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9.已知关于x的方程$(m-3)x^{m^2 -7}+(m-2)x+5=0$。
（1）当m为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，方程是一元一次方程？
（1）当m为何值时，方程是一元二次方程？
（2）当m为何值时，方程是一元一次方程？
答案
解:(1)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$ 是一元二次方程，
则 $m^2-7=2$ 且 $m-3≠0$，
解得 $m=-3$。
故当 $m$ 为-3 时，方程是一元二次方程。
(2)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$是一元一次方程，
则 $m-3=0$ 且 $m-2≠0$ 或 $m^2-7=0$ 且$m-2≠0$ 或 $m^2-7=1$ 且 $m-3+m-2≠0$，
解得 $m=3$ 或 $m=±\sqrt{7}$ 或 $m=±2\sqrt{2}$。
故当 $m=3$ 或 $m=±\sqrt{7}$ 或 $m=±2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
则 $m^2-7=2$ 且 $m-3≠0$，
解得 $m=-3$。
故当 $m$ 为-3 时，方程是一元二次方程。
(2)若方程$(m-3)x^{m^2-7}+(m-2)x+5=0$是一元一次方程，
则 $m-3=0$ 且 $m-2≠0$ 或 $m^2-7=0$ 且$m-2≠0$ 或 $m^2-7=1$ 且 $m-3+m-2≠0$，
解得 $m=3$ 或 $m=±\sqrt{7}$ 或 $m=±2\sqrt{2}$。
故当 $m=3$ 或 $m=±\sqrt{7}$ 或 $m=±2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
解析
【分析】
（1）判断方程为一元二次方程时，需紧扣一元二次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程，且二次项系数不为0，据此列关于m的方程和不等式求解即可。
（2）判断方程为一元一次方程时，需紧扣一元一次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程，且一次项系数不为0。由于原式有两个含x的项，需分三类讨论：①原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0；②原最高次项次数为0（即该项为常数项），剩余的一次项系数不为0；③原最高次项次数为1，合并同类项后一次项系数不为0，分别求解后汇总结果即可。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \\m - 3 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 7 = 2$得$m=\pm3$，结合$m≠3$的限制，得$m=-3$。
（2）若方程是一元一次方程，分三种情况讨论：
① 原二次项系数为0，剩余一次项系数不为0：
$\begin{cases}m - 3 = 0 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=3$，符合要求；
② 原最高次项为常数项，剩余一次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 0 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=\pm\sqrt{7}$，均满足$m≠2$，符合要求；
③ 原最高次项次数为1，合并后一次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 1 \\(m-3)+(m-2) ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -7=1$得$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证均满足系数不为0的要求，符合要求。
综上，满足条件的m为$3$、$\pm\sqrt{7}$、$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）当$m=-3$时，方程是一元二次方程；
（2）当$m=3$或$m=\pm\sqrt{7}$或$m=\pm2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
【知识点】
一元二次方程定义、一元一次方程定义、分类讨论思想
【点评】
本题考查整式方程次数的判定，解题核心是抓住不同次数整式方程的核心限制条件，既要满足最高次次数要求，也要保证对应次数项的系数不为0，求解一元一次方程相关问题时要注意全面分类，避免漏解。
【难度系数】
0.6
（1）判断方程为一元二次方程时，需紧扣一元二次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程，且二次项系数不为0，据此列关于m的方程和不等式求解即可。
（2）判断方程为一元一次方程时，需紧扣一元一次方程的定义：只含1个未知数、未知数最高次数为1、是整式方程，且一次项系数不为0。由于原式有两个含x的项，需分三类讨论：①原二次项系数为0，剩余的一次项系数不为0；②原最高次项次数为0（即该项为常数项），剩余的一次项系数不为0；③原最高次项次数为1，合并同类项后一次项系数不为0，分别求解后汇总结果即可。
【解析】
（1）若方程是一元二次方程，需满足：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 2 \\m - 3 ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 - 7 = 2$得$m=\pm3$，结合$m≠3$的限制，得$m=-3$。
（2）若方程是一元一次方程，分三种情况讨论：
