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1.使一元二次方程左、右两边相等的
未知数的值
叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根。答案
1. 未知数的值
解析
【分析】
这是一道考查一元二次方程解的基础定义的填空题，解题时只需回忆课本中关于一元二次方程解（根）的定义内容即可。所有方程解的核心特征都是能使方程左右两边相等，对应到一元二次方程中，满足该条件的就是未知数的取值，直接对应空缺部分就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程解的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此空缺处应填入“未知数的值”。
【答案】
未知数的值
【知识点】
一元二次方程解的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对课本基础定义的记忆与掌握，牢记相关概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
这是一道考查一元二次方程解的基础定义的填空题，解题时只需回忆课本中关于一元二次方程解（根）的定义内容即可。所有方程解的核心特征都是能使方程左右两边相等，对应到一元二次方程中，满足该条件的就是未知数的取值，直接对应空缺部分就能得出答案。
【解析】
根据一元二次方程解的定义：使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解，也叫作一元二次方程的根，因此空缺处应填入“未知数的值”。
【答案】
未知数的值
【知识点】
一元二次方程解的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考查对课本基础定义的记忆与掌握，牢记相关概念即可轻松得分。
【难度系数】
0.9
2.我们通过不断缩小范围来得到一元二次方程的近似解，当某一$x$的值使$ax^2+bx+c$的值非常接近
0
时，$x$的值即可看作一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的解。答案
2. 0
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程解的定义：能使方程$ax^2+bx+c=0$左右两边相等的$x$的值就是方程的解，此时左边代数式$ax^2+bx+c$的取值等于等号右侧的0。我们估算近似解时，本质就是不断尝试$x$的取值，只要对应的$ax^2+bx+c$的值非常接近0，这个$x$就可以看作方程的近似解。
【解析】
根据一元二次方程解的定义，若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的解，则满足$ax^2+bx+c=0$。因此在估算近似解的过程中，当某一$x$的取值使得代数式$ax^2+bx+c$的值非常接近0时，该$x$即可看作方程的近似解，因此此处应填0。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查对一元二次方程解的概念的理解，是估算近似解的基础内容，属于概念识记类题型，熟练掌握方程解的本质含义即可快速答题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程解的定义：能使方程$ax^2+bx+c=0$左右两边相等的$x$的值就是方程的解，此时左边代数式$ax^2+bx+c$的取值等于等号右侧的0。我们估算近似解时，本质就是不断尝试$x$的取值，只要对应的$ax^2+bx+c$的值非常接近0，这个$x$就可以看作方程的近似解。
【解析】
根据一元二次方程解的定义，若$x$是方程$ax^2+bx+c=0$的解，则满足$ax^2+bx+c=0$。因此在估算近似解的过程中，当某一$x$的取值使得代数式$ax^2+bx+c$的值非常接近0时，该$x$即可看作方程的近似解，因此此处应填0。
【答案】
0
【知识点】
1. 一元二次方程的解的定义
2. 一元二次方程近似解估算
【点评】
本题考查对一元二次方程解的概念的理解，是估算近似解的基础内容，属于概念识记类题型，熟练掌握方程解的本质含义即可快速答题。
【难度系数】
0.9
1.方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的解是（
A.$x=1$
B.$x=-3$
C.$x=3$
D.$x=1$或$x=-3$
D
）。A.$x=1$
B.$x=-3$
C.$x=3$
D.$x=1$或$x=-3$
答案
1. D
解析
【分析】
本题要求求解一元二次方程的解并匹配选项，对于二次项系数为1、常数项易拆分的一元二次方程，优先选用因式分解法简化计算。解题思路为：先将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”的原理，将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，最后对应选项选择即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$左侧的二次三项式因式分解：
$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$
