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13.已知 m 是方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的一个实数根, 求 $m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4$ 的值。
答案
13. 解：$\because m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个实数根，
$\therefore m^2 - m - 1 = 0$，即$-m^2 + m = -1$。
$\therefore m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4 = -m^2 + m + 4 = 3$。
$\therefore m^2 - m - 1 = 0$，即$-m^2 + m = -1$。
$\therefore m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4 = -m^2 + m + 4 = 3$。
解析
【分析】
本题无需计算m的具体取值，可通过整体代入法简化运算。首先根据一元二次方程根的定义，得到关于m的等量关系；再将所求整式展开、合并同类项化简，最后将得到的m的关系式整体代入化简后的式子即可算出结果，能有效避免复杂的根式计算。
【解析】
解：$\because m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个实数根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 - m = 1$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4&=m(m^2+2m+1)-(m^3+3m^2)+4\\&=m^3+2m^2+m - m^3 - 3m^2 +4\\&=-m^2+m+4\\&=-(m^2 - m)+4\end{aligned}$
将$m^2 - m = 1$代入上式，得：
原式$=-1+4=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到含m的等量关系，通过整体代入的方法求解，规避了直接求方程根的复杂运算，是代数式求值类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
本题无需计算m的具体取值，可通过整体代入法简化运算。首先根据一元二次方程根的定义，得到关于m的等量关系；再将所求整式展开、合并同类项化简，最后将得到的m的关系式整体代入化简后的式子即可算出结果，能有效避免复杂的根式计算。
【解析】
解：$\because m$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个实数根，
$\therefore$ 将$x=m$代入方程得$m^2 - m - 1 = 0$，即$m^2 - m = 1$。
化简所求代数式：
$\begin{aligned}m(m + 1)^2 - m^2(m + 3) + 4&=m(m^2+2m+1)-(m^3+3m^2)+4\\&=m^3+2m^2+m - m^3 - 3m^2 +4\\&=-m^2+m+4\\&=-(m^2 - m)+4\end{aligned}$
将$m^2 - m = 1$代入上式，得：
原式$=-1+4=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
一元二次方程根的定义；整式化简求值；整体代入思想
【点评】
本题核心是利用方程根的性质得到含m的等量关系，通过整体代入的方法求解，规避了直接求方程根的复杂运算，是代数式求值类题的典型考法。
【难度系数】
0.7
14.要做一个容积为$750\ \mathrm{cm}^3$、高为$6\ \mathrm{cm}$、底面长比宽多5 cm的无盖长方体铁盒。
(1)若设长方体的底面宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方体的底面长为________，根据题意，可列方程为________。
(2)将(1)中的方程化为一般形式是________。
(3)$x$可能大于9.1吗？可能小于8.9吗？说说你的理由，并与同学们进行交流。
(4)你能求出长方体底面的宽吗？(结果精确到1 cm)
课堂延伸·提升素养
(1)若设长方体的底面宽为$x\ \mathrm{cm}$，则长方体的底面长为________，根据题意，可列方程为________。
(2)将(1)中的方程化为一般形式是________。
(3)$x$可能大于9.1吗？可能小于8.9吗？说说你的理由，并与同学们进行交流。
(4)你能求出长方体底面的宽吗？(结果精确到1 cm)
课堂延伸·提升素养
答案
14. 解：(1)$(x+5)\mathrm{cm}$，$6x(x+5)=750$
(2)$x^2 + 5x - 125 = 0$
(3)$x$不可能大于9.1，也不可能小于8.9。
理由：$\because 9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，
$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，
$\therefore 8.9＜x＜9.1$。
(4)由(3)可知$8.9＜x＜9.1$。
$\therefore$长方体底面的宽约为9 cm。
(2)$x^2 + 5x - 125 = 0$
(3)$x$不可能大于9.1，也不可能小于8.9。
理由：$\because 9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，
$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，
$\therefore 8.9＜x＜9.1$。
(4)由(3)可知$8.9＜x＜9.1$。
$\therefore$长方体底面的宽约为9 cm。
解析