① 原二次项系数为0，剩余一次项系数不为0：
$\begin{cases}m - 3 = 0 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=3$，符合要求；
② 原最高次项为常数项，剩余一次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 0 \\m - 2 ≠ 0\end{cases}$
解得$m=\pm\sqrt{7}$，均满足$m≠2$，符合要求；
③ 原最高次项次数为1，合并后一次项系数不为0：
$\begin{cases}m^2 - 7 = 1 \\(m-3)+(m-2) ≠ 0\end{cases}$
解$m^2 -7=1$得$m=\pm2\sqrt{2}$，代入验证均满足系数不为0的要求，符合要求。
综上，满足条件的m为$3$、$\pm\sqrt{7}$、$\pm2\sqrt{2}$。
【答案】
（1）当$m=-3$时，方程是一元二次方程；
（2）当$m=3$或$m=\pm\sqrt{7}$或$m=\pm2\sqrt{2}$时，方程是一元一次方程。
【知识点】
一元二次方程定义、一元一次方程定义、分类讨论思想
【点评】
本题考查整式方程次数的判定，解题核心是抓住不同次数整式方程的核心限制条件，既要满足最高次次数要求，也要保证对应次数项的系数不为0，求解一元一次方程相关问题时要注意全面分类，避免漏解。
【难度系数】
0.6
10. 根据题意，列出方程并化为一般形式。
(1)一个面积为$ 120 m^2 $的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，求苗圃的长。
(2)已知一个直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长。
(1)一个面积为$ 120 m^2 $的矩形苗圃，它的长比宽多 2 m，求苗圃的长。
(2)已知一个直角三角形的三边长为连续偶数，求它的三边长。
答案
解:(1)设苗圃的长为 $x$ m,则宽为$(x-2)$m。根据题意,得 $x(x-2)=120$,整理,得 $x^2-2x-120=0$。
(2)设中间的偶数是 $x$,则另外两个偶数分别是 $x-2,x+2$,根据勾股定理,得$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$,整理,得 $x^2-8x=0$。
(2)设中间的偶数是 $x$,则另外两个偶数分别是 $x-2,x+2$,根据勾股定理,得$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$,整理,得 $x^2-8x=0$。
解析
【分析】
（1）本题的等量关系为矩形面积=长×宽。要计算苗圃的长，可直接设长为未知数$x$ m，根据“长比宽多2 m”可表示出宽为$(x-2)$ m，将已知面积代入等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）本题的等量关系为直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和=斜边的平方。已知三边长为连续偶数，斜边是最长边，因此设中间的偶数为$x$，则较短直角边为$x-2$，斜边为$x+2$，代入勾股定理列方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设苗圃的长为 $x$ m，则宽为$(x-2)$m。
根据矩形面积公式列方程：$x(x-2)=120$
整理为一般形式：
$\begin{aligned}x^2-2x&=120\\x^2-2x-120&=0\end{aligned}$
(2) 设中间的偶数是 $x$，则另外两个偶数分别是$x-2$、$x+2$，其中$x+2$为斜边。
根据勾股定理列方程：$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$
整理为一般形式：
$\begin{aligned}x^2-4x+4+x^2&=x^2+4x+4\\2x^2-4x+4-x^2-4x-4&=0\\x^2-8x&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2-2x-120=0$
(2) $x^2-8x=0$
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的一般形式、勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题关键是结合实际场景找准等量关系，合理设置未知数，整理方程时注意移项要变号，最终化为规范的一元二次方程一般形式。
【难度系数】
0.8
（1）本题的等量关系为矩形面积=长×宽。要计算苗圃的长，可直接设长为未知数$x$ m，根据“长比宽多2 m”可表示出宽为$(x-2)$ m，将已知面积代入等量关系列方程，再整理为一元二次方程的一般形式即可。
（2）本题的等量关系为直角三角形的勾股定理：两直角边的平方和=斜边的平方。已知三边长为连续偶数，斜边是最长边，因此设中间的偶数为$x$，则较短直角边为$x-2$，斜边为$x+2$，代入勾股定理列方程，再整理为一般形式即可。
【解析】
(1) 设苗圃的长为 $x$ m，则宽为$(x-2)$m。
根据矩形面积公式列方程：$x(x-2)=120$
整理为一般形式：
$\begin{aligned}x^2-2x&=120\\x^2-2x-120&=0\end{aligned}$
(2) 设中间的偶数是 $x$，则另外两个偶数分别是$x-2$、$x+2$，其中$x+2$为斜边。
根据勾股定理列方程：$(x-2)^2+x^2=(x+2)^2$
整理为一般形式：
$\begin{aligned}x^2-4x+4+x^2&=x^2+4x+4\\2x^2-4x+4-x^2-4x-4&=0\\x^2-8x&=0\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2-2x-120=0$
(2) $x^2-8x=0$
【知识点】
列一元二次方程、一元二次方程的一般形式、勾股定理
