登录
5. (1) 试将8个面积为1的小正方形通过裁剪拼成一个面积为8的大正方形，并画出示意图；
(2) 利用(1)中所拼成的大正方形的边长，在数轴上标出$\sqrt{8}$所对应的点的大致位置。
拓展与思考
(2) 利用(1)中所拼成的大正方形的边长，在数轴上标出$\sqrt{8}$所对应的点的大致位置。
拓展与思考
答案
(1) 答案不唯一，例如，将8个面积为1的小正方形沿一条对角线剪开，如图(1)所示，得16个如图(2)所示的小三角形，将这些小三角形拼成一个面积为8的大正方形ABCD，如图(3)所示。
(2) 如图，在数轴的正半轴上截取$OE=AB$，则点E即为$\sqrt{8}$所对应的点的大致位置。
解析
【分析】
(1) 首先明确8个面积为1的小正方形总面积为8，因此要拼成的大正方形面积为8，可得大正方形边长为$\sqrt{8}$。单个面积为1的小正方形边长为1，根据勾股定理，它的对角线长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，刚好是2倍的小正方形对角线长度，因此可以将小正方形沿对角线裁剪为等腰直角三角形，再用裁剪得到的三角形拼接大正方形。
(2) 第一问拼成的大正方形边长就是$\sqrt{8}$，要在数轴上标注$\sqrt{8}$的位置，只需将大正方形的边长作为线段长度，以数轴原点为起点，在正方向上截取等长的线段，线段终点就是$\sqrt{8}$对应的点。
【解析】
(1) ①计算拼后大正方形的面积：$S=8×1=8$，因此大正方形边长$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
②单个小正方形边长为1，沿对角线剪开后得到2个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，8个小正方形共裁剪得到16个这样的等腰直角三角形。
③将16个等腰直角三角形的直角向内拼接，使得大正方形的边长由2个小三角形的斜边组成，即边长为$2\sqrt{2}$，最终得到面积为8的大正方形。
(2) ①量取(1)中得到的大正方形的边长AB的长度。
②以数轴原点O为圆心，AB长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为点E，点E表示的数就是$\sqrt{8}$，$\sqrt{8}\approx2.828$，因此位置在2和3之间，靠近3的位置。
【答案】
(1) 答案不唯一，例如，将8个面积为1的小正方形沿一条对角线剪开，如图(1)所示，得16个如图(2)所示的小三角形，将这些小三角形拼成一个面积为8的大正方形ABCD，如图(3)所示。
(2) 如图，在数轴的正半轴上截取$OE=AB$，则点E即为$\sqrt{8}$所对应的点的大致位置。
【知识点】
图形的剪拼、正方形的性质、无理数的数轴表示
【点评】
本题将图形操作与代数知识结合，既考查了勾股定理、正方形面积与边长的关系等基础知识，又考查了动手操作能力和数形结合思想，能够帮助学生理解无理数的几何意义，兼具趣味性和实践性。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确8个面积为1的小正方形总面积为8，因此要拼成的大正方形面积为8，可得大正方形边长为$\sqrt{8}$。单个面积为1的小正方形边长为1，根据勾股定理，它的对角线长为$\sqrt{2}$，$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，刚好是2倍的小正方形对角线长度，因此可以将小正方形沿对角线裁剪为等腰直角三角形，再用裁剪得到的三角形拼接大正方形。
(2) 第一问拼成的大正方形边长就是$\sqrt{8}$，要在数轴上标注$\sqrt{8}$的位置，只需将大正方形的边长作为线段长度，以数轴原点为起点，在正方向上截取等长的线段，线段终点就是$\sqrt{8}$对应的点。
【解析】
(1) ①计算拼后大正方形的面积：$S=8×1=8$，因此大正方形边长$a=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
②单个小正方形边长为1，沿对角线剪开后得到2个直角边为1的等腰直角三角形，其斜边长为$\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，8个小正方形共裁剪得到16个这样的等腰直角三角形。
③将16个等腰直角三角形的直角向内拼接，使得大正方形的边长由2个小三角形的斜边组成，即边长为$2\sqrt{2}$，最终得到面积为8的大正方形。
(2) ①量取(1)中得到的大正方形的边长AB的长度。
②以数轴原点O为圆心，AB长为半径画弧，弧与数轴正半轴的交点即为点E，点E表示的数就是$\sqrt{8}$，$\sqrt{8}\approx2.828$，因此位置在2和3之间，靠近3的位置。
【答案】
(1) 答案不唯一，例如，将8个面积为1的小正方形沿一条对角线剪开，如图(1)所示，得16个如图(2)所示的小三角形，将这些小三角形拼成一个面积为8的大正方形ABCD，如图(3)所示。
(2) 如图，在数轴的正半轴上截取$OE=AB$，则点E即为$\sqrt{8}$所对应的点的大致位置。
【知识点】
图形的剪拼、正方形的性质、无理数的数轴表示
【点评】
本题将图形操作与代数知识结合，既考查了勾股定理、正方形面积与边长的关系等基础知识，又考查了动手操作能力和数形结合思想，能够帮助学生理解无理数的几何意义，兼具趣味性和实践性。
【难度系数】
0.7
(1) $\sqrt{5}$的相反数是
$-\sqrt{5}$
，绝对值是$\sqrt{5}$
；答案
(1) $-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$。
解析
【分析】
解题时先回忆相反数和绝对值的相关定义：①相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在这个数前添加负号即可；②绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。首先判断$\sqrt{5}$是正数，再分别依据两个定义求解即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，在$\sqrt{5}$前添加负号，可得$\sqrt{5}$的相反数是$-\sqrt{5}$。