因此原方程可转化为：
$(x+3)(x-1)=0$
根据乘法的性质可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=-3$，$x_2=1$
即原方程的解为$x=1$或$x=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，考查一元二次方程的基础解法，熟练掌握常见的一元二次方程求解方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题要求求解一元二次方程的解并匹配选项，对于二次项系数为1、常数项易拆分的一元二次方程，优先选用因式分解法简化计算。解题思路为：先将方程左侧的二次三项式分解为两个一次因式的乘积，再根据“乘积为0的两个因式至少一个为0”的原理，将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解，最后对应选项选择即可。
【解析】
解：对一元二次方程$x^2 + 2x - 3 = 0$左侧的二次三项式因式分解：
$x^2+2x-3=(x+3)(x-1)$
因此原方程可转化为：
$(x+3)(x-1)=0$
根据乘法的性质可得：
$x+3=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=-3$，$x_2=1$
即原方程的解为$x=1$或$x=-3$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，考查一元二次方程的基础解法，熟练掌握常见的一元二次方程求解方法就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.已知关于x的方程$x^2 - px + q = 0$有一个实数根为0，则q的值为（
A.0
B.1
C.2
D.无法求解
A
）。A.0
B.1
C.2
D.无法求解
答案
2. A
解析
【分析】
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，已知方程有一个实数根为0，只需将x=0代入原方程，通过计算即可求出q的取值。
【解析】
∵ $x=0$是方程$x^2 - px + q = 0$的实数根，
∴ 将$x=0$代入原方程，等式成立，即：
$0^2 - p×0 + q = 0$
计算可得$q=0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根一定满足原方程，代入参数计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
根据方程根的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，已知方程有一个实数根为0，只需将x=0代入原方程，通过计算即可求出q的取值。
【解析】
∵ $x=0$是方程$x^2 - px + q = 0$的实数根，
∴ 将$x=0$代入原方程，等式成立，即：
$0^2 - p×0 + q = 0$
计算可得$q=0$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根一定满足原方程，代入参数计算即可得到结果。
【难度系数】
0.9
3.若$x=1$是方程$x^2 -3kx -10=0$的一个实数根，则$k=$
-3
。答案
3. -3
解析
【分析】
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的值。
【解析】
∵ $x=1$是方程$x^2 -3kx -10=0$的实数根，
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，即：
$\quad 1^2 - 3k × 1 - 10 = 0$
整理得：$1 - 3k - 10 = 0$
合并同类项得：$-3k -9 = 0$
移项得：$-3k = 9$
系数化为1得：$k = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，计算量小，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题可根据一元二次方程根的定义求解，方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，因此将已知的根x=1代入原方程，即可得到只含有未知数k的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出k的值。
【解析】
∵ $x=1$是方程$x^2 -3kx -10=0$的实数根，
∴ 将$x=1$代入方程，等式成立，即：
$\quad 1^2 - 3k × 1 - 10 = 0$
整理得：$1 - 3k - 10 = 0$
合并同类项得：$-3k -9 = 0$
移项得：$-3k = 9$
系数化为1得：$k = -3$
【答案】
-3
【知识点】
一元二次方程根的定义，解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题关键是明确方程的根代入原方程可使等式成立，计算量小，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