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，解题关键是结合实际场景找准等量关系，合理设置未知数，整理方程时注意移项要变号，最终化为规范的一元二次方程一般形式。
【难度系数】
0.8
11.设a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$，求满足条件的一元二次方程。
答案
解:由$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$，
得$\begin{cases}a-1=0,\\b-2=0,\\a+b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3。\end{cases}$
$\because a$ 是二次项系数,$b$ 是一次项系数,$c$是常数项，
$\therefore$ 所求的一元二次方程为 $x^2+2x-3=0$。
得$\begin{cases}a-1=0,\\b-2=0,\\a+b+c=0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=1,\\b=2,\\c=-3。\end{cases}$
$\because a$ 是二次项系数,$b$ 是一次项系数,$c$是常数项，
$\therefore$ 所求的一元二次方程为 $x^2+2x-3=0$。
解析
【分析】
解题的突破口是非负数的性质：算术平方根、平方、绝对值均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。我们可以根据这一性质列出关于a、b、c的三元一次方程组，求解得到三个系数的值后，代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，即可得到所求方程。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|a+b+c|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\a+b+c=0\end{cases}$
解得：
由$a-1=0$得$a=1$；
由$b-2=0$得$b=2$；
将$a=1$、$b=2$代入$a+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
$\because a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，
$\therefore$代入一元二次方程一般形式得所求方程为$x^2+2x-3=0$。
【答案】
$x^2+2x-3=0$
【知识点】
非负数的性质；解三元一次方程组；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，牢记一元二次方程的一般形式，注意二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
解题的突破口是非负数的性质：算术平方根、平方、绝对值均为非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0。我们可以根据这一性质列出关于a、b、c的三元一次方程组，求解得到三个系数的值后，代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，即可得到所求方程。
【解析】
解：$\because \sqrt{a-1}≥0$，$(b-2)^2≥0$，$|a+b+c|≥0$，且$\sqrt{a-1}+(b-2)^2+|a+b+c|=0$
$\therefore$可列方程组：
$\begin{cases}a-1=0\\b-2=0\\a+b+c=0\end{cases}$
解得：
由$a-1=0$得$a=1$；
由$b-2=0$得$b=2$；
将$a=1$、$b=2$代入$a+b+c=0$，得$1+2+c=0$，解得$c=-3$。
$\because a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，
$\therefore$代入一元二次方程一般形式得所求方程为$x^2+2x-3=0$。
【答案】
$x^2+2x-3=0$
【知识点】
非负数的性质；解三元一次方程组；一元二次方程的定义
【点评】
本题属于基础题，解题核心是熟练掌握非负数的性质，牢记一元二次方程的一般形式，注意二次项系数不为0的隐含条件。
【难度系数】
0.8
12.将4个数$a,b,c,d$排成2行2列，两边各加一条竖线，记成$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$，定义$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，上述记法就叫作二阶行列式，那么$\begin{vmatrix} x+1 & x+2 \\ x-2 & 2x \end{vmatrix}=22$表示的方程是一元二次方程吗？如果是，请写出它的一般形式。
答案
解:根据题意,得$(x+1)·2x-(x+2)·(x-2)=22$。
去括号,得 $2x^2+2x-x^2+4=22$，
即 $x^2+2x-18=0$。
$\therefore \begin{vmatrix} x+1 & x+2 \\ x-2 & 2x \end{vmatrix}=22$ 表示的方程是一元二次方程,它的一般形式是 $x^2+2x-18=0$。
去括号,得 $2x^2+2x-x^2+4=22$，
即 $x^2+2x-18=0$。
$\therefore \begin{vmatrix} x+1 & x+2 \\ x-2 & 2x \end{vmatrix}=22$ 表示的方程是一元二次方程,它的一般形式是 $x^2+2x-18=0$。
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解二阶行列式的运算规则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线两项的乘积减去副对角线两项的乘积；其次将题目中行列式对应位置的代数式代入运算规则，列出关于$x$的方程；最后对得到的方程进行去括号、合并同类项、移项整理，再结合一元二次方程的定义判断方程类型，并整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义，可列等式：