【分析】
本题围绕长方体容积公式与一元二次方程相关知识逐步求解：
1. 第(1)问：已知底面宽为x cm，长比宽多5 cm，可直接写出长的代数式；再根据“长方体容积=长×宽×高”，结合容积为750cm³的条件列方程即可。
2. 第(2)问：将(1)得到的方程通过系数化简、去括号、移项等操作，整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
3. 第(3)问：要判断x的取值范围，可将9.1和8.9分别代入(2)得到的二次三项式计算结果的符号，结合二次项系数为正的特点，即可确定方程正根的取值区间。
4. 第(4)问：根据第(3)问得到的x的范围，按照精确到1cm的要求取近似值即可。
【解析】
(1) 因为底面长比宽多5 cm，宽为x cm，所以底面长为$(x+5)\mathrm{cm}$；
根据长方体容积公式，结合已知高为6 cm、容积为$750\ \mathrm{cm}^3$的条件，列方程得：$6x(x+5)=750$。
(2) 化简方程$6x(x+5)=750$：
两边同时除以6得$x(x+5)=125$，
去括号得$x^2+5x=125$，
移项得一般形式：$x^2 + 5x - 125 = 0$。
(3) x不可能大于9.1，也不可能小于8.9，理由如下：
把$x=9.1$代入$x^2+5x-125$得：$9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，
把$x=8.9$代入$x^2+5x-125$得：$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，
由于二次项系数为正，因此方程$x^2 + 5x - 125 = 0$的正根满足$8.9＜x＜9.1$，即x不可能大于9.1，也不可能小于8.9。
(4) 由(3)可知$8.9＜x＜9.1$，精确到1 cm时，$x≈9$，即长方体底面的宽约为9 cm。
【答案】
(1) $(x+5)\mathrm{cm}$，$6x(x+5)=750$
(2) $x^2 + 5x - 125 = 0$
(3) $x$不可能大于9.1，也不可能小于8.9，理由：$\because 9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，$\therefore 8.9＜x＜9.1$。
(4) 长方体底面的宽约为9 cm。
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的一般形式；估算一元二次方程的解
【点评】
本题结合长方体容积的实际场景，考查了一元二次方程的列写、化简以及近似解的估算方法，解题时需要熟练掌握长方体体积公式，理解通过代入数值判断方程解范围的逻辑，侧重代数知识与实际几何问题的结合应用。
【难度系数】
0.7
本题围绕长方体容积公式与一元二次方程相关知识逐步求解：
1. 第(1)问：已知底面宽为x cm，长比宽多5 cm，可直接写出长的代数式；再根据“长方体容积=长×宽×高”，结合容积为750cm³的条件列方程即可。
2. 第(2)问：将(1)得到的方程通过系数化简、去括号、移项等操作，整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一元二次方程一般形式即可。
3. 第(3)问：要判断x的取值范围，可将9.1和8.9分别代入(2)得到的二次三项式计算结果的符号，结合二次项系数为正的特点，即可确定方程正根的取值区间。
4. 第(4)问：根据第(3)问得到的x的范围，按照精确到1cm的要求取近似值即可。
【解析】
(1) 因为底面长比宽多5 cm，宽为x cm，所以底面长为$(x+5)\mathrm{cm}$；
根据长方体容积公式，结合已知高为6 cm、容积为$750\ \mathrm{cm}^3$的条件，列方程得：$6x(x+5)=750$。
(2) 化简方程$6x(x+5)=750$：
两边同时除以6得$x(x+5)=125$，
去括号得$x^2+5x=125$，
移项得一般形式：$x^2 + 5x - 125 = 0$。
(3) x不可能大于9.1，也不可能小于8.9，理由如下：
把$x=9.1$代入$x^2+5x-125$得：$9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，
把$x=8.9$代入$x^2+5x-125$得：$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，
由于二次项系数为正，因此方程$x^2 + 5x - 125 = 0$的正根满足$8.9＜x＜9.1$，即x不可能大于9.1，也不可能小于8.9。
(4) 由(3)可知$8.9＜x＜9.1$，精确到1 cm时，$x≈9$，即长方体底面的宽约为9 cm。
【答案】
(1) $(x+5)\mathrm{cm}$，$6x(x+5)=750$
(2) $x^2 + 5x - 125 = 0$
(3) $x$不可能大于9.1，也不可能小于8.9，理由：$\because 9.1^2 + 5×9.1 - 125 = 3.31＞0$，$8.9^2 + 5×8.9 - 125 = -1.29＜0$，$\therefore 8.9＜x＜9.1$。
(4) 长方体底面的宽约为9 cm。
【知识点】
列一元二次方程解应用题；一元二次方程的一般形式；估算一元二次方程的解
【点评】
本题结合长方体容积的实际场景，考查了一元二次方程的列写、化简以及近似解的估算方法，解题时需要熟练掌握长方体体积公式，理解通过代入数值判断方程解范围的逻辑，侧重代数知识与实际几何问题的结合应用。
【难度系数】
0.7