4. 根据下表确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的一个解$x_0$的取值范围是
$1.0＜x_0＜1.1$
。答案
4. $1.0＜x_0＜1.1$
解析
【分析】
要确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的取值。由于二次多项式的取值是连续变化的，当$x$取两个相邻值时，若代数式的值一正一负，说明这两个值之间必然存在一个$x$使得代数式的值为0，也就是方程的解落在这个区间内，接下来观察表格中$x$对应代数式的符号变化即可找到对应区间。
【解析】
方程$x^2 -8x +7.5=0$的解是使$x^2 -8x +7.5=0$的$x$的取值：
当$x=1.0$时，$x^2 -8x +7.5=0.5＞0$；
当$x=1.1$时，$x^2 -8x +7.5=-0.09＜0$。
因为代数式的值是连续变化的，所以在$1.0＜x＜1.1$的范围内，一定存在一个$x_0$使得$x_0^2 -8x_0 +7.5=0$，即可得到方程一个解的取值范围。
【答案】
$1.0＜x_0＜1.1$
【知识点】
一元二次方程解的估算；代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程估算的基础题型，核心是利用代数式值的正负变化确定方程解的区间，这种估算方法是后续学习函数、求解方程近似解的重要基础，解题时只需找准相邻自变量对应的代数式值正负切换的区间即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要确定方程$x^2 -8x +7.5=0$的解的范围，首先明确方程的解就是使代数式$x^2 -8x +7.5$的值为0的$x$的取值。由于二次多项式的取值是连续变化的，当$x$取两个相邻值时，若代数式的值一正一负，说明这两个值之间必然存在一个$x$使得代数式的值为0，也就是方程的解落在这个区间内，接下来观察表格中$x$对应代数式的符号变化即可找到对应区间。
【解析】
方程$x^2 -8x +7.5=0$的解是使$x^2 -8x +7.5=0$的$x$的取值：
当$x=1.0$时，$x^2 -8x +7.5=0.5＞0$；
当$x=1.1$时，$x^2 -8x +7.5=-0.09＜0$。
因为代数式的值是连续变化的，所以在$1.0＜x＜1.1$的范围内，一定存在一个$x_0$使得$x_0^2 -8x_0 +7.5=0$，即可得到方程一个解的取值范围。
【答案】
$1.0＜x_0＜1.1$
【知识点】
一元二次方程解的估算；代数式求值
【点评】
本题属于一元二次方程估算的基础题型，核心是利用代数式值的正负变化确定方程解的区间，这种估算方法是后续学习函数、求解方程近似解的重要基础，解题时只需找准相邻自变量对应的代数式值正负切换的区间即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
5.先填表，再填空：
根据上表可知方程$x^2 -2x -3=0$的实数根是
根据上表可知方程$x^2 -2x -3=0$的实数根是
$x_1=-1,x_2=3$
。答案
5. 填表数值依次为5，0，-3，-4，-3，0，方程的实数根为$x_1=-1,x_2=3$
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步是将表格中给出的每个x的值逐一代入代数式$x^2 - 2x - 3$中，计算出对应的代数式的值，完成表格填写；第二步根据一元二次方程根的定义，能使方程$x^2 - 2x - 3 = 0$成立的x的值就是方程的根，即找到表格中代数式的值为0时对应的x取值即可。
【解析】
1. 计算各x对应的代数式的值：
当$x=-2$时，$x^2 - 2x - 3 = (-2)^2 - 2×(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$；
当$x=-1$时，$x^2 - 2x - 3 = (-1)^2 - 2×(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$；
当$x=0$时，$x^2 - 2x - 3 = 0^2 - 2×0 - 3 = -3$；
当$x=1$时，$x^2 - 2x - 3 = 1^2 - 2×1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$；
当$x=2$时，$x^2 - 2x - 3 = 2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$；
当$x=3$时，$x^2 - 2x - 3 = 3^2 - 2×3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$；
因此表格第二行依次填写：5，0，-3，-4，-3，0。
2. 求方程的根：
一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，观察表格可知，当$x=-1$和$x=3$时，$x^2 - 2x - 3 = 0$，因此方程的实数根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
填表数值依次为5，0，-3，-4，-3，0；方程的实数根为$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