$(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22$
先利用平方差公式计算$(x+2)(x-2)=x^2-4$，再去括号得：
$2x^2+2x-x^2+4=22$
移项、合并同类项后得：
$x^2+2x-18=0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数的最高次数为2，且是整式方程，因此它是一元二次方程。
【答案】
是一元二次方程，它的一般形式是$\boldsymbol{x^2+2x-18=0}$
【知识点】
新定义运算，整式混合运算，一元二次方程的概念
【点评】
本题结合新定义考查基础运算和一元二次方程的相关知识，解题核心是正确理解新运算规则，准确代入化简，能有效考查学生对新知识的迁移应用能力和运算基本功，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：首先准确理解二阶行列式的运算规则：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，即主对角线两项的乘积减去副对角线两项的乘积；其次将题目中行列式对应位置的代数式代入运算规则，列出关于$x$的方程；最后对得到的方程进行去括号、合并同类项、移项整理，再结合一元二次方程的定义判断方程类型，并整理为一元二次方程的一般形式即可。
【解析】
根据二阶行列式的定义，可列等式：
$(x+1)·2x-(x+2)(x-2)=22$
先利用平方差公式计算$(x+2)(x-2)=x^2-4$，再去括号得：
$2x^2+2x-x^2+4=22$
移项、合并同类项后得：
$x^2+2x-18=0$
该方程只含一个未知数$x$，未知数的最高次数为2，且是整式方程，因此它是一元二次方程。
【答案】
是一元二次方程，它的一般形式是$\boldsymbol{x^2+2x-18=0}$
【知识点】
新定义运算，整式混合运算，一元二次方程的概念
【点评】
本题结合新定义考查基础运算和一元二次方程的相关知识，解题核心是正确理解新运算规则，准确代入化简，能有效考查学生对新知识的迁移应用能力和运算基本功，属于基础题型。
【难度系数】
0.75
13.【数学文化】我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽。每株脚钱三文足，无钱准与一株椽。”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文（文为古代货币单位）。如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（
A.$3(x-1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3x=6210$
A
）。A.$3(x-1)x=6210$
B.$3(x-1)=6210$
C.$(3x-1)x=6210$
D.$3x=6210$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要读懂题意，提取核心等量关系：①少拿1株椽的总运费=1株椽的单价；②总购椽费用=椽的总数量×单株椽的单价。首先根据已知运费的条件推导单株椽的价格，再结合总费用公式列出方程即可。具体思考步骤：第一步，已知设椽的总数量为x株，少拿1株后运输的数量为(x-1)株，每株运费3文，可求出这部分的总运费；第二步，由题意得该运费就是1株椽的单价；第三步，利用总费用=数量×单价的关系，代入对应量即可列出方程。
【解析】
设这批椽的数量为x株。
① 计算单株椽的价格：少拿1株椽后，需要运输的椽数量为(x-1)株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文，根据题意，该运费恰好等于1株椽的价格，即单株椽的价格为$3(x-1)$文。
② 根据“总购椽费用=椽的总数量×单株椽的价格”，已知总费用为6210文，代入得方程：
$x · 3(x-1) = 6210$，整理为$3(x-1)x=6210$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
实际问题列一元二次方程；总价、单价、数量关系
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查方程的实际应用，重点考查审题能力和等量关系的提取能力，解题的核心是准确理解“少拿一株椽的运费等于一株椽的价钱”这一关键条件，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
解题时首先要读懂题意，提取核心等量关系：①少拿1株椽的总运费=1株椽的单价；②总购椽费用=椽的总数量×单株椽的单价。首先根据已知运费的条件推导单株椽的价格，再结合总费用公式列出方程即可。具体思考步骤：第一步，已知设椽的总数量为x株，少拿1株后运输的数量为(x-1)株，每株运费3文，可求出这部分的总运费；第二步，由题意得该运费就是1株椽的单价；第三步，利用总费用=数量×单价的关系，代入对应量即可列出方程。
【解析】
设这批椽的数量为x株。
① 计算单株椽的价格：少拿1株椽后，需要运输的椽数量为(x-1)株，每株运费3文，总运费为$3(x-1)$文，根据题意，该运费恰好等于1株椽的价格，即单株椽的价格为$3(x-1)$文。
② 根据“总购椽费用=椽的总数量×单株椽的价格”，已知总费用为6210文，代入得方程：
$x · 3(x-1) = 6210$，整理为$3(x-1)x=6210$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
实际问题列一元二次方程；总价、单价、数量关系
【点评】
本题结合古代数学文化背景考查方程的实际应用，重点考查审题能力和等量关系的提取能力，解题的核心是准确理解“少拿一株椽的运费等于一株椽的价钱”这一关键条件，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