2. 求$\sqrt{5}$的绝对值：
因为$\sqrt{5}＞0$，属于正数，根据正数的绝对值是它本身的性质，可得$\sqrt{5}$的绝对值是$\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对实数相关基本性质的掌握，牢记相反数和绝对值的定义及运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆相反数和绝对值的相关定义：①相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在这个数前添加负号即可；②绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。首先判断$\sqrt{5}$是正数，再分别依据两个定义求解即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{5}$的相反数：
根据相反数的定义，在$\sqrt{5}$前添加负号，可得$\sqrt{5}$的相反数是$-\sqrt{5}$。
2. 求$\sqrt{5}$的绝对值：
因为$\sqrt{5}＞0$，属于正数，根据正数的绝对值是它本身的性质，可得$\sqrt{5}$的绝对值是$\sqrt{5}$。
【答案】
$-\sqrt{5}$；$\sqrt{5}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对实数相关基本性质的掌握，牢记相反数和绝对值的定义及运算规则即可快速得分。
【难度系数】
0.9
(2) $\sqrt[3]{-17}$的相反数是
$\sqrt[3]{17}$
，绝对值是$\sqrt[3]{17}$
；答案
(2) $\sqrt[3]{17}$；$\sqrt[3]{17}$。
解析
【分析】
解题时需结合相反数、绝对值的定义，以及立方根的运算性质分步求解：①先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在该数前添加负号再化简；②再回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，先判断$\sqrt[3]{-17}$的正负性，再根据性质求绝对值；③化简过程中用到立方根的性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，据此对结果化简即可。
【解析】
1. 求$\sqrt[3]{-17}$的相反数：
根据相反数的定义，$\sqrt[3]{-17}$的相反数为$-\sqrt[3]{-17}$，
由立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，可得$\sqrt[3]{-17}=-\sqrt[3]{17}$，
因此$-\sqrt[3]{-17}=-(-\sqrt[3]{17})=\sqrt[3]{17}$。
2. 求$\sqrt[3]{-17}$的绝对值：
由$\sqrt[3]{-17}=-\sqrt[3]{17}＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，
可得$\left|\sqrt[3]{-17}\right|=\left|-\sqrt[3]{17}\right|=\sqrt[3]{17}$。
【答案】
$\sqrt[3]{17}$；$\sqrt[3]{17}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；立方根的性质
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相反数、绝对值、立方根相关性质的掌握，只要熟练识记对应概念和运算规则就能顺利解答，不易出错。
【难度系数】
0.9
解题时需结合相反数、绝对值的定义，以及立方根的运算性质分步求解：①先回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需在该数前添加负号再化简；②再回忆绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，先判断$\sqrt[3]{-17}$的正负性，再根据性质求绝对值；③化简过程中用到立方根的性质：$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，据此对结果化简即可。
【解析】
1. 求$\sqrt[3]{-17}$的相反数：
根据相反数的定义，$\sqrt[3]{-17}$的相反数为$-\sqrt[3]{-17}$，
由立方根的性质$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$，可得$\sqrt[3]{-17}=-\sqrt[3]{17}$，
因此$-\sqrt[3]{-17}=-(-\sqrt[3]{17})=\sqrt[3]{17}$。
2. 求$\sqrt[3]{-17}$的绝对值：
由$\sqrt[3]{-17}=-\sqrt[3]{17}＜0$，根据负数的绝对值是它的相反数，
可得$\left|\sqrt[3]{-17}\right|=\left|-\sqrt[3]{17}\right|=\sqrt[3]{17}$。
【答案】
$\sqrt[3]{17}$；$\sqrt[3]{17}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；立方根的性质
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对相反数、绝对值、立方根相关性质的掌握，只要熟练识记对应概念和运算规则就能顺利解答，不易出错。
【难度系数】
0.9
(3) $\sqrt{3} - \sqrt{2}$的相反数是
$\sqrt{2}-\sqrt{3}$
，绝对值是$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
；答案
