一、选择题
1. 下列方程中，属于关于$x$的一元二次方程的是()

A.$x^2 + \frac{1}{x} = 3$
B.$2x^2 -5x +1=0$
C.$x^2 -2xy + y^2=0$
D.$x^2 -4=(x-2)^2$

B

【分析】
判断关于x的一元二次方程，需紧扣三个核心判定条件：1. 是整式方程；2. 只含有一个未知数x；3. 未知数x的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时逐一对照条件排查每个选项即可。
【解析】
根据一元二次方程的定义，逐个分析选项：
选项A：方程$x^2 + \frac{1}{x} = 3$的分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程要求，排除；
选项B：方程$2x^2 -5x +1=0$只含未知数x，x的最高次数为2，是整式方程，完全符合一元二次方程的定义；
选项C：方程$x^2 -2xy + y^2=0$含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
选项D：先将右边展开整理，$(x-2)^2=x^2-4x+4$，移项消去$x^2$后得$4x-8=0$，未知数最高次数为1，是一元一次方程，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义、整式方程的判定、方程的化简
【点评】
本题是一元二次方程相关的基础题型，重点考查对一元二次方程定义的掌握，解题时需注意不能仅看方程表面形式，要先将方程整理为最简形式后再判断，同时需区分整式方程与分式方程、一元方程与多元方程。
【难度系数】
0.85

2.菱形和矩形都具有的性质是()

A.四条边相等
B.四个角相等
C.对角线互相垂直
D.对角线互相平分

D

【分析】
要解决这道题，我们可以先分别回忆菱形、矩形的性质，再逐一比对每个选项，筛选出两种图形共有的性质。也可以利用“菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具备平行四边形的所有通用性质”这个结论快速判断，再结合特殊性质排除错误选项。
【解析】
首先我们分别明确菱形和矩形的性质：
1. 矩形的性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；
2. 菱形的性质：对边平行，四条边都相等，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
A选项：四条边相等是菱形独有的性质，矩形仅对边相等，故A错误；
B选项：四个角相等是矩形独有的性质（四个角都是直角），菱形仅对角相等，故B错误；
C选项：对角线互相垂直是菱形独有的性质，矩形对角线仅相等、平分，无特殊说明时不考虑正方形这类特殊重合情况，故C错误；
D选项：对角线互相平分是平行四边形的通用性质，菱形和矩形都是特殊的平行四边形，都具备该性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质；矩形的性质；平行四边形的性质
【点评】
本题是基础性质辨析题，解题的关键是熟练掌握特殊平行四边形的共性和独有性质，也可通过记住“特殊平行四边形都具备平行四边形的通用性质”快速锁定答案，避免混淆各图形的特殊性质。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$△ ABC$中,$DE // BC$。如果$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$,那么$\frac{AE}{CE}$的值为()


A.$3$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$\frac{5}{3}$

C

【分析】
看到题干中$DE// BC$的条件，首先联想到平行线分线段成比例定理，可得$△ ADE$和$△ ABC$的对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。已知$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，可通过设份数的方式，将$AE$设为3份，$AC$设为5份，再由$CE=AC-AE$算出$CE$的份数，最终求出$\frac{AE}{CE}$的比值。
【解析】
解：$\because DE // BC$，
$\therefore$根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{3}{5}$。
设$AE=3k$（$k≠0$），则$AC=5k$，
$\therefore CE=AC-AE=5k-3k=2k$，
$\therefore \frac{AE}{CE}=\frac{3k}{2k}=\frac{3}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；比例运算
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时只要找准对应线段的比例关系，通过设参数或者比例变形即可快速求解，整体计算量小，思路清晰。
【难度系数】
0.8

4.如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心。若OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长比是( )

A.1:2
B.1:4
C.1:3
D.1:9

A

【分析】
要解决这道题，首先回忆位似图形的性质：位似图形是特殊的相似图形，相似比等于对应顶点到位似中心的距离之比；同时相似三角形的周长比等于相似比。首先找到对应点B、E到位似中心O的距离的比值，即可得到两个三角形的相似比，进一步推出周长比。
【解析】
解：
∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心
∴△ABC∽△DEF，且两个三角形的相似比等于对应点到位似中心的距离之比，即相似比=OB:OE
已知OE=2OB，可得OB:OE=1:2，即△ABC与△DEF的相似比为1:2
又
∵相似三角形的周长比等于相似比
∴△ABC与△DEF的周长比为1:2
【答案】
A
【知识点】
1.位似的性质 2.相似三角形的性质
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是掌握位似和相似的关联，要注意区分相似三角形的周长比、面积比与相似比的对应关系，避免混淆二者的规律。
【难度系数】
0.8

5.某电影上映第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天累计票房收入达10亿元。设平均每天票房的增长率为$x$，则可列方程为()

