5. 如图,在反比例函数 $y=\frac{8}{x}(x＞0)$ 的图象上有 $P_1,P_2,P_3,\dots,P_{2024}$ 等点,它们的横坐标依次为 $1,2,3,\dots,2024$,分别过这些点作 $x$ 轴与 $y$ 轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 $S_1,S_2,S_3,\dots,S_{2023}$,则 $S_1+S_2+S_3+\dots+S_{2023}=$ .

5.$\frac{2023}{253}$

6.如图,在x轴的正半轴上依次截取$OA_1=A_1A_2=A_2A_3=\dots=A_{n-1}A_n$($n$为正整数),过点$A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$分别作$x$轴的垂线,与反比例函数$y=\dfrac{1}{x}(x＞0)$的图象交于点$P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$,连接$P_1P_2,P_2P_3,\dots,P_{n-1}P_n$,过点$P_2,P_3,\dots,P_n$分别向$P_1A_1,P_2A_2,\dots,P_{n-1}A_{n-1}$作垂线段,则构成的一系列直角三角形(图中阴影部分)的面积和是$\underline{\hspace{5em}}$.

6.$\frac{n-1}{2n}$

7.如图,点$A(a,\dfrac{5}{a})$和$B(b,\dfrac{5}{b})$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$的图象上,其中$a＞b＞0$.过点$A$作$AC⊥ x$轴于点$C$,则$△ AOC$的面积为;若$△ AOB$的面积为$\dfrac{15}{4}$,则$\dfrac{a}{b}=$.

7.$\frac{5}{2}$ 2

8.如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,OC在y轴上,OA=a,OC=b(a≤b,a≠0),将矩形ABCO绕点A顺时针旋转90°得到矩形ADEF,双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点B,分别交DE,EF于点P,Q.
(1)当a=2,b=4时,求点P,Q的坐标;
(2)当P是DE的中点时,求证:四边形ABCO是正方形.

8.(1)解:
∵OA=2,OC=4,四边形ABCO是矩形,
∴B(2,4).
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点 B,
∴k=2×4=8,
∴反比例函数的表达式为 $y=\frac{8}{x}$.
由旋转的性质可得 AF=OA=2,
∴点 Q 的纵坐标为 2,
把 y=2 代入 $y=\frac{8}{x}$,得 $2=\frac{8}{x}$,解得 x=4,
∴Q(4,2).
由旋转的性质可得 AD=OC=4,
∴OD=2+4=6,
∴点 P 的横坐标为 6.
把 x=6 代入 $y=\frac{8}{x}$,得 $y=\frac{4}{3}$,
∴$P(6,\frac{4}{3})$.
(2)证明:由题意可知 B(a,b),
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$经过点 B,
∴k=ab.
∵AD=OC=b,DE=OA=a,且 P 是 DE 的中点,
∴$P(a+b,\frac{1}{2}a)$.
∵双曲线 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$交 DE 于点 P,
∴$(a+b)×\frac{1}{2}a=ab$,整理,得 a+b=2b,即 a=b,
∴OA=OC.
∵四边形 ABCO 是矩形,
∴四边形 ABCO 是正方形.