登录
1.(2025·遂宁)DeepSeek横空出世,犹如一声惊雷劈开垄断,跻身世界最强大模型行列,开启中国人工智能崭新的春天.为激发青少年崇尚科学,探索未知的热情,某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动.下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告,请完成报告中相应问题.
模型设计水平调查报告
| 调查主题 | “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 |
| --- | --- |
| 调查目的 | 通过数据分析,获取信息,能在认识及应用统计图表和百分数的过程中,形成数据观念,发展应用意识. |
| 调查对象 | 某校学生模具设计成绩 | 调查方式 | 抽样调查 |
| 数据收集与表示 | 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制,用$x$表示),并整理,将其分成如下四组:$A:60≤x＜70$,$B:70≤x＜80$,$C:80≤x＜90$,$D:90≤x≤100$.下面给出了部分信息:其中$C$组的成绩为:$80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89,89,89$.
第1题图 |
| 数据分析与应用 | 根据以上信息解决下列问题:(1)本次共抽取了
模型设计水平调查报告
| 调查主题 | “逐梦科技强国”活动中模具设计水平 |
| --- | --- |
| 调查目的 | 通过数据分析,获取信息,能在认识及应用统计图表和百分数的过程中,形成数据观念,发展应用意识. |
| 调查对象 | 某校学生模具设计成绩 | 调查方式 | 抽样调查 |
| 数据收集与表示 | 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩(成绩为百分制,用$x$表示),并整理,将其分成如下四组:$A:60≤x＜70$,$B:70≤x＜80$,$C:80≤x＜90$,$D:90≤x≤100$.下面给出了部分信息:其中$C$组的成绩为:$80,81,82,82,83,84,84,84,85,85,86,86,86,87,87,88,88,89,89,89$.
第1题图 || 数据分析与应用 | 根据以上信息解决下列问题:(1)本次共抽取了
50
名学生的模具设计成绩,成绩的中位数是83.5
分,在扇形统计图中,$C$组对应圆心角的度数为144°
.(2)请补全频数分布直方图;(3)请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数;(4)学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流,请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率. |答案
1.(1)50 83.5 144°
(2)解:B组的人数为$50×30\%=15$.补全频数分布直方图如答图所示.
(3)解:$1200×\frac{20+10}{50}=720$.
答:估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720.
(4)解:列表如下:
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (甲,乙) | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,甲) | — | (乙,丙) | (乙,丁) |
| 丙 | (丙,甲) | (丙,乙) | — | (丙,丁) |
| 丁 | (丁,甲) | (丁,乙) | (丁,丙) | — |
共有12种等可能的结果,其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有(甲,丙),(丙,甲),共2种,故所选的两位同学恰为甲和丙的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
解题时按小问逐一推导：
(1) 求总抽取人数：扇形图显示D组占20%，直方图显示D组频数为10，总人数=对应频数÷占比，即可求出总人数。求中位数：50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数，先计算A、B组累计人数，判断第25、26个数据所在分组，再结合C组给出的排序数据计算平均数即可。求C组圆心角：用360°乘C组人数占总人数的占比即可。
(2) 补全直方图需先求B组人数：用总人数乘扇形图中B组的占比30%，得到B组频数后对应绘制高度相符的矩形即可。
(3) 估计全校不低于80分的人数：先计算样本中C、D组（成绩≥80分）的人数占比，再乘全校总人数1200即可得到估计值。
(4) 求选到甲和丙的概率：用列表法列出所有等可能的选人结果，数出总结果数和符合条件的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) ①总抽取人数：已知D组有10人，占总人数的20%，因此总抽取人数为$10÷20\%=50$名。
②中位数：50个成绩排序后，中位数为第25、26个成绩的平均数。其中A组共5人，B组人数为$50×30\%=15$人，累计到B组共$5+15=20$人，因此第25、26个成绩都在C组。C组成绩已从小到大排序，第25个成绩为C组第5个数据83，第26个成绩为C组第6个数据84，因此中位数为$\frac{83+84}{2}=83.5$分。