15.定义:如果关于$x$的方程$a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$（$a_1≠0,a_1,b_1,c_1$是常数）与$a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$（$a_2≠0,a_2,b_2,c_2$是常数），其中方程中的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足$a_1 + a_2 = 0, b_1 = b_2, c_1 + c_2 = 0$，那么这两个方程互为“对称方程”。比如:求方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$的“对称方程”。这样思考:由方程$2x^2 - 3x + 1 = 0$可知，$a_1=2,b_1=-3,c_1=1$，根据$a_1 + a_2 = 0, b_1 = b_2, c_1 + c_2 = 0$，求出$a_2,b_2,c_2$，就能确定这个方程的“对称方程”。
请用以上方法解决下面的问题:
(1)写出方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的“对称方程”:
(2)若关于$x$的方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x = 1$互为“对称方程”，求$(m + n)^2$的值。
请用以上方法解决下面的问题:
(1)写出方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的“对称方程”:
$-x^2-4x-3=0$
;(2)若关于$x$的方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x = 1$互为“对称方程”，求$(m + n)^2$的值。
答案
15. 解：(1)$-x^2 - 4x - 3 = 0$
(2)将$-5x^2 - x = 1$移项，
得$-5x^2 - x - 1 = 0$。
$\because$方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
$\therefore m - 1 = -1,-n + (-1) = 0$。
解得$m=0,n=-1$。
$\therefore (m + n)^2 = (0 - 1)^2 = 1$。
(2)将$-5x^2 - x = 1$移项，
得$-5x^2 - x - 1 = 0$。
$\because$方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与$-5x^2 - x - 1 = 0$互为“对称方程”，
$\therefore m - 1 = -1,-n + (-1) = 0$。
解得$m=0,n=-1$。
$\therefore (m + n)^2 = (0 - 1)^2 = 1$。
解析
【分析】
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对称方程”的定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 求解第一问时，先找出原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据“对称方程”的系数关系求出对应系数，即可写出对称方程；
(2) 求解第二问时，首先需要将不是一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，
根据“对称方程”的定义可得：
$a_2 = -a_1 = -1$，$b_2 = b_1 = -4$，$c_2 = -c_1 = -3$，
因此对称方程为$-x^2 - 4x - 3 = 0$。
(2) 先将方程$-5x^2 - x = 1$移项整理为一般形式：$-5x^2 - x - 1 = 0$，
已知方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与它互为“对称方程”，
根据定义得：
一次项系数相等：$m - 1 = -1$，
常数项之和为0：$-n + (-1) = 0$，
分别解得：$m=0$，$n=-1$，
代入$(m + n)^2$得：$(0 - 1)^2 = 1$。
【答案】
(1) $-x^2 - 4x - 3 = 0$；(2) $1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 新定义问题
3. 代数式求值
【点评】
本题属于新定义基础题，主要考查对新定义的理解应用能力，解题的关键是抓住“对称方程”三个系数的对应关系，注意参与比较的方程需先化为一元二次方程的一般形式再对应系数，避免因未整理方程导致系数对应错误。
【难度系数】
0.8
本题是新定义类题型，解题核心是准确理解“对称方程”的定义：两个一元二次方程的二次项系数互为相反数、一次项系数相等、常数项互为相反数。
(1) 求解第一问时，先找出原方程的二次项系数、一次项系数、常数项，再根据“对称方程”的系数关系求出对应系数，即可写出对称方程；
(2) 求解第二问时，首先需要将不是一般形式的一元二次方程整理为$ax^2+bx+c=0$的标准形式，再根据“对称方程”的系数关系列等式求出$m$、$n$的值，最后代入代数式计算即可。
【解析】
(1) 方程$x^2 - 4x + 3 = 0$中，$a_1=1$，$b_1=-4$，$c_1=3$，
根据“对称方程”的定义可得：
$a_2 = -a_1 = -1$，$b_2 = b_1 = -4$，$c_2 = -c_1 = -3$，
因此对称方程为$-x^2 - 4x - 3 = 0$。
(2) 先将方程$-5x^2 - x = 1$移项整理为一般形式：$-5x^2 - x - 1 = 0$，
已知方程$5x^2 + (m - 1)x - n = 0$与它互为“对称方程”，
根据定义得：
一次项系数相等：$m - 1 = -1$，
常数项之和为0：$-n + (-1) = 0$，
分别解得：$m=0$，$n=-1$，
代入$(m + n)^2$得：$(0 - 1)^2 = 1$。
【答案】
(1) $-x^2 - 4x - 3 = 0$；(2) $1$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 新定义问题
3. 代数式求值
【点评】
本题属于新定义基础题，主要考查对新定义的理解应用能力，解题的关键是抓住“对称方程”三个系数的对应关系，注意参与比较的方程需先化为一元二次方程的一般形式再对应系数，避免因未整理方程导致系数对应错误。
【难度系数】
0.8