(3) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题思路分两步：第一步求相反数，依据相反数的定义，一个数的相反数等于在该数整体前添加负号，再化简即可；第二步求绝对值，首先根据算术平方根的性质比较$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的大小，判断$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的正负性，再结合“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”的规则计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的相反数为：
$-(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
2. 求$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的绝对值：
因为被开方数越大，对应的算术平方根越大，$3＞2$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，可得$\sqrt{3} - \sqrt{2}＞0$。
根据正数的绝对值是它本身，因此$\left|\sqrt{3} - \sqrt{2}\right| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；无理数大小比较
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对相反数和绝对值相关性质的运用，解题的核心是先准确判断代数式的正负，再代入性质计算，注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
解题思路分两步：第一步求相反数，依据相反数的定义，一个数的相反数等于在该数整体前添加负号，再化简即可；第二步求绝对值，首先根据算术平方根的性质比较$\sqrt{3}$和$\sqrt{2}$的大小，判断$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的正负性，再结合“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”的规则计算即可。
【解析】
1. 求$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的相反数：
根据相反数的定义，$a$的相反数为$-a$，因此$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的相反数为：
$-(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3}$
2. 求$\sqrt{3} - \sqrt{2}$的绝对值：
因为被开方数越大，对应的算术平方根越大，$3＞2$，所以$\sqrt{3}＞\sqrt{2}$，可得$\sqrt{3} - \sqrt{2}＞0$。
根据正数的绝对值是它本身，因此$\left|\sqrt{3} - \sqrt{2}\right| = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}-\sqrt{3}$；$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
【知识点】
相反数的定义；绝对值的性质；无理数大小比较
【点评】
本题属于基础概念类题型，重点考查对相反数和绝对值相关性质的运用，解题的核心是先准确判断代数式的正负，再代入性质计算，注意去括号时的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.9
(4) 如果一个数的绝对值是$\sqrt{11}$，那么这个数是
$\pm\sqrt{11}$
。答案
(4) $\pm\sqrt{11}$。
解析
【分析】
解题时首先设这个数为x，根据题意可列等式|x|=√11。接下来结合绝对值的性质思考：绝对值的几何意义是数轴上该数对应的点到原点的距离，距离为√11的点在原点两侧各有1个，对应数分别为正数和负数；再结合代数性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可分两种情况求出x的取值，注意不要遗漏负数解。
【解析】
设这个数为$ x $，由题意得：
$\left|x\right|=\sqrt{11}$
根据绝对值的性质分类讨论：
1. 当$ x≥0 $时，$ x=\sqrt{11} $；
2. 当$ x＜0 $时，$ -x=\sqrt{11} $，解得$ x=-\sqrt{11} $。
因此这个数为$ \pm\sqrt{11} $。
【答案】
$\pm\sqrt{11}$
【知识点】
绝对值的性质、相反数的概念
【点评】
本题是基础题型，重点考查绝对值的相关性质，解题关键是明确绝对值为正数的数有两个，二者互为相反数，避免出现只写正数的漏解情况。
【难度系数】
0.85
解题时首先设这个数为x，根据题意可列等式|x|=√11。接下来结合绝对值的性质思考：绝对值的几何意义是数轴上该数对应的点到原点的距离，距离为√11的点在原点两侧各有1个，对应数分别为正数和负数；再结合代数性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，即可分两种情况求出x的取值，注意不要遗漏负数解。
【解析】
设这个数为$ x $，由题意得：
$\left|x\right|=\sqrt{11}$
根据绝对值的性质分类讨论：
1. 当$ x≥0 $时，$ x=\sqrt{11} $；
2. 当$ x＜0 $时，$ -x=\sqrt{11} $，解得$ x=-\sqrt{11} $。
因此这个数为$ \pm\sqrt{11} $。
【答案】
$\pm\sqrt{11}$
【知识点】
绝对值的性质、相反数的概念
【点评】
本题是基础题型，重点考查绝对值的相关性质，解题关键是明确绝对值为正数的数有两个，二者互为相反数，避免出现只写正数的漏解情况。
【难度系数】
0.85
2. 不用计算器，比较下列各组数的大小：