代数式求值；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，只要掌握“方程的根是使方程成立的未知数的值”这一核心，通过代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
解题思路分为两步：第一步是将表格中给出的每个x的值逐一代入代数式$x^2 - 2x - 3$中，计算出对应的代数式的值，完成表格填写；第二步根据一元二次方程根的定义，能使方程$x^2 - 2x - 3 = 0$成立的x的值就是方程的根，即找到表格中代数式的值为0时对应的x取值即可。
【解析】
1. 计算各x对应的代数式的值：
当$x=-2$时，$x^2 - 2x - 3 = (-2)^2 - 2×(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$；
当$x=-1$时，$x^2 - 2x - 3 = (-1)^2 - 2×(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$；
当$x=0$时，$x^2 - 2x - 3 = 0^2 - 2×0 - 3 = -3$；
当$x=1$时，$x^2 - 2x - 3 = 1^2 - 2×1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$；
当$x=2$时，$x^2 - 2x - 3 = 2^2 - 2×2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$；
当$x=3$时，$x^2 - 2x - 3 = 3^2 - 2×3 - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$；
因此表格第二行依次填写：5，0，-3，-4，-3，0。
2. 求方程的根：
一元二次方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，观察表格可知，当$x=-1$和$x=3$时，$x^2 - 2x - 3 = 0$，因此方程的实数根为$x_1=-1$，$x_2=3$。
【答案】
填表数值依次为5，0，-3，-4，-3，0；方程的实数根为$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
代数式求值；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对一元二次方程根的概念的理解，只要掌握“方程的根是使方程成立的未知数的值”这一核心，通过代入计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
6.若一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有一个实数根为$x=1$，则$a+b+c=$
0
。答案
6. 0
解析
【分析】
解题的核心是利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=1是方程的实数根，只需将x=1代入原方程，化简后即可直接得到a+b+c的结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的实数根，
根据方程根的定义，将$x=1$代入方程得：
$a×1^2 + b×1 + c = 0$
化简可得：$a+b+c=0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用题型，解题思路直接，只要掌握根的基本性质即可快速得出答案，是后续解决方程相关综合题的基础。
【难度系数】
0.9
解题的核心是利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=1是方程的实数根，只需将x=1代入原方程，化简后即可直接得到a+b+c的结果。
【解析】
∵x=1是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的实数根，
根据方程根的定义，将$x=1$代入方程得：
$a×1^2 + b×1 + c = 0$
化简可得：$a+b+c=0$
【答案】
0
【知识点】
一元二次方程根的定义
【点评】
本题是方程根的定义的基础应用题型，解题思路直接，只要掌握根的基本性质即可快速得出答案，是后续解决方程相关综合题的基础。
【难度系数】
0.9
7. 判断下列方程后面括号里的数是不是方程的解。
(1)$x^2 + 5x - 6 = 0$,$(1, -6)$;
(2)$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$,$(\sqrt{3}, 1)$;
(3)$(2x - 1)^2 = 3$,$( \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} )$。
(1)$x^2 + 5x - 6 = 0$,$(1, -6)$;
(2)$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$,$(\sqrt{3}, 1)$;
(3)$(2x - 1)^2 = 3$,$( \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{3}}{2} )$。