A.$3(1+x)=10$
B.$3(1+x)^2=10$
C.$3+3(1+x)^2=10$
D.$3+3(1+x)+3(1+x)^2=10$

D

【分析】
解题核心是先根据增长率公式算出每天的票房，再结合“三天累计票房10亿元”的等量关系列方程。第一步回忆增长率公式：增长后的量=增长前的量×(1+增长率)；第二步分别计算三天的单日票房；第三步将三天票房相加等于累计总票房，匹配对应选项即可。
【解析】
设平均每天票房的增长率为$x$：
1. 第一天票房已知为3亿元；
2. 第二天票房是在第一天基础上增长$x$，可得$3(1+x)$亿元；
3. 第三天票房是在第二天基础上再增长$x$，可得$3(1+x)·(1+x)=3(1+x)^2$亿元；
4. 三天累计票房为10亿元，即三天票房之和等于10亿元，因此列方程为：
$3 + 3(1+x) + 3(1+x)^2 = 10$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题属于增长率基础应用题，易错点是忽略“累计票房”的表述，误将其当成第三天单日票房错选B，解题时要注意审题，明确题干要求的是总量还是单日数值。
【难度系数】
0.7

6. 提升题 如图,在矩形$ABCD$中,$BC=2$,$AE ⊥ BD$,垂足为$E$。若$∠ BAE=30°$,则$△ ECD$的面积是()


A.$2\sqrt{3}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

C

【分析】
解题时先利用矩形的性质得到AD的长度和直角∠BAD，结合AE⊥BD、∠BAE=30°推导∠ABD的度数，再利用含30°角的直角三角形的性质求出AB、BD、BE的长度，进而得到ED的长度；接着通过全等三角形求出点C到BD的距离（即△ECD边ED上的高），最后用三角形面积公式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=2，∠BAD=90°，AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF。
∵AE⊥BD，∠BAE=30°，
∴∠AEB=90°，∠ABE=90°-30°=60°，
∴∠ADB=90°-∠ABE=30°。
在Rt△ABD中，∠ADB=30°，AD=2，
∴AB=AD·tan30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BD=2AB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$。
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴ED=BD-BE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$。
过点C作CF⊥BD于点F，
在△ABE和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠AEB=∠CFD=90°\\∠ABE=∠CDF\\AB=CD\end{array} $
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴CF=AE。
在Rt△ABE中，AE=AB·cos30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
∴CF=1。
∴△ECD的面积$S=\frac{1}{2}×ED×CF=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是几何综合基础题，将矩形性质、特殊直角三角形的性质和全等三角形的判定结合考查，解题的关键是找准角度关系求出对应线段的长度，再结合面积公式求解，对学生的逻辑推理和计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

二、填空题
7.已知关于$x$的一元二次方程$2x^2 + 3x + m - 4 = 0$有一个根是0，则$m$的值为。

解：把$x=0$代入一元二次方程$2x^2 + 3x + m - 4 = 0$，得
$2×0^2 + 3×0 + m - 4 = 0$
化简得$m - 4 = 0$
解得$m=4$

【分析】
本题考查利用一元二次方程的根求未知参数，解题核心是理解方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=0是方程的根，将x=0代入原方程，就能得到只含有m的一元一次方程，求解该方程即可得到m的值。
【解析】
把$x=0$代入一元二次方程$2x^2 + 3x + m - 4 = 0$，得
$2×0^2 + 3×0 + m - 4 = 0$
化简得$m - 4 = 0$
解得$m=4$
【答案】
4
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考点是方程的根满足原方程，代入后直接计算即可，计算量小，掌握基础概念就能顺利解答。
【难度系数】
0.9

8.已知线段AB的长为4 cm，点P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，则线段PB的长为cm。

$\boldsymbol{6-2\sqrt{5}}$

【分析】首先回忆黄金分割的定义：若一个点把一条线段分成两条线段，使得较长线段与整条线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，则这个点叫做该线段的黄金分割点。本题已知PA＞PB，因此PA是较长线段，我们可以先根据黄金分割的比例求出PA的长度，再用AB的总长度减去PA的长度，即可得到PB的长度。
【解析】已知线段AB长为4 cm，点P是AB的黄金分割点，且PA＞PB，根据黄金分割的性质可得：
$\frac{PA}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
将AB=4 cm代入上式，计算得：
$PA=4×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2\sqrt{5}-2$（cm）
再根据线段差的关系计算PB的长度：
$PB=AB-PA=4-(2\sqrt{5}-2)=6-2\sqrt{5}$（cm）
【答案】$6-2\sqrt{5}$
【知识点】黄金分割的概念；线段和差计算
【点评】本题是黄金分割的基础应用题，解题核心是准确掌握黄金分割的比例关系，同时结合题干给出的线段长短关系确定较长线段，避免因混淆长短段代入比值出错。
【难度系数】0.7