2个闭合，数量较少，可通过一一列举的方法得到所有组合；第二步，结合电路通断的判断规则，逐一分析每种开关组合下两盏灯泡是否能同时发光，统计符合要求的情况数；第三步，利用古典概型的概率公式（概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数）计算最终结果。
【解析】
首先列举随机闭合2个开关的所有等可能情况，共有3种：
①闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$；②闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_3$；③闭合$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$。
结合电路判断，能让$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$同时发光的情况只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两灯同时发光})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，电路通断判断
【点评】
本题是跨物理和数学的基础综合题，难度较低，解题的关键是准确不遗漏地列举出所有开关组合，同时正确判断不同开关组合下的电路工作状态，避免因电路分析错误导致失分。
【难度系数】
0.7
本题是结合电路知识的概率计算问题，解题思路分为三步：第一步，确定所有等可能的结果总数，由于是从3个开关中随机选2个闭合，数量较少，可通过一一列举的方法得到所有组合；第二步，结合电路通断的判断规则，逐一分析每种开关组合下两盏灯泡是否能同时发光，统计符合要求的情况数；第三步，利用古典概型的概率公式（概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数）计算最终结果。
【解析】
首先列举随机闭合2个开关的所有等可能情况，共有3种：
①闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_2$；②闭合$\mathrm{K}_1$、$\mathrm{K}_3$；③闭合$\mathrm{K}_2$、$\mathrm{K}_3$。
结合电路判断，能让$\mathrm{L}_1$、$\mathrm{L}_2$同时发光的情况只有1种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{两灯同时发光})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，概率公式，电路通断判断
【点评】
本题是跨物理和数学的基础综合题，难度较低，解题的关键是准确不遗漏地列举出所有开关组合，同时正确判断不同开关组合下的电路工作状态，避免因电路分析错误导致失分。
【难度系数】
0.7
10.如图，$△ ABC$的面积为$10\ \mathrm{cm}^2$，$BP$平分$∠ ABC$，$AP\bot BP$，垂足为$P$，连接$CP$，若三角形内有一点$M$，则点$M$落在$△ BPC$内（包括边界）的概率为
$\frac{1}{2}$
。答案
10.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
本题为几何概型问题，概率等于△BPC的面积与△ABC的面积的比值，因此解题核心是求出△BPC的面积。观察已知条件：BP平分∠ABC且AP⊥BP，符合角平分线加垂线的经典几何模型，可通过延长AP交BC于点D构造全等三角形，得到AP=PD的线段关系，再利用等底同高的三角形面积相等，推导△BPC与△ABC的面积关系，最终计算概率。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP，即P是AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ BPC}=5\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 点M落在△BPC内（包括边界）的概率为$\frac{S_{△ BPC}}{S_{△ ABC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
几何概型概率计算；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将概率计算与三角形性质结合考查，解题的关键是识别角平分线加垂线的模型，通过构造全等三角形得到中点关系，进而推导面积比，能有效考查学生对几何模型的应用能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
本题为几何概型问题，概率等于△BPC的面积与△ABC的面积的比值，因此解题核心是求出△BPC的面积。观察已知条件：BP平分∠ABC且AP⊥BP，符合角平分线加垂线的经典几何模型，可通过延长AP交BC于点D构造全等三角形，得到AP=PD的线段关系，再利用等底同高的三角形面积相等，推导△BPC与△ABC的面积关系，最终计算概率。
【解析】
解：延长AP交BC于点D。
∵ BP平分∠ABC，
∴ ∠ABP=∠DBP，
∵ AP⊥BP，
∴ ∠APB=∠DPB=90°，
在△ABP和△DBP中：
$\{\begin{array}{l}∠ABP=∠DBP \\BP=BP \\∠APB=∠DPB\end{array} $
∴ △ABP≌△DBP（ASA），
∴ AP=DP，即P是AD的中点。
根据等底同高的三角形面积相等，可得：
$S_{△ BPD}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}$，$S_{△ CPD}=\frac{1}{2}S_{△ ACD}$，
∴ $S_{△ BPC}=S_{△ BPD}+S_{△ CPD}=\frac{1}{2}(S_{△ ABD}+S_{△ ACD})=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$，
已知$S_{△ ABC}=10\ \mathrm{cm}^2$，
∴ $S_{△ BPC}=5\ \mathrm{cm}^2$，
∴ 点M落在△BPC内（包括边界）的概率为$\frac{S_{△ BPC}}{S_{△ ABC}}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
几何概型概率计算；全等三角形的判定与性质；三角形面积计算
【点评】
本题将概率计算与三角形性质结合考查，解题的关键是识别角平分线加垂线的模型，通过构造全等三角形得到中点关系，进而推导面积比，能有效考查学生对几何模型的应用能力和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