答案
7. 解：(1)1，-6均是方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解。
(3)$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$均是方程的解。
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解。
(3)$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$均是方程的解。
解析
【分析】
判断一个数是否为方程的解的核心方法是代入检验法：将待检验的数分别代入方程的左右两边，若左右两边计算结果相等，则该数是方程的解，反之则不是。本题只需逐个将括号内的数代入对应方程，分别计算左右两边的值对比即可。
【解析】
(1) 检验x=1：代入方程左边得$1^2 +5×1 -6=1+5-6=0$，和右边相等，故1是方程的解；
检验x=-6：代入方程左边得$(-6)^2 +5×(-6) -6=36-30-6=0$，和右边相等，故-6是方程的解。
(2) 检验x=$\sqrt{3}$：代入方程左边得$(\sqrt{3})^2 -2\sqrt{3}×\sqrt{3} +3=3-6+3=0$，和右边相等，故$\sqrt{3}$是方程的解；
检验x=1：代入方程左边得$1^2 -2\sqrt{3}×1 +3=4-2\sqrt{3}≠0$，和右边不相等，故1不是方程的解。
(3) 检验x=$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$：代入方程左边得$(2×\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}-1)^2=(1+\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2=3$，和右边相等，故$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$是方程的解；
检验x=$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$：代入方程左边得$(2×\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}-1)^2=(1-\sqrt{3}-1)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，和右边相等，故$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$是方程的解。
【答案】
(1)1，-6均是方程的解；
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解；
(3)$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$均是方程的解。
【知识点】
方程解的判定、代入检验法、二次根式运算
【点评】
本题属于方程解判定的基础题型，主要考查代入检验法的应用，熟练掌握整式、二次根式的基本运算即可快速解题，该方法也可用于后续验证方程求解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
判断一个数是否为方程的解的核心方法是代入检验法：将待检验的数分别代入方程的左右两边，若左右两边计算结果相等，则该数是方程的解，反之则不是。本题只需逐个将括号内的数代入对应方程，分别计算左右两边的值对比即可。
【解析】
(1) 检验x=1：代入方程左边得$1^2 +5×1 -6=1+5-6=0$，和右边相等，故1是方程的解；
检验x=-6：代入方程左边得$(-6)^2 +5×(-6) -6=36-30-6=0$，和右边相等，故-6是方程的解。
(2) 检验x=$\sqrt{3}$：代入方程左边得$(\sqrt{3})^2 -2\sqrt{3}×\sqrt{3} +3=3-6+3=0$，和右边相等，故$\sqrt{3}$是方程的解；
检验x=1：代入方程左边得$1^2 -2\sqrt{3}×1 +3=4-2\sqrt{3}≠0$，和右边不相等，故1不是方程的解。
(3) 检验x=$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$：代入方程左边得$(2×\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}-1)^2=(1+\sqrt{3}-1)^2=(\sqrt{3})^2=3$，和右边相等，故$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$是方程的解；
检验x=$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$：代入方程左边得$(2×\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}-1)^2=(1-\sqrt{3}-1)^2=(-\sqrt{3})^2=3$，和右边相等，故$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$是方程的解。
【答案】
(1)1，-6均是方程的解；