(1) $\sqrt{5}$与2；
(2) $-\sqrt{18}$与$-\sqrt{19}$；
(3) $-4$与$-\sqrt{17}$；
(4) $\sqrt[3]{25}$与3。
(1) $\sqrt{5}$与2；
(2) $-\sqrt{18}$与$-\sqrt{19}$；
(3) $-4$与$-\sqrt{17}$；
(4) $\sqrt[3]{25}$与3。
答案
(1) $\sqrt{5}＞2$。(2) $-\sqrt{18}＞-\sqrt{19}$。(3) $-4＞-\sqrt{17}$。(4) $\sqrt[3]{25}＜3$。
解析
【分析】
比较带根号的实数大小，可采用两类常用方法：①正数比较时，将数转化为同次根式形式，被开方数越大，对应根式值越大；也可对两数同次乘方（二次根式平方、三次根式立方），乘方结果大的原数更大。②负数比较时，先比较两数的绝对值，绝对值大的原数反而更小。
逐题思路如下：
(1) 两个数都是正数，把2改写为$\sqrt{4}$，直接比较被开方数5和4的大小即可；
(2) 两个数都是负的二次根式，先比较绝对值$\sqrt{18}$和$\sqrt{19}$的大小，再结合负数比较规则判断；
(3) 先把-4改写为$-\sqrt{16}$，再对比两个负数的绝对值$\sqrt{16}$和$\sqrt{17}$的大小，按负数比较规则判断；
(4) 两个数都是正数，把3改写为$\sqrt[3]{27}$，比较三次根号下被开方数25和27的大小即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $2=\sqrt{4}$，且 $5＞4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，即 $\sqrt{5}＞2$。
(2) 解：先求两数的绝对值：$|-\sqrt{18}|=\sqrt{18}$，$|-\sqrt{19}|=\sqrt{19}$，
∵ $18＜19$，
∴ $\sqrt{18}＜\sqrt{19}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得 $-\sqrt{18}＞-\sqrt{19}$。
(3) 解：
∵ $-4=-\sqrt{16}$，两数的绝对值分别为 $|-4|=\sqrt{16}$，$|-\sqrt{17}|=\sqrt{17}$，
∵ $16＜17$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}$，
根据两个负数比较大小的规则，可得 $-4＞-\sqrt{17}$。
(4) 解：
∵ $3=\sqrt[3]{27}$，且 $25＜27$，根据立方根的性质，被开方数越大，立方根越大，
∴ $\sqrt[3]{25}＜\sqrt[3]{27}$，即 $\sqrt[3]{25}＜3$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}＞2$。(2) $-\sqrt{18}＞-\sqrt{19}$。(3) $-4＞-\sqrt{17}$。(4) $\sqrt[3]{25}＜3$。
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的关键是掌握将有理数转化为对应次数根式的技巧，同时注意负数比较大小时不要混淆大小关系，熟练掌握根式的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
比较带根号的实数大小，可采用两类常用方法：①正数比较时，将数转化为同次根式形式，被开方数越大，对应根式值越大；也可对两数同次乘方（二次根式平方、三次根式立方），乘方结果大的原数更大。②负数比较时，先比较两数的绝对值，绝对值大的原数反而更小。
逐题思路如下：
(1) 两个数都是正数，把2改写为$\sqrt{4}$，直接比较被开方数5和4的大小即可；
(2) 两个数都是负的二次根式，先比较绝对值$\sqrt{18}$和$\sqrt{19}$的大小，再结合负数比较规则判断；
(3) 先把-4改写为$-\sqrt{16}$，再对比两个负数的绝对值$\sqrt{16}$和$\sqrt{17}$的大小，按负数比较规则判断；
(4) 两个数都是正数，把3改写为$\sqrt[3]{27}$，比较三次根号下被开方数25和27的大小即可。
【解析】
(1) 解：
∵ $2=\sqrt{4}$，且 $5＞4$，根据算术平方根的性质，被开方数越大，算术平方根越大，
∴ $\sqrt{5}＞\sqrt{4}$，即 $\sqrt{5}＞2$。
(2) 解：先求两数的绝对值：$|-\sqrt{18}|=\sqrt{18}$，$|-\sqrt{19}|=\sqrt{19}$，
∵ $18＜19$，
∴ $\sqrt{18}＜\sqrt{19}$，
根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得 $-\sqrt{18}＞-\sqrt{19}$。
(3) 解：
∵ $-4=-\sqrt{16}$，两数的绝对值分别为 $|-4|=\sqrt{16}$，$|-\sqrt{17}|=\sqrt{17}$，
∵ $16＜17$，
∴ $\sqrt{16}＜\sqrt{17}$，
根据两个负数比较大小的规则，可得 $-4＞-\sqrt{17}$。
(4) 解：
∵ $3=\sqrt[3]{27}$，且 $25＜27$，根据立方根的性质，被开方数越大，立方根越大，
∴ $\sqrt[3]{25}＜\sqrt[3]{27}$，即 $\sqrt[3]{25}＜3$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}＞2$。(2) $-\sqrt{18}＞-\sqrt{19}$。(3) $-4＞-\sqrt{17}$。(4) $\sqrt[3]{25}＜3$。
【知识点】
实数大小比较；算术平方根的性质；立方根的性质
【点评】
本题是实数大小比较的基础题型，解题的关键是掌握将有理数转化为对应次数根式的技巧，同时注意负数比较大小时不要混淆大小关系，熟练掌握根式的性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
