5. 如图,在反比例函数 $y=\frac{8}{x}(x＞0)$ 的图象上有 $P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2024}$ 等点,它们的横坐标依次为 $1,2,3,\dots,2024$,分别过这些点作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_1,S_2,S_3,\dots,S_{2023}$,则 $S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2023}=$ .

5.$\frac{2023}{253}$

【分析】
解题可按以下思路展开：①先根据反比例函数解析式，得出横坐标为n的点$P_n$的纵坐标为$\frac{8}{n}$；②观察阴影矩形特征：每个阴影矩形的水平边长均为1，竖直高度为相邻两个点的纵坐标之差，据此写出每个阴影面积的表达式；③将所有阴影面积相加，发现中间项可相互抵消，仅剩余首项和末项的差，代入数值化简计算即可得到结果。
【解析】
解：已知点$P_1,P_2,\dots,P_{2024}$的横坐标依次为$1,2,\dots,2024$，将$x=n$代入$y=\frac{8}{x}$，得点$P_n$的纵坐标$y_n=\frac{8}{n}$。
由图可知，每个阴影矩形的水平边长为1，第$i$个阴影的竖直高度为$y_i-y_{i+1}$，因此：
$S_1=1×(y_1-y_2)$，$S_2=1×(y_2-y_3)$，$\dots$，$S_{2023}=1×(y_{2023}-y_{2024})$
将上述等式相加得：
$\begin{aligned}S_1+S_2+\dots+S_{2023}&=(y_1-y_2)+(y_2-y_3)+\dots+(y_{2023}-y_{2024})\\&=y_1-y_{2024}\end{aligned}$
代入$y_1=\frac{8}{1}=8$，$y_{2024}=\frac{8}{2024}=\frac{1}{253}$：
原式$=8-\frac{1}{253}=\frac{2024-1}{253}=\frac{2023}{253}$
【答案】
$\frac{2023}{253}$
【知识点】
1. 反比例函数图象上点的坐标特征
2. 反比例函数k的几何意义
3. 图形规律探究
【点评】
本题是反比例函数与图形规律结合的典型题型，核心是通过分析阴影面积的表达式，利用抵消法简化求和运算，既考查了反比例函数的基础性质，也锻炼了规律探究与化简计算的能力。
【难度系数】
0.6

6.如图,在x轴的正半轴上依次截取$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n$($n$为正整数),过点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$分别作$x$轴的垂线,与反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象交于点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$,连接$P_1P_2,P_2P_3,\dots,P_{n-1}P_n$,过点$P_2,P_3,\dots,P_n$分别向$P_1A_1,P_2A_2,\dots,P_{n-1}A_{n-1}$作垂线段,则构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和是$\underline{\hspace{5em}}$.

6.$\frac{n-1}{2n}$

【分析】
我们可先设相邻点$A_k$与$A_{k-1}$的间距为$t$，结合反比例函数解析式先求出各点$P_k$的坐标；再观察阴影三角形的特征：每个阴影直角三角形的底均为间距$t$，高为前一个点$P_k$的纵坐标与后一个点$P_{k+1}$的纵坐标的差，据此分别表示出每个阴影三角形的面积；最后将所有面积相加，用裂项相消法化简即可得到总和。
【解析】
设$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n = t$，
则点$A_k$的坐标为$(kt,0)$（$k$为正整数，$1≤ k≤ n$）。
将$x=kt$代入反比例函数$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，得点$P_k$的纵坐标为$\frac{1}{kt}$，即$P_k(kt,\frac{1}{kt})$。
每个阴影直角三角形的面积：
第1个阴影三角形面积：$S_1=\frac{1}{2}× t×(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t})=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2})$
第2个阴影三角形面积：$S_2=\frac{1}{2}× t×(\frac{1}{2t}-\frac{1}{3t})=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})$
$\dots$
第$n-1$个阴影三角形面积：$S_{n-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})$
阴影面积总和：
$\begin{aligned}S&=S_1+S_2+\dots+S_{n-1}\\&=\frac{1}{2}[(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\dots+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n})]\\&=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{n})\\&=\frac{n-1}{2n}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{n-1}{2n}$
【知识点】
反比例函数的性质，裂项相消求和，直角三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数规律探究类的典型题型，解题核心是准确表示出每个阴影三角形的面积，再利用裂项相消法简化求和过程，能很好地考查规律归纳与化简计算能力。
【难度系数】
0.65

7.如图,点$A(a,\dfrac{5}{a})$和$B(b,\dfrac{5}{b})$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上,其中$a＞b＞0$.过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$,则$△ AOC$的面积为;若$△ AOB$的面积为$\dfrac{15}{4}$,则$\dfrac{a}{b}=$.