(2)$\sqrt{3}$是方程的解，1不是方程的解；
(3)$\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$均是方程的解。
【知识点】
方程解的判定、代入检验法、二次根式运算
【点评】
本题属于方程解判定的基础题型，主要考查代入检验法的应用，熟练掌握整式、二次根式的基本运算即可快速解题，该方法也可用于后续验证方程求解结果是否正确。
【难度系数】
0.8
8.若关于x的一元二次方程$(m-1)x^2+2x+m^2-1=0$有一个实数根为0，则m的值是（
A.1
B.-1
C.$\pm1$
D.$\pm2$
B
）。A.1
B.-1
C.$\pm1$
D.$\pm2$
答案
8. B
解析
【分析】
这道题已知含参数的一元二次方程有一个根为0，求参数m的值。解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，把x=0代入原方程，得到关于m的方程，求出m的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对求出的m的可能值进行筛选，排除不符合条件的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-1)x^2+2x+m^2-1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ $x=0$是方程的一个实数根，将$x=0$代入原方程得：
$(m-1)×0^2 + 2×0 + m^2 -1 =0$
整理得$m^2 -1=0$
解得$m=1$或$m=-1$
结合$m≠1$的限制，舍去$m=1$，故$m=-1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，解题时要注意对参数的取值进行验证，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
这道题已知含参数的一元二次方程有一个根为0，求参数m的值。解题时可分两步思考：第一步，根据方程根的定义，把x=0代入原方程，得到关于m的方程，求出m的可能取值；第二步，结合一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，对求出的m的可能值进行筛选，排除不符合条件的取值，最终得到正确的m值。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-1)x^2+2x+m^2-1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$
又
∵ $x=0$是方程的一个实数根，将$x=0$代入原方程得：
$(m-1)×0^2 + 2×0 + m^2 -1 =0$
整理得$m^2 -1=0$
解得$m=1$或$m=-1$
结合$m≠1$的限制，舍去$m=1$，故$m=-1$
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选C选项，解题时要注意对参数的取值进行验证，排除不符合题意的结果。
【难度系数】
0.7
9.已知关于x的一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的一个根为-1，则m的值为
-1
。答案
9. -1
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根求参数值，解题时首先利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把已知根x=-1代入原方程，就可以得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$
整理得：$-m = 1$
解得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路清晰，计算量小，掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
本题已知一元二次方程的一个根求参数值，解题时首先利用方程根的定义思考：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根，因此把已知根x=-1代入原方程，就可以得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵x=-1是一元二次方程$x^2 + mx - 2 = 0$的根
∴将x=-1代入原方程，可得：
$(-1)^2 + m×(-1) - 2 = 0$
化简得：$1 - m - 2 = 0$
整理得：$-m = 1$
解得：$m = -1$
【答案】
-1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的定义的应用，解题思路清晰，计算量小，掌握“方程的根代入原方程等式成立”这一规律即可快速求解。
【难度系数】
0.9
10.若$m$是方程$2x^2+3x-1=0$的实数根，
则$4m^2+6m+3$的值为
则$4m^2+6m+3$的值为
5
。答案
10. 5
解析
【分析】
解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，可得到关于m的等式；再观察所求代数式4m²+6m+3的结构，发现4m²+6m是已知等式中2m²+3m的2倍，因此无需计算m的具体值，采用整体代入法即可快速求出代数式的值。