③C组对应圆心角度数为$360°×\frac{20}{50}=144°$。
(2) B组人数为$50×30\%=15$，补全频数分布直方图如下：
(3) 样本中成绩不低于80分的为C、D组，总人数为$20+10=30$，占样本总人数的比例为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，因此全校1200名学生中成绩不低于80分的人数估计为$1200×\frac{3}{5}=720$人。
(4) 列表列举所有选法如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (甲,乙) | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,甲) | — | (乙,丙) | (乙,丁) |
| 丙 | (丙,甲) | (丙,乙) | — | (丙,丁) |
| 丁 | (丁,甲) | (丁,乙) | (丁,丙) | — |
由表可知共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$；$\boxed{83.5}$；$\boxed{144°}$
(2) B组人数为$50×30\%=15$，补全频数分布直方图如答图所示：
(3) 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为$\boxed{720}$。
(4) 所选的两位同学恰为甲和丙的概率为$\boxed{\frac{1}{6}}$。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，概率计算
【点评】
本题以科技主题活动为背景，综合考查统计与概率的相关知识，涵盖统计图表信息提取、中位数和扇形圆心角计算、用样本估计总体以及简单概率求解，能够较好地考查学生的数据分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时按小问逐一推导：
(1) 求总抽取人数：扇形图显示D组占20%，直方图显示D组频数为10，总人数=对应频数÷占比，即可求出总人数。求中位数：50个数据的中位数是排序后第25、26个数据的平均数，先计算A、B组累计人数，判断第25、26个数据所在分组，再结合C组给出的排序数据计算平均数即可。求C组圆心角：用360°乘C组人数占总人数的占比即可。
(2) 补全直方图需先求B组人数：用总人数乘扇形图中B组的占比30%，得到B组频数后对应绘制高度相符的矩形即可。
(3) 估计全校不低于80分的人数：先计算样本中C、D组（成绩≥80分）的人数占比，再乘全校总人数1200即可得到估计值。
(4) 求选到甲和丙的概率：用列表法列出所有等可能的选人结果，数出总结果数和符合条件的结果数，根据概率公式计算即可。
【解析】
(1) ①总抽取人数：已知D组有10人，占总人数的20%，因此总抽取人数为$10÷20\%=50$名。
②中位数：50个成绩排序后，中位数为第25、26个成绩的平均数。其中A组共5人，B组人数为$50×30\%=15$人，累计到B组共$5+15=20$人，因此第25、26个成绩都在C组。C组成绩已从小到大排序，第25个成绩为C组第5个数据83，第26个成绩为C组第6个数据84，因此中位数为$\frac{83+84}{2}=83.5$分。
③C组对应圆心角度数为$360°×\frac{20}{50}=144°$。
(2) B组人数为$50×30\%=15$，补全频数分布直方图如下：
(3) 样本中成绩不低于80分的为C、D组，总人数为$20+10=30$，占样本总人数的比例为$\frac{30}{50}=\frac{3}{5}$，因此全校1200名学生中成绩不低于80分的人数估计为$1200×\frac{3}{5}=720$人。
(4) 列表列举所有选法如下：
| | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 甲 | — | (甲,乙) | (甲,丙) | (甲,丁) |
| 乙 | (乙,甲) | — | (乙,丙) | (乙,丁) |
| 丙 | (丙,甲) | (丙,乙) | — | (丙,丁) |
| 丁 | (丁,甲) | (丁,乙) | (丁,丙) | — |
由表可知共有12种等可能的结果，其中所选两位同学恰为甲和丙的结果有2种，因此所求概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\boxed{50}$；$\boxed{83.5}$；$\boxed{144°}$
(2) B组人数为$50×30\%=15$，补全频数分布直方图如答图所示：
(3) 估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为$\boxed{720}$。
(4) 所选的两位同学恰为甲和丙的概率为$\boxed{\frac{1}{6}}$。
【知识点】
频数分布直方图，扇形统计图，概率计算
【点评】
本题以科技主题活动为背景，综合考查统计与概率的相关知识，涵盖统计图表信息提取、中位数和扇形圆心角计算、用样本估计总体以及简单概率求解，能够较好地考查学生的数据分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.7