7.$\frac{5}{2}$ 2

【分析】
第一问求△AOC的面积，可利用反比例函数比例系数k的几何意义求解：过反比例函数图象上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，该点、垂足、原点构成的三角形面积为$\frac{1}{2}|k|$，先确定k的值即可得到结果。第二问求$\frac{a}{b}$，采用割补法转化面积：过点B作BD⊥x轴于D，由反比例函数k的几何意义可知△AOC和△BOD面积相等，因此△AOB的面积等于梯形ACDB的面积，代入坐标列等式后，设$t=\frac{a}{b}$（t＞1）解方程即可得到结果。
【解析】
1. 计算△AOC的面积：
∵点$A(a,\frac{5}{a})$在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$的图象上，
∴$k=x_A· y_A=a×\frac{5}{a}=5$，
根据反比例函数k的几何意义，$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
2. 计算$\frac{a}{b}$的值：
过点B作$BD⊥ x$轴于点D，同理可得$S_{△ BOD}=\frac{1}{2}k=\frac{5}{2}$，因此$S_{△ BOD}=S_{△ AOC}$。
由此可得$S_{△ AOB}=S_{△ BOD}+S_{梯形ABDC}-S_{△ AOC}=S_{梯形ABDC}=\frac{15}{4}$。
由点的坐标可知：$AC=\frac{5}{a}$，$BD=\frac{5}{b}$，$CD=a-b$，根据梯形面积公式：
$\frac{1}{2}×(\frac{5}{a}+\frac{5}{b})×(a-b)=\frac{15}{4}$
整理得：$\frac{5(a^2-b^2)}{2ab}=\frac{15}{4}$，两边同乘$4ab$得$10(a^2-b^2)=15ab$。
设$t=\frac{a}{b}(t＞1)$，即$a=tb$，代入上式并约去$b^2$得：
$2(t^2-1)=3t$，即$2t^2-3t-2=0$，
解得$t=2$或$t=-\frac{1}{2}$（不符合t＞1的条件，舍去），因此$\frac{a}{b}=2$。
【答案】
$\frac{5}{2}$；$2$
【知识点】
反比例函数k的几何意义；反比例函数点的坐标特征；不规则图形面积计算
【点评】
本题重点考查反比例函数的基础性质，熟练掌握k的几何意义，会用割补法转化不规则图形的面积是解题关键，第二问通过设比值为参数的方法可以大幅简化计算过程。
【难度系数】
0.65

8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,OC在y轴上,OA=a,OC=b(a≤b,a≠0),将矩形ABCO绕点A顺时针旋转90°得到矩形ADEF,双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点B,分别交DE,EF于点P,Q.
(1)当a=2,b=4时,求点P,Q的坐标;
(2)当P是DE的中点时,求证:四边形ABCO是正方形.

8.(1)解:
∵OA=2,OC=4,四边形ABCO是矩形,
∴B(2,4).
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点 B,
∴k=2×4=8,
∴反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x}$.
由旋转的性质可得 AF=OA=2,
∴点 Q 的纵坐标为 2,
把 y=2 代入 $y=\frac{8}{x}$,得 $2=\frac{8}{x}$,解得 x=4,
∴Q(4,2).
由旋转的性质可得 AD=OC=4,
∴OD=2+4=6,
∴点 P 的横坐标为 6.
把 x=6 代入 $y=\frac{8}{x}$,得 $y=\frac{4}{3}$,
∴$P(6,\frac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知 B(a,b),
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点 B,
∴k=ab.
∵AD=OC=b,DE=OA=a,且 P 是 DE 的中点,
∴$P(a+b,\frac{1}{2}a)$.
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$交 DE 于点 P,
∴$(a+b)×\frac{1}{2}a=ab$,整理,得 a+b=2b,即 a=b,
∴OA=OC.
∵四边形 ABCO 是矩形,
∴四边形 ABCO 是正方形.

【分析】
(1) 求解第一问时，首先根据矩形的边长确定点B的坐标，代入反比例函数表达式求出k值；再结合旋转的性质，分别得到点Q的纵坐标、点P的横坐标，将横/纵坐标代入反比例函数即可求出对应点坐标。
(2) 求解第二问时，先写出点B的坐标得到k=ab，再根据旋转性质和P是DE中点的条件，写出点P的坐标；利用点P在双曲线上，横纵坐标乘积等于k建立等量关系，推导得到a=b，最后结合“邻边相等的矩形是正方形”即可完成证明。
【解析】
(1) 已知OA=2，OC=4，四边形ABCO是矩形，因此点B的坐标为(2,4)。
∵双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点B，
∴$k=2×4=8$，即反比例函数表达式为$y=\frac{8}{x}$。
由旋转的性质可得：AF=OA=2，因此点Q在EF上，纵坐标为2。
把$y=2$代入$y=\frac{8}{x}$，得$2=\frac{8}{x}$，解得$x=4$，即$Q(4,2)$。
再由旋转性质得AD=OC=4，因此OD=OA+AD=2+4=6，点P在DE上，横坐标为6。
把$x=6$代入$y=\frac{8}{x}$，得$y=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$P(6,\frac{4}{3})$。
(2) 证明：由题意得点B坐标为$(a,b)$，
∵双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点B，
∴$k=ab$。
由旋转性质可知AD=OC=b，DE=OA=a，
∵P是DE的中点，
∴点P的纵坐标为$\frac{1}{2}a$，横坐标为OA+AD=$a+b$，即$P(a+b,\frac{1}{2}a)$。
∵点P在双曲线上，
∴横纵坐标乘积等于k，即$(a+b)×\frac{1}{2}a=ab$。
∵$a≠0$，两边同时除以$\frac{1}{2}a$得$a+b=2b$，整理得$a=b$，即OA=OC。
又
∵四边形ABCO是矩形，邻边相等的矩形是正方形，因此四边形ABCO是正方形。
【答案】
(1) $P(6,\frac{4}{3})$，$Q(4,2)$；
(2) 四边形ABCO是正方形，证明成立。
【知识点】
反比例函数的性质，图形旋转的性质，正方形的判定
【点评】
本题综合考查了反比例函数、图形旋转、特殊四边形的相关知识，既考查了基础的坐标计算能力，也考查了利用等量关系推导几何性质的逻辑能力，是反比例函数与几何结合的典型题型。
【难度系数】
0.7