【解析】
解：
∵m是方程$2x^2+3x-1=0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得：$2m^2 + 3m = 1$。
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 6m + 3 = 2(2m^2 + 3m) + 3$，
将$2m^2 + 3m = 1$代入上式得：
原式$=2×1 + 3 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题时无需解出方程的根，利用整体代入的思想可简化计算，是代数求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先根据一元二次方程根的定义，将根m代入原方程，可得到关于m的等式；再观察所求代数式4m²+6m+3的结构，发现4m²+6m是已知等式中2m²+3m的2倍，因此无需计算m的具体值，采用整体代入法即可快速求出代数式的值。
【解析】
解：
∵m是方程$2x^2+3x-1=0$的实数根，
∴将$x=m$代入方程得：$2m^2 + 3m - 1 = 0$，
整理得：$2m^2 + 3m = 1$。
对所求代数式变形可得：
$4m^2 + 6m + 3 = 2(2m^2 + 3m) + 3$，
将$2m^2 + 3m = 1$代入上式得：
原式$=2×1 + 3 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1.一元二次方程根的定义
2.整体代入求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题时无需解出方程的根，利用整体代入的思想可简化计算，是代数求值类的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
11. 方程 $x^{2}-2x+1=0$ 的实数根为 $x_{1}=1$，$x_{2}=1$；方程 $x^{2}-3x+2=0$ 的实数根为$x_{1}=1,x_{2}=2$；方程 $x^{2}-4x+3=0$ 的实数根为 $x_{1}=1,x_{2}=3 ··· ···$ 根据以上方程特征，请猜想：方程 $x^{2}-22x+21=0$ 的实数根为
$x_1=1,x_2=21$
。答案
11. $x_1=1,x_2=21$
解析
【分析】
解题时可先从题干给出的几组方程与对应根的关系找规律：首先观察已知方程的共性：二次项系数均为1，所有方程都有一个根为1，另一个根恰好等于方程的常数项，且两根之和等于一次项系数的相反数、两根之积等于常数项，符合一元二次方程根与系数的关系；也可以直接用十字相乘法对所求方程因式分解求解，得出结果后可互相验证确保正确。
【解析】
方法一（规律法）：
观察已知的方程及其根的特征，可总结规律：对于形如$x^2-(n+1)x+n=0$的一元二次方程，它的实数根为$x_1=1$，$x_2=n$。
待求方程为$x^2-22x+21=0$，对应规律中$n=21$，因此方程的实数根为$x_1=1$，$x_2=21$。
方法二（因式分解法）：
对$x^2-22x+21=0$用十字相乘法因式分解，可得：
$(x-1)(x-21)=0$
令$x-1=0$，解得$x_1=1$；令$x-21=0$，解得$x_2=21$。
【答案】
$x_1=1,x_2=21$
【知识点】
规律探究，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题兼顾规律探究和基础解法考查，既可以通过观察归纳已知条件的共性快速得出答案，也可以用常规的一元二次方程解法求解，能很好地检验学生的观察能力和基础知识掌握程度。
【难度系数】
0.8
解题时可先从题干给出的几组方程与对应根的关系找规律：首先观察已知方程的共性：二次项系数均为1，所有方程都有一个根为1，另一个根恰好等于方程的常数项，且两根之和等于一次项系数的相反数、两根之积等于常数项，符合一元二次方程根与系数的关系；也可以直接用十字相乘法对所求方程因式分解求解，得出结果后可互相验证确保正确。
【解析】
方法一（规律法）：
观察已知的方程及其根的特征，可总结规律：对于形如$x^2-(n+1)x+n=0$的一元二次方程，它的实数根为$x_1=1$，$x_2=n$。
待求方程为$x^2-22x+21=0$，对应规律中$n=21$，因此方程的实数根为$x_1=1$，$x_2=21$。
方法二（因式分解法）：
对$x^2-22x+21=0$用十字相乘法因式分解，可得：
$(x-1)(x-21)=0$
令$x-1=0$，解得$x_1=1$；令$x-21=0$，解得$x_2=21$。
【答案】
$x_1=1,x_2=21$
【知识点】
规律探究，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题兼顾规律探究和基础解法考查，既可以通过观察归纳已知条件的共性快速得出答案，也可以用常规的一元二次方程解法求解，能很好地检验学生的观察能力和基础知识掌握程度。
【难度系数】
0.8
12.“一块矩形铁片，面积为$2\ \mathrm{m}^2$，长比宽多2 m，求铁片的长。”小颖在做这道题时，是这样考虑的：设铁片的长为$x\ \mathrm{m}$，列出方程为$x(x-2)=2$，小颖列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是她的探索过程。
第一步：
所以
所以
(1)请你帮小颖填完表格，完成她未完成的部分；
(2)通过以上探索，可以估计矩形铁片长的整数部分是
第一步：
所以
1
$＜x＜$3
。所以
2
$＜x＜$3
。(1)请你帮小颖填完表格，完成她未完成的部分；
(2)通过以上探索，可以估计矩形铁片长的整数部分是
2
，十分位上的数是7
。答案
12. (1) 表格填写数值依次为1，6，2，3，-0.44，-0.11，0.24，0.61，2.7，2.8
(2) 2，7
(2) 2，7
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要通过试值法估算一元二次方程的解的范围，思路如下：
1. 首先明确方程为$x(x-2)=2$，等价于求代数式$x(x-2)-2=0$时$x$的取值，$x$是矩形的长，必为正数且大于2。
2. 第一步先试整数：代入相邻整数计算$x(x-2)-2$的值，当两个相邻整数对应的代数式值一负一正时，说明方程的解在这两个整数之间，即可确定$x$的整数范围。
3. 第二步试十分位：在得到的整数区间内，按0.1的间隔代入数值计算，同样找到两个相邻的一位小数，使得对应的代数式值一负一正，即可确定$x$的十分位范围，进而得到近似解的整数部分和十分位数值。
【解析】
(1) 第一步（整数区间探索）：
计算不同整数$x$对应的$x(x-2)-2$的值：
当$x=1$时，$1×(1-2)-2=-3$；
当$x=2$时，$2×(2-2)-2=-2＜0$；
当$x=3$时，$3×(3-2)-2=1＞0$；
当$x=4$时，$4×(4-2)-2=6$；
因为$x=2$时代数式值小于0，$x=3$时代数式值大于0，所以$2＜x＜3$。
第二步（十分位区间探索）：
在$2＜x＜3$区间内取一位小数，计算对应的$x(x-2)-2$的值：
当$x=2.6$时，$2.6×(2.6-2)-2=-0.44＜0$；
当$x=2.7$时，$2.7×(2.7-2)-2=-0.11＜0$；
当$x=2.8$时，$2.8×(2.8-2)-2=0.24＞0$；
当$x=2.9$时，$2.9×(2.9-2)-2=0.61＞0$；
因为$x=2.7$时代数式值小于0，$x=2.8$时代数式值大于0，所以$2.7＜x＜2.8$。
表格填写数值依次为1，6，2，3，-0.44，-0.11，0.24，0.61，2.7，2.8。
(2) 由$2.7＜x＜2.8$可知，矩形铁片长的整数部分是2，十分位上的数是7。
【答案】
(1) 2，3；2.7，2.8（表格数值依次为1，6，2，3，-0.44，-0.11，0.24，0.61，2.7，2.8）
(2) 2，7
【知识点】
一元二次方程估算；代数式求值；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查用试值法估算一元二次方程近似解的方法，核心是通过判断代数式值的正负变化确定解所在的区间，是求解一元二次方程近似解的基础方法，要求学生具备一定的计算能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们需要通过试值法估算一元二次方程的解的范围，思路如下：
1. 首先明确方程为$x(x-2)=2$，等价于求代数式$x(x-2)-2=0$时$x$的取值，$x$是矩形的长，必为正数且大于2。
2. 第一步先试整数：代入相邻整数计算$x(x-2)-2$的值，当两个相邻整数对应的代数式值一负一正时，说明方程的解在这两个整数之间，即可确定$x$的整数范围。
3. 第二步试十分位：在得到的整数区间内，按0.1的间隔代入数值计算，同样找到两个相邻的一位小数，使得对应的代数式值一负一正，即可确定$x$的十分位范围，进而得到近似解的整数部分和十分位数值。
【解析】
(1) 第一步（整数区间探索）：
计算不同整数$x$对应的$x(x-2)-2$的值：
当$x=1$时，$1×(1-2)-2=-3$；
当$x=2$时，$2×(2-2)-2=-2＜0$；
当$x=3$时，$3×(3-2)-2=1＞0$；
当$x=4$时，$4×(4-2)-2=6$；
因为$x=2$时代数式值小于0，$x=3$时代数式值大于0，所以$2＜x＜3$。
第二步（十分位区间探索）：
在$2＜x＜3$区间内取一位小数，计算对应的$x(x-2)-2$的值：
当$x=2.6$时，$2.6×(2.6-2)-2=-0.44＜0$；
当$x=2.7$时，$2.7×(2.7-2)-2=-0.11＜0$；
当$x=2.8$时，$2.8×(2.8-2)-2=0.24＞0$；
当$x=2.9$时，$2.9×(2.9-2)-2=0.61＞0$；
因为$x=2.7$时代数式值小于0，$x=2.8$时代数式值大于0，所以$2.7＜x＜2.8$。
表格填写数值依次为1，6，2，3，-0.44，-0.11，0.24，0.61，2.7，2.8。
(2) 由$2.7＜x＜2.8$可知，矩形铁片长的整数部分是2，十分位上的数是7。
【答案】
(1) 2，3；2.7，2.8（表格数值依次为1，6，2，3，-0.44，-0.11，0.24，0.61，2.7，2.8）
(2) 2，7
【知识点】
一元二次方程估算；代数式求值；矩形面积计算
【点评】
本题重点考查用试值法估算一元二次方程近似解的方法，核心是通过判断代数式值的正负变化确定解所在的区间，是求解一元二次方程近似解的基础方法，要求学生具备一定的计算能力和逻辑判断能力。
【难度系数】
0.7